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文档简介

2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若函数()的图象过点,则()A.函数的值域是 B.点是的一个对称中心C.函数的最小正周期是 D.直线是的一条对称轴2.已知命题:R,;命题:R,,则下列命题中为真命题的是()A. B. C. D.3.若为虚数单位,则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知等差数列的前n项和为,且,则()A.4 B.8 C.16 D.25.设曲线在点处的切线方程为,则()A.1 B.2 C.3 D.46.《九章算术》中记载,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,在堑堵中,,,当阳马体积的最大值为时,堑堵的外接球的体积为()A. B. C. D.7.已知F为抛物线y2=4x的焦点,过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,则||FA|﹣|FB||的值等于()A. B.8 C. D.48.设复数满足,则在复平面内的对应点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.要得到函数的图象,只需将函数的图象A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度10.在中,,,,则边上的高为()A. B.2 C. D.11.已知函数,,则的极大值点为()A. B. C. D.12.如图是计算值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是()A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知集合,若,则__________.14.已知平行于轴的直线与双曲线:的两条渐近线分别交于,两点,为坐标原点,若为等边三角形,则双曲线的离心率为______.15.如图,机器人亮亮沿着单位网格,从地移动到地,每次只移动一个单位长度,则亮亮从移动到最近的走法共有____种.16.已知函数,则过原点且与曲线相切的直线方程为____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列的前项和为,.(1)求数列的通项公式;(2)若,为数列的前项和.求证:.18.(12分)以直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴,且两坐标系取相同的长度单位.已知曲线的参数方程:(为参数),直线的极坐标方程:(1)求曲线的极坐标方程;(2)若直线与曲线交于、两点,求的最大值.19.(12分)已知,函数.(1)若,求的单调递增区间;(2)若,求的值.20.(12分)为了解本学期学生参加公益劳动的情况,某校从初高中学生中抽取100名学生,收集了他们参加公益劳动时间(单位:小时)的数据,绘制图表的一部分如表.(1)从男生中随机抽取一人,抽到的男生参加公益劳动时间在的概率:(2)从参加公益劳动时间的学生中抽取3人进行面谈,记为抽到高中的人数,求的分布列;(3)当时,高中生和初中生相比,那学段学生平均参加公益劳动时间较长.(直接写出结果)21.(12分)如图,三棱台的底面是正三角形,平面平面,.(1)求证:;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.22.(10分)已知抛物线与直线.(1)求抛物线C上的点到直线l距离的最小值;(2)设点是直线l上的动点,是定点,过点P作抛物线C的两条切线,切点为A,B,求证A,Q,B共线;并在时求点P坐标.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】

根据函数的图像过点,求出,可得,再利用余弦函数的图像与性质,得出结论.【详解】由函数()的图象过点,可得,即,,,故,对于A,由,则,故A正确;对于B,当时,,故B错误;对于C,,故C错误;对于D,当时,,故D错误;故选:A【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质,需熟记性质与公式,属于基础题.2.B【解析】

根据,可知命题的真假,然后对取值,可得命题的真假,最后根据真值表,可得结果.【详解】对命题:可知,所以R,故命题为假命题命题:取,可知所以R,故命题为真命题所以为真命题故选:B【点睛】本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用,识记真值表,属基础题.3.B【解析】

由共轭复数的定义得到,通过三角函数值的正负,以及复数的几何意义即得解【详解】由题意得,因为,,所以在复平面内对应的点位于第二象限.故选:B【点睛】本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义,考查了学生概念理解,数形结合,数学运算的能力,属于基础题.4.A【解析】

利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得.【详解】.故选:.【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易.5.D【解析】

利用导数的几何意义得直线的斜率,列出a的方程即可求解【详解】因为,且在点处的切线的斜率为3,所以,即.故选:D【点睛】本题考查导数的几何意义,考查运算求解能力,是基础题6.B【解析】

利用均值不等式可得,即可求得,进而求得外接球的半径,即可求解.【详解】由题意易得平面,所以,当且仅当时等号成立,又阳马体积的最大值为,所以,所以堑堵的外接球的半径,所以外接球的体积,故选:B【点睛】本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.7.C【解析】

将直线方程代入抛物线方程,根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出的值.【详解】F(1,0),故直线AB的方程为y=x﹣1,联立方程组,可得x2﹣6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可知x1+x2=6,x1x2=1.由抛物线的定义可知:|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,∴||FA|﹣|FB||=|x1﹣x2|=.故选C.【点睛】本题考查了抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,属于中档题.8.C【解析】

化简得到,得到答案.【详解】,故,对应点在第三象限.故选:.【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限,意在考查学生的计算能力.9.D【解析】

先将化为,根据函数图像的平移原则,即可得出结果.【详解】因为,所以只需将的图象向右平移个单位.【点睛】本题主要考查三角函数的平移,熟记函数平移原则即可,属于基础题型.10.C【解析】

结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式,求得边长,由此求得边上的高.【详解】过作,交的延长线于.由于,所以为钝角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即边上的高为.故选:C【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式,属于中档题.11.A【解析】

