线性代数课后习题的答案

...wd......wd......wd...线性代数课后题详解第一章行列式1.利用对角线法那么计算以下三阶行列式：相信自己加油〔1〕；〔2〕〔3〕；〔4〕.解注意看过程解答〔1〕==〔2〕〔3〕〔4〕2.按自然数从小到大为标准次序，求以下各排列的逆序数：耐心成就大业〔1〕1234；〔2〕4132；〔3〕3421；〔4〕2413；〔5〕13…24…；〔6〕13……2.解〔1〕逆序数为0〔2〕逆序数为4：41，43，42，32〔3〕逆序数为5：32，31，42，41,21〔4〕逆序数为3：21，41，43〔5〕逆序数为：321个52，542个72，74，763个…2，4，6，…，个〔6〕逆序数为321个52，542个…2，4，6，…，个421个62，642个…2，4，6，…，个3.写出四阶行列式中含有因子的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为，其中为的逆序数．由于已固定，只能形如□□，即1324或1342.对应的分别为或和为所求.4.计算以下各行列式：多练习方能成大财〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕解(1)===0(2)=0(3)===(4)===5.证明:(1)=;(2)=;(3);(4);(5).证明(1)(2)(3)(4)=====(5)用数学归纳法证明假设对于阶行列式命题成立，即所以，对于阶行列式命题成立.6.设阶行列式,把上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得，，，证明.证明同理可证7.计算以下各行列式〔〕：(1),其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0；(2);(3);提示：利用范德蒙德行列式的结果．(4);(5);(6),.解(1)()(2)将第一行乘分别加到其余各行，得再将各列都加到第一列上，得(3)从第行开场，第行经过次相邻对换，换到第1行，第行经次对换换到第2行…，经次行交换，得此行列式为范德蒙德行列式(4)由此得递推公式：即而得(5)=(6)8.用克莱姆法那么解以下方程组：解(1)(2)()．9.有非零解解，齐次线性方程组有非零解，那么即得不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解.10.有非零解解齐次线性方程组有非零解，那么得不难验证，当时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章矩阵及其运算1．线性变换：求从变量到变量的线性变换．解由：故2．两个线性变换求从到的线性变换．解由所以有3．设,求解4．计算以下乘积：(1);(2);(3);(4);(5);(6).解(1)(2)(3)(4)(5)(6)5．设,，问：(1)吗?(2)吗?(3)吗?解(1),那么(2)但故(3)而故6．举反列说明以下命题是错误的:〔１〕假设,那么;〔２〕假设,那么或;〔３〕假设,且,那么.解(1)取,但(2)取,但且(3)取且但7．设,求.解利用数学归纳法证明:当时,显然成立,假设时成立,那么时由数学归纳法原理知:8．设,求.解首先观察由此推测用数学归纳法证明:当时,显然成立.假设时成立，那么时，由数学归纳法原理知:9．设为阶矩阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵.证明：那么从而也是对称矩阵.10．设都是阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是.证明由：充分性：即是对称矩阵.必要性：.11．求以下矩阵的逆矩阵：(1)；(2)；(3);(4);(5);(6)解(1)故(2)故存在从而(3),故存在而故(4)故(5)故存在而从而(6)由对角矩阵的性质知12．解以下矩阵方程：(1);(2);(3);(4).解(1)(2)(3)(4)13．利用逆矩阵解以下线性方程组:(1)(2)解(1)方程组可表示为故从而有(2)方程组可表示为故故有14．设(为正整数),证明.证明一方面，另一方面，由有故两端同时右乘就有15．设方阵满足,证明及都可逆,并求及.证明由得两端同时取行列式:即,故所以可逆,而故也可逆.由又由16．设,,求.解由可得故17．设,其中,,求.解故所以而故18．设次多项式,记称为方阵的次多项式.(1)设,证明:,;(2)设,证明:,.证明(1)i)利用数学归纳法.当时命题成立,假设时成立,那么时故命题成立.ii)左边=右边(2)i)利用数学归纳法.当时成立假设时成立,那么时成立,故命题成立,即ii)证明右边=左边19．设阶矩阵的伴随矩阵为，证明：(1)假设,那么;(2).证明(1)用反证法证明．假设那么有由此得这与矛盾，故当时有(2)由于,那么取行列式得到:假设那么假设由(1)知此时命题也成立故有20．取,验证检验:而故21．设,求及解，令那么故22．设阶矩阵及阶矩阵都可逆,求．解将分块为其中为矩阵,为矩阵为矩阵,为矩阵那么由此得到故．第三章矩阵的初等变换与线性方程组1．把以下矩阵化为行最简形矩阵：(1);(2);(3);(4).解(1)(2)(3)(4)2．在秩是的矩阵中,有没有等于0的阶子式?有没有等于0的阶子式?