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第四章三角函数三角函数的图像第讲4(第二课时)题型3:图象变换1.(1)将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),求所得图象对应的函数解析式.(1)y=sin(2x+)y=sin[2(x-)+]=sin(2x+)
y=sin(6x+).故所求的函数解析式是y=sin(6x+).右移个单位长度横坐标缩短到原来的(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标缩短到原来的,再将图象向左平移个单位长度,得曲线y=sinx,求函数f(x)的解析式.(2)y=sinxy=sin(x-)y=2sin(x-)
y=2sin(2x-)=-2cos2x.所以f(x)=-2cos2x.右移个单位长度纵坐标伸长到原来的4倍横坐标缩短到原来的【点评】:图象的变换有平移、伸缩、翻折等,其中平移是最常见的变换.在进行左右平移变换时,一是注意方向:按“左加右减”,即由f(x)的图象变为f(x+a)(a>0)的图象,是由“x”变为“x+a”,是加a,所以是左移a个单位长度;由“x”变为“x-a”是右移a个单位长度;二是注意x前面的系数是不是1,如果不是1,左右平移时,要先化为1,再来观察.2.求函数y=sin(2x-)的图象的对称中心和对称轴方程.
从图象上可以看出每一个零值点都是对称中心,即有2x-=kπ(k∈Z),所以所以对称中心的坐标为过每个最值点且与x轴垂直的直线都是对称轴,题型4:三角函数图象的对称性所以所以所以对称轴方程为【点评】:正弦曲线既是轴对称图形,又是中心对称图形.函数y=Asin(ωx+φ)的对称中心就是使Asin(ωx+φ)=0所对应的点;对称轴方程与y=Asin(ωx+φ)取最值时的x的值有关.将函数的图象向右平移a(a>0)个单位长度得曲线C,若曲线C关于直线x=对称,求a的最小值.由得所以函数y=f(x)的图象的对对称轴方程程是其中位于直直线x=左侧,且与该直线线距离最近近的一条对对称轴的方方程是x=.所以3.设f(x)=asinωx+bcosωx(ω>0)的周期T=π,最大值f()=4.(1)求ω、a、b的值(1)f(x)=因为T=π,所以ω=2.又因为f(x)的最最大大值值f()=4,所以以,且解得得a=2,b=.题型型5:(2)若α、β为方方程程f(x)=0的两两根根,,α、β的终终边边不不共共线线,,求tan(α+β
(2)因为f(α)=f(β)=0,所以所以以或即(此时时,,α、β共线线,,故故舍舍去去),或其中中k∈Z,所以以【点评评】:应用用函函数数的的图图象象来来解解决决有有关关交交点点问问题题或或方方程程解解的的问问题题,,体体现现了了““以以形形助助数数””.三角角函函数数的的图图象象综综合合了了周周期期性性和和对对称称性性,,注注意意周周期期性性和和对对称称性性的的应应用用,,如如本本题题就就是是应应用用周周期期性性来来解解决决的的.已知知函函数数的的图图象象上上相相邻邻的的一一个个最最大大值值点点与与一一个个最最小小值值点点恰恰好好都都在在圆圆x2+y2=R2上,则R的值为______.由最高点(,3),最低点(-,-3)在圆x2+y2=R2上,即,,得得R=2.2图象变换的两两种途径的差差异.(1)先相位变换后后周期变换::y=sinxy=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ);向左平移φ(φ>0)个单位长度各点的横坐标标变为原
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