第一学期北师大版九年级上册数学第一章《特殊平行四边形》单

第6页第一章特殊平行四边形单元检测试题一、填空题〔共10小题，每题3分，共30分〕

1.两张宽2cm矩形纸片重叠在一起，然后将其中的一张任意旋转一个角度，那么重叠局部〔图中的阴影局部〕的四边形ABCD的形状为________，其面积的最小值为________cm

2.将五个边长都为2的正方形按如下图摆放，点A1、A2、A3、A4分别是四个正方形的中心，那么图中四块阴影

3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60∘，AC=8，那么BC的长为

4.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________，使得该菱形为正方形．

5.工人师傅在做门框或矩形零件时，常用测量平行四边形两条对角线是否相等来检测直角的精度，请问工人师傅根据的几何道理是________．

6.如果四边形ABCD的对角线AC，BD相等，且互相平分于点O，那么四边形ABCD是________形，如果∠AOB=60∘，那么AB:AC=

7.顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是________形．

8.把“直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形〞填入以下相应的空格上．

(1)正方形可以由两个能够完全重合的________拼合而成；

(2)菱形可以由两个能够完全重合的________拼合而成；

(3)矩形可以由两个能够完全重合的________拼合而成．

9.如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60∘，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，那么四边形BEDF的面积为________

10.一个正方形的面积为81cm2，那么它的对角线长为________二、选择题〔共10小题，每题3分，共30分〕

11.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30∘，那么菱形ABCD的面积是〔A.18B.18C.36D.36

12.一个正方形的对角线长为2cm，那么它的面积是〔〕A.2cB.4cC.6cD.8c

13.以下说法正确的选项是〔〕A.四条边相等的四边形为正方形B.四个角都相等的四边形为正方形C.对角线相等的菱形是正方形D.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形

14.以下能够判定一个四边形是正方形的条件是〔〕

①一组邻边相等且对角线相等并互相平分；②对角线互相垂直平分；

③四条边相等且四个内角也相等；

④对角线相等的菱形．A.①②④B.①③④C.③④D.①②③④

15.如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，那么四边形ABCD面积的最大值是〔〕A.15B.16C.19D.20

16.△ABC中，∠C=90∘，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，那么点O到三边AB、AC、BC的距离为〔A.2cm，2cm，2cmB.3cm，3cm，3cmC.4cm，4cm，4cmD.2cm，3cm，5cm

17.矩形具有而菱形不具有的性质是〔〕A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平行D.对角线互相垂直

18.如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D．AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，那么村庄C到公路l2A.3kmB.4kmC.5kmD.6km

19.以下判断正确的选项是〔〕A.对角线相等的四边形是矩形B.四边都相等的四边形是正方形C.两条对角线垂直且相等的四边形是菱形D.两条对角线相等的菱形是正方形

20.如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，增加以下条件后，ABCD不一定是菱形的是〔〕A.DC=BCB.AC⊥BDC.AB=BDD.∠ADB=∠CDB三、解答题〔共6小题，每题10分，共60分〕

21.在△ABC中，点D在AB边上，AD=CD，DE⊥AC于点E，CF // AB，交DE的延长线于点F．(1)如图1，求证：四边形ADCF是菱形；(2)如图2，当∠ACB=90∘，∠B=30∘时，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中与线段AC相等的线段〔线段AC除外22.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，CE // BD，DE // AC．(1)证明：四边形OCED为菱形；(2)假设AC=4，求四边形CODE的周长．23.：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明；(3)线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论．24.如图，正方形ABCD中，点E从点A出发沿着AD向D运动，〔点E不与点A，点D重合〕同时点F从点D出发沿着线段DC向C运动，〔点F不与点D，点C重合〕点E与F点运动速度相同，当点E停止运动时，另一动点F随之停止运动，设BE与AF相交于点P，连接PC请研究：(1)AF=BE，AF⊥BE；(2)当点E运动到AD中点位置时：

①PA:PB的值是多少？②PC和BC又怎样的数量关系？并证明你的结论．25.如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE // BD，DE // AC，CE和DE交于点E．(1)求证：四边形ODEC是矩形；(2)当∠ADB=60∘，AD=2326.如下图1，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE'F'D'，旋转角为a．(1)当点D'恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；(2)如图2，G为BC中点，且0∘<a<90(3)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD'与△CBD'能否全等？假设能，直接写出旋转角a的值；假设不能说明理由．

