【公开课课件】选修2-1-第三章 3.2 第1课时

第三章

§3.2立体几何中的向量方法第1课时用空间向量解决立体几何中的平行问题问题导学知识点一直线的方向向量与平面的法向量(1)用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线的

)形式作用定位置点A和向量a可以确定直线的_____定点可以具体表示出l上的任意_____位置一点方向向量(2)用向量表示平面的位置①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：条件平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O形式②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：平面的法向量直线l⊥α，直线l的

，叫做平面α的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的方向向量(3)直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的

向量a，叫做直线l的一个方向向量平面的法向量直线l⊥α，取直线l的

，叫做平面α的法向量方向向量n非零知识点二平面的法向量及其求法在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤：(1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；(2)找出(求出)平面内的两个

的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；(3)根据法向量的定义建立关于x，不共线(4)解方程组，取其中的

，即得平面的一个法向量.一组解知识点三用空间向量处理平行关系设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则线线平行l∥m⇔

⇔a＝kb(k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔_______面面平行α∥β⇔μ∥v⇔_____________a∥ba·μ＝0μ＝kv(k∈R)[思考辨析判断正误](1)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反.(

)(2)两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直.(

)(3)若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行.(

)(4)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.(

)(5)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则l1⊥l2.(

)√√××√题型探究例1已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，试求出平面ABC的一个法向量.类型一求平面的法向量解

设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z).解答故平面ABC的一个法向量为n＝(3,3,1).跟踪训练1如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝

，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量.解答解

以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设n＝(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，取x＝2，得y＝－1，z＝1，故平面SDC的一个法向量为(2，－1,1).证明类型二利用空间向量证明平行问题例2已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；证明

以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2).又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.证明(2)平面ADE∥平面B1C1F.令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.解答跟踪训练2如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝求出E点的位置；若不存在，请说明理由.解

存在点E使CE∥平面PAB.以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，∴存在E点，当点E为PD中点时，CE∥平面PAB.达标检测答案解析123451.已知l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量为v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ等于A.1 B.2 C.3 D.4√答案2.已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若l1∥l2，则λ与μ的值可以分别是12345√解析答案解析3.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为A.(1,2,3) B.(1,3,2)C.(2,1,3) D.(3,2,1)12345√答案解析A.－4 B.－6 C.－8 D.812345√5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为_________________.12345(1,1,1)(答案不唯一)答案解析解析

不妨设正方体的棱长为1，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，设平面ACD1的一个法向量a＝(x，y，z)，则a＝(1,1,1).(注：答案不唯一，只要与所给答案共线都对)123451.应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示.即用平面向量基本