解在秩是的矩阵中,可能存在等于0的阶子式,也可能存在等于0的阶子式.例如，同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.3．从矩阵中划去一行得到矩阵,问的秩的关系怎样?解设，且的某个阶子式.矩阵是由矩阵划去一行得到的，所以在中能找到与一样的阶子式，由于，故而.4．求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是,解设为五维向量,且,,那么所求方阵可为秩为4,不妨设取故满足条件的一个方阵为5．求以下矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：(1);(2)；(3).解(1)二阶子式．(2).二阶子式．(3)秩为3三阶子式．6．求解以下齐次线性方程组:(1)(2)(3)(4)解(1)对系数矩阵实施行变换:即得故方程组的解为(2)对系数矩阵实施行变换:即得故方程组的解为(3)对系数矩阵实施行变换:即得故方程组的解为(4)对系数矩阵实施行变换:即得故方程组的解为7．求解以下非齐次线性方程组:(1)(2)(3)(4)解(1)对系数的增广矩阵施行行变换,有而,故方程组无解．(2)对系数的增广矩阵施行行变换:即得亦即(3)对系数的增广矩阵施行行变换:即得即(4)对系数的增广矩阵施行行变换:即得即8．取何值时,非齐次线性方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解(1),即时方程组有唯一解.(2)由得时,方程组无解.(3),由,得时,方程组有无穷多个解.9．非齐次线性方程组当取何值时有解并求出它的解．解方程组有解，须得当时,方程组解为当时,方程组解为10．设问为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解并在有无穷多解时求解．解当,即且时，有唯一解.当且，即时，无解.当且，即时，有无穷多解.此时，增广矩阵为原方程组的解为()11．试利用矩阵的初等变换，求以下方阵的逆矩阵：(1);(2).解〔1〕故逆矩阵为(2)故逆矩阵为12．(1)设,求使;(2)设,求使.解(1)(2)．第四章向量组的线性相关性1．设,求及.解2．设其中,,,求解由整理得3．举例说明以下各命题是错误的:(1)假设向量组是线性相关的,那么可由线性表示.(2)假设有不全为0的数使成立,那么线性相关,亦线性相关.(3)假设只有当全为0时,等式才能成立,那么线性无关,亦线性无关.(4)假设线性相关,亦线性相关,那么有不全为0的数,使同时成立.解(1)设满足线性相关,但不能由线性表示.(2)有不全为零的数使原式可化为取其中为单位向量,那么上式成立,而,均线性相关(3)由(仅当)线性无关取取为线性无关组满足以上条件,但不能说是线性无关的.(4)与题设矛盾.4．设,证明向量组线性相关.证明设有使得那么(1)假设线性相关,那么存在不全为零的数,;;;;由不全为零,知不全为零,即线性相关.(2)假设线性无关,那么由知此齐次方程存在非零解那么线性相关.综合得证.5．设,且向量组线性无关,证明向量组线性无关.证明设那么因向量组线性无关,故因为故方程组只有零解那么所以线性无关6．利用初等行变换求以下矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1);(2).解(1)所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)，所以第1、2、3列构成一个最大无关组．7．求以下向量组的秩,并求一个最大无关组:(1),,;(2),,.解(1)线性相关.由秩为2,一组最大线性无关组为.(2)秩为2,最大线性无关组为.8．设是一组维向量,维单位坐标向量能由它们线性表示,证明线性无关.证明维单位向量线性无关不妨设:所以两边取行列式，得由即维向量组所构成矩阵的秩为故线性无关.9．设是一组维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示.证明设为一组维单位向量，对于任意维向量那么有即任一维向量都可由单位向量线性表示.线性无关，且能由单位向量线性表示，即故两边取行列式，得由令那么由即都能由线性表示，因为任一维向量能由单位向量线性表示，故任一维向量都可以由线性表示.任一维向量都可由线性表示，那么单位向量组：可由线性表示，由8题知线性无关.10．设向量组:的秩为,向量组:的秩向量组:的秩,证明证明设的最大线性无关组分别为,含有的向量个数(秩)分别为,那么分别与等价,易知均可由线性表示,那么秩()秩(),秩()秩()，即设与中的向量共同构成向量组,那么均可由线性表示,即可由线性表示,从而可由线性表示，所以秩()秩(),为阶矩阵，所以秩()即.11.证明.证明:设且行向量组的最大无关组分别为显然,存在矩阵,使得,因此12．设向量组能由向量组线性表示为，其中为矩阵，且组线性无关。证明组线性无关的充分必要条件是矩阵的秩.证明假设组线性无关令那么有由定理知由组:线性无关知，故.又知为阶矩阵那么由于向量组:能由向量组:线性表示,那么综上所述知即．假设令,其中为实数那么有又,那么由于线性无关,所以即〔1〕由于那么(1)式等价于以下方程组:由于所以方程组只有零解.所以线性无关,证毕.13．设问是不是向量空间为什么证明集合成为向量空间只需满足条件：假设，那么假设，那么是向量空间，因为：且故故不是向量空间，因为：故故当时，14．