【学海导航】高考数学第1轮总复习 全国统编教材 9.7直线和平面所成的角与二面角（第2课时）课件 理

第九章直线、平面、简单几何体直线和平面所成的角与二面角第讲7（第二课时）11.在三棱锥P-ABC中，AB⊥AC，

∠ACB=60°，PA=PB=PC，点P到平面ABC的距离为

AC.求二面角P-AC-B的大小.题型4

求二面角的大小2解法1：由条件知△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°.因为PA=PB=PC，所以点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即斜边BC的中点E.取AC的中点D，连结PD，DE，PE.因为PE⊥平面ABC，DE⊥AC(因为DE∥AB)，所以AC⊥PD.所以∠PDE就是二面角P-AC-B的平面角.3又PE=AC，DE=AC(因为∠ACB=60°)，所以，所以∠PDE=60°.故二面角P-AC-B的大小为60°.解法2：由条件知△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°.因为PA=PB=PC，所以点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即斜边BC的中点.4设O为BC的中点，取AC的中点D，连结PD，DO，PO，则PO⊥平面ABC.建立如图所示直角坐标系设AC=a，则A(a，-a，0)，B(-a，0，0)，C(a，0，0)，D(a，-a，0)，P(0，0，a).所以=(-a，a，0)，=(-a，a，

a).因为AB⊥AC，又PA=PC，所以PD⊥AC，5所以cos〈，〉即为二面角P-AC-B的余弦值.而cos〈，〉=

所以二面角P-AC-B的大小为60°.6点评：求二面角的大小有两种方法：几何法与向量法.本题解法1是利用几何法来解决的，即按“一找、二证、三计算”三个步骤进行；解法2是利用向量法来解决的，即通过求垂直于两平面交线的直线的方向向量所成的角(需要注意是相等还是互补).7如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1.(1)证明：AB=AC;(2)设二面角A-BD-C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小.

解：(1)证法1：连结BE，因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以∠B1BC=90°,8因为E为B1C的中点，所以BE=EC.又DE⊥平面BCC1，

所以BD=DC(射影相等的两条斜线段相等).

而DA⊥平面ABC，所以AB=AC(斜线段相等的射影相等)

证法2：取BC的中点F，证四边形A

F

ED为平行四边形，进而证AF∥DE，所以AF⊥BC，得AB=AC.9(2)作AG⊥BD于G，连结GC，

则GC⊥BD，所以∠AGC为二面角A-BD-C的平面角，所以∠AGC=60°.不妨设AC=

，则AG=2,GC=4.在Rt△ABD中，由AD·AB=易得AD=.10设点B1到平面面BCD的距离离为h，B1C与平面面BCD所成的的角为为α.由S△B1BC·DE=S△BCD·h，得解得h=，又B1C=,所以sinα=,所以α=30°.即B1C与平面面BCD所成的的角为为30°°.112.在在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°°，D为AC的中点点，E为BD的中点点，连连结AE并延长长交BC于点F，将△ABC沿BD折成一一个大大小为为θ的二面面角A-BD-C.(1)证明明：平平面AEF⊥平面面BCD(2)当θ为何值值时，，有AB⊥CD?题型4二面角角背景景下的的位置置关系系分析析12解：(1)证明：：因为为△ABC为直角三三角形形，∠ACB=30°，所以AB=AC.又D为AC的中点点，所以AD=AC，所以以AB=AD.因为E为BD的中点点，所所以AE⊥BD，所以BD⊥AE，BD⊥EF，所以BD⊥平面AEF.又BD平面BCD，所以平平面AEF⊥平面BCD.13(2)作AO⊥EF，垂足足为O.因为平平面AEF⊥平面BCD，所以AO⊥平面BCD.连结OB，则OB是AB在平面面BCD内的射射影所以AB⊥CDBO⊥CD.延长BO、CD相交于于H，设AB=2a，则AE=ABcos30°°=a.由△BEO∽△△BHD，得.14所以在Rt△△AOE中，cos∠AEO=.因为BD⊥平面AEF，所以θ=∠∠AEF=π-∠AEO=ππ-arccos.15点评：：与二面面角有有关的的综合合问题题涉及及到空空间位位置关关系与与空间间角大大小关关系之之间的的综合合.解决此此类问问题需需注意意几个个转化化：一一是三三维空空间向向二维维空间间的转转化；；二是是空间间角向向线线线角的的转化化；三三是线线面关关系向向线线线关系系的转转化等等.16在棱长为a的正方体OABC-O′A′B′C′中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且且AE=BF.(1)求证证：A′F⊥C′E；(2)当三三棱锥B′-BEF的体积取得得最大值时，求二二面角B′-EF-B的大小(结结果用反三角函数数表示).17解：(1)证明明：如图，，以O为原点建立空间直角角坐标系.设AE=BF=x，则A′(a，0，a)，F(a-x，a，0)，C′(0，a，a)，E(a，x，0)，所所以=(-x，a，-a)，=(a，x-a，-a).因为=-xa+a(x-a)+a2=0，所以A′F⊥C′E.18(2)记BE=y，则x+y=a.故三棱锥锥B′-BEF的体积为为当且仅当当x=y=时，等号号成立.因此，三三棱锥B′-BEF的体积取取得最大大值时，BE=BF=.过B作BD⊥EF交EF于D，连结B′D，则B′D⊥EF.所以∠B′DB是二面角角B′-EF-B的平面角角.19在Rt△BEF中，因为为BE=BF=，BD是斜边上上的高，，所以BD=.在Rt△B′DB中，故二面角角B′-EF-B的大小为为arctan201.二面角的的大小是是通过其其平面角角来度量量的.而二面角角的平面面角需具具有以下下三个特特点：①①顶点在在棱上；；②两边边分别在在两个面面内；③③两边与与棱都垂垂直.2.作二面角角的平面面角主要要有如下下三种作作法:(1)特征法：：直接在在二面角角的棱上上取一点点(特殊点)，分别在在两个半半平面中中作棱的的垂线，，得出平平面角.用定义法法时，要要认真观观察图形形的特性性.21(2)三垂线法法：已知知二面角角其中一一个面内内一点到到另一个个面的垂垂线，用用三垂线线定理或或其逆定定理作出出平面角角.(3)垂面法：：已知二二面角内内一点到到两个面面的垂线线，过两两垂线作作平面与与两个半半平面的的交线所所成的角角即为平平面角.由此可知知，二面面角的平平面角所所在的平平面与棱棱垂直.223.求二面角角的大小小有几何何法和向向量法两两种