求出函数的导函数,令导数为零,根据函数单调性,求得极大值点即可.【详解】因为,故可得,令,因为,故可得或,则在区间单调递增,在单调递减,在单调递增,故的极大值点为.故选:A.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点,属基础题.12.B【解析】

根据计算结果,可知该循环结构循环了5次;输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,进而可得判断框内的不等式.【详解】因为该程序图是计算值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,即判断框内的不等式应为或所以选C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,根据结果填写判断框,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1【解析】

分别代入集合中的元素,求出值,再结合集合中元素的互异性进行取舍可解.【详解】依题意,分别令,,,由集合的互异性,解得,则.故答案为:【点睛】本题考查集合元素的特性:确定性、互异性、无序性.确定集合中元素,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.14.2【解析】

根据为等边三角形建立的关系式,从而可求离心率.【详解】据题设分析知,,所以,得,所以双曲线的离心率.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求解,根据条件建立之间的关系式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.15.【解析】

分三步来考查,先从到,再从到,最后从到,分别计算出三个步骤中对应的走法种数,然后利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】分三步来考查:①从到,则亮亮要移动两步,一步是向右移动一个单位,一步是向上移动一个单位,此时有种走法;②从到,则亮亮要移动六步,其中三步是向右移动一个单位,三步是向上移动一个单位,此时有种走法;③从到,由①可知有种走法.由分步乘法计数原理可知,共有种不同的走法.故答案为:.【点睛】本题考查格点问题的处理,考查分步乘法计数原理和组合计数原理的应用,属于中等题.16.【解析】

设切点坐标为,利用导数求出曲线在切点的切线方程,将原点代入切线方程,求出的值,于此可得出所求的切线方程.【详解】设切点坐标为,,,,则曲线在点处的切线方程为,由于该直线过原点,则,得,因此,则过原点且与曲线相切的直线方程为,故答案为.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查过点作函数图象的切线方程,求解思路是:(1)先设切点坐标,并利用导数求出切线方程;(2)将所过点的坐标代入切线方程,求出参数的值,可得出切点的坐标;(3)将参数的值代入切线方程,可得出切线的方程.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)证明见解析【解析】

(1)利用求得数列的通项公式.(2)先将缩小即,由此结合裂项求和法、放缩法,证得不等式成立.【详解】(1)∵,令,得.又,两式相减,得.∴.(2)∵.又∵,,∴.∴.∴.【点睛】本小题主要考查已知求,考查利用放缩法证明不等式,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.18.(1);(2)10【解析】

(1)消去参数,可得曲线C的普通方程,再根据极坐标与直角坐标的互化公式,代入即可求得曲线C的极坐标方程;(2)将代入曲线C的极坐标方程,利用根与系数的关系,求得,进而得到=,结合三角函数的性质,即可求解.【详解】(1)由题意,曲线C的参数方程为,消去参数,可得曲线C的普通方程为,即,又由,代入可得曲线C的极坐标方程为.(2)将代入,得,即,所以=,其中,当时,取最大值,最大值为10.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程,极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及曲线的极坐标方程的应用,着重考查了运算与求解能力,属于中档试题.19.(1);(2).【解析】

(1)利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为,然后解不等式,可得出函数的单调递增区间;(2)由得出,并求出的值,利用两角差的正弦公式可求出的值.【详解】(1)当时,,由,得,因此,函数的单调递增区间为;(2),,,,,,.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键,属中等题.20.(1)(2)详见解析(3)初中生平均参加公益劳动时间较长【解析】

(1)由图表直接利用随机事件的概率公式求解;(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.由古典概型概率公式求概率,则分布列可求;(3)由图表直接判断结果.【详解】(1)100名学生中共有男生48名,其中共有20人参加公益劳动时间在,设男生中随机抽取一人,抽到的男生参加公益劳动时间在的事件为,那么;(2)的所有可能取值为0,1,2,3.∴;;;.∴随机变量的分布列为:(3)由图表可知,初中生平均参加公益劳动时间较长.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,考查超几何分布的分布列的计算,属于基础题.21.(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)取的中点为,连结,易证四边形为平行四边形,即,由于,为的中点,可得到,从而得到,即可证明平面,从而得到;(Ⅱ)易证,,两两垂直,以,,分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面的一个法向量为,设与平面所成角为,则,即可得到答案.【详解】解:(Ⅰ)取的中点为,连结.由是三棱台得,平面平面,从而.∵,∴,∴四边形为平行四边形,∴.∵,为的中点,∴,∴.∵平面平面,且交线为,平面,∴平面,而平面,∴.(Ⅱ)连结.由是正三角形,且为中点,则.由(Ⅰ)知,平面,,∴,,∴,,两两垂直.以,,分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则,,,,∴,,.设平面的一个法向量为.由可得,.令,则,,∴.设与平面所成角为,则.【点睛】本题考查了空间几何中,面面垂直的性质,线线垂直的证明,及线面角的求法,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解

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