答案1.菱形42.43.44.AC=BD或AB⊥BC5.对角线相等的平行四边形是矩形6.矩37.菱8.等腰直角三角形等腰三角形直角三角形9.1610.911-20：BACBAABBDC21.解：(1)证明：如图1，

∵AD=CD，DE⊥AC，

∴∠DCA=∠ADC，CE=AE，

∵CF // AB，

∴∠ECF=∠EAD，

∴∠DCA=∠ECF，

即CE平分∠DCF，

而CE⊥DF，

∴CD=CF，

∴AD // CF，

∴四边形ADCF为平行四边形，

而DA=DC，

∴四边形ADCF是菱形；(2)如图2，∵∠ACB=90∘，∠B=30∘，

∴∠BAC=60∘，

而DA=DC，

∴△ADC为等边三角形，

∴AC=AD=CD，∠ACD=60∘，

∵四边形ADCF为菱形，

∴AC=AD=DC=CF=AF，

∵22.(1)证明：∵CE // BD，DE // AC，

∴四边形CODE为平行四边形

又∵四边形

ABCD

是矩形

∴OD=OC

∴四边形CODE为菱形；(2)解：∵四边形

ABCD

是矩形

∴OC=OD=12AC

又∵AC=4

∴OC=2

由(1)知，四边形CODE为菱形

∴四边形CODE23.(1)证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，

∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，

∴∠ADC=90∘，

∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，

∴∠MAN=∠CAN，

∴∠DAE=90∘，

∵CE⊥AN，

∴∠AEC=90(2)四边形ABDE是平行四边形，理由如下：

证明：由(1)知，四边形ADCE为矩形，那么AE=CD，AC=DE．

又∵AB=AC，BD=CD，

∴AB=DE，AE=BD，

∴四边形ABDE是平行四边形；(3)DF // AB，DF=12AB．理由：

解：∵四边形ADCE为矩形，

∴AF=CF，

∵BD=CD，

∴DF是△ABC的中位线，

∴DF // AB24.(1)证明：∵E在AD边上〔不与A、D重合〕，点F在DC边上〔不与D、C重合〕．

又∵点E、F分别同时从A、D出发以相同的速度运动，

∴AE=DF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=DA，∠BAE=∠D=90∘，

在△BAE和△ADF中，

AE=DE∠BAE=∠ADF=90∘AB=AD，

∴△BAE≅△ADF(SAS)，

∴∠1=∠2，

∵∠2+∠3=90∘∴∠1+∠3=90∘即∠APB=90∘

∴AF⊥BE．

(2)解：由(1)知当点E运动到AD中点时，点F也运动到DC中点，此时就有AF⊥BE．

∵F是CD的中点，

∴DF=12CD，

∵AD=CD，

∴DF=12AD，

∵∠1=∠2，

(3)PC=BC．

证明：延长AF交BC的延长线于点G，

在△ADF和△GCF中

∠D=∠DCG=90∘DF=CF∠AFD=∠GFC，

∴△ADF≅△GCF(ASA)，

∴CG=AD，

∵BC=AD，

∴CG=BC=12BG，

由(1)知AF⊥BE，

∴∠BPG=90∘，

∴△BPG为直角三角形25.(1)证明：∵DE // AC，CE // BD，

∴DE // OC，CE // OD，

∴四边形OCED是平行四边形，

又∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠COD=90∘，

∴四边形OCED是矩形；

(2)解：∵∠ADB=60∘，AD=23，

∴OD=3，AO=3，

∴CE=3，AC=6，26.(1)解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE'F'D'，

∴CD'=CD=2，

在Rt△CED'中，CD'=2，CE=1，

∴∠CD'E=30∘，

∵CD // EF，

∴∠α=30∘；(2)证明：∵G为BC中点，

∴CG=1，

∴CG=CE，

∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE'F'D'，

∴∠D'CE'=∠DCE=90∘，CE=CE'=CG，

∴∠GCD'=∠D