试证:由所生成的向量空间就是.证明设于是故线性无关.由于均为三维,且秩为3,所以为此三维空间的一组基,故由所生成的向量空间就是.15．由所生成的向量空间记作,由所生成的向量空间记作,试证.证明设任取中一向量,可写成,要证,从而得由得上式中,把看成数,把看成未知数有唯一解同理可证:()故16．验证为的一个基,并把用这个基线性表示.解由于即矩阵的秩为3故线性无关，那么为的一个基.设，那么故设，那么故线性表示为17．求以下齐次线性方程组的根基解系:(1)(2)(3).解(1)所以原方程组等价于取得取得因此根基解系为(2)所以原方程组等价于取得取得因此根基解系为(3)原方程组即为取得取得取得所以根基解系为18．设,求一个矩阵,使,且.解由于,所以可设那么由可得,解此非齐次线性方程组可得唯一解，故所求矩阵．19．求一个齐次线性方程组,使它的根基解系为.解显然原方程组的通解为,()即消去得此即所求的齐次线性方程组.20．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，是它的三个解向量．且，求该方程组的通解．解由于矩阵的秩为3，，一维．故其对应的齐次线性方程组的根基解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的构造性质得为其根基解系向量，故此方程组的通解：，21．设都是阶方阵，且，证明．证明设的秩为，的秩为，那么由知，的每一列向量都是以为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量．当时,该齐次线性方程组只有零解,故此时,，，结论成立．(2)当时,该齐次方程组的根基解系中含有个向量,从而的列向量组的秩,即,此时,结论成立。综上,．22．设阶矩阵满足,为阶单位矩阵,证明(提示:利用题11及题21的结论)证明所以由21题所证可知又由11题所证可知由此．23．求以下非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的根基解系：(1)(2)解(1)(2)24．设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐次线性方程组的一个根基解系,证明:(1)线性无关；(2)线性无关。证明(1)反证法,假设线性相关,那么存在着不全为0的数使得下式成立:(1)其中,否那么,线性相关,而与根基解系不是线性相关的产生矛盾。由于为特解，为根基解系，故得而由(1)式可得故，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得产生矛盾,假设不成立,故线性无关.(2)反证法,假使线性相关.那么存在着不全为零的数使得下式成立:〔2〕即假设,由于是线性无关的一组根基解系,故,由(2)式得此时与假设矛盾.假设由题(1)知,线性无关,故与假设矛盾,综上,假设不成立,原命题得证.25.设是非齐次线性方程组的个解，为实数，满足.证明也是它的解.证明由于是非齐次线性方程组的个解.故有而即〔〕从而也是方程的解．26．设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，是它的个线性无关的解(由题24知它确有个线性无关的解)．试证它的任一解可表示为〔其中〕.证明设为的任一解．由题设知：线性无关且均为的解．取，那么它的均为的解．用反证法证：线性无关．反设它们线性相关，那么存在不全为零的数：使得即亦即由线性无关知矛盾，故假设不对．线性无关，为的一组基．由于均为的解，所以为的解可由线性表出．令那么,证毕．第五章相似矩阵及二次型1．试用施密特法把以下向量组正交化：(1)；(2)解(1)根据施密特正交化方法:令，，，故正交化后得:．(2)根据施密特正交化方法令故正交化后得2．以下矩阵是不是正交阵:(1);(2)．解(1)第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．(2)该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．3．设与都是阶正交阵，证明也是正交阵．证明因为是阶正交阵，故，故也是正交阵．4．求以下矩阵的特征值和特征向量:(1);(2);(3).并问它们的特征向量是否两两正交?解(1)①故的特征值为．②当时,解方程,由得根基解系所以是对应于的全部特征值向量．当时,解方程,由得根基解系所以是对应于的全部特征向量．③故不正交．(2)①故的特征值为．②当时，解方程，由得根基解系故是对应于的全部特征值向量.当时,解方程，由得根基解系故是对应于的全部特征值向量当时，解方程，由得根基解系故是对应于的全部特征值向量．③，，，所以两两正交．(3)=,当时，取为自由未知量，并令，设.故根基解系为当时，可得根基解系综上所述可知原矩阵的特征向量为5．设方阵与相似，求.解方阵与相似，那么与的特征多项式一样，即．6．设都是阶方阵，且，证明与相似．证明那么可逆那么与相似．7．设3阶方阵的特征值为；对应的特征向量依次为，，求.解根据特征向量的性质知可逆,得:可得得8．设3阶对称矩阵的特征值6，3，3，与特征值6对应的特征向量为,求.解设由，知①3是的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知