弧度制及其与角度值的换算同步设计

弧度制及其角度值的换算【教学目标】1.掌握“1弧度的角”的定义，了解在弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．2.掌握弧度与角度的换算，熟悉特殊角的弧度数．3.掌握弧度制下扇形的弧长、面积公式，并运用公式解决相关问题【教学重点】弧度制的定义、弧度制和角度值的换算、弧度制下扇形的弧长、面积公式【教学难点】弧度制的概念与角度的换算【教学过程】引入：在日常生活以及各学科中，一个量可用不同的标准来度量，从而也就有了不同的单位以及单位之间的换算。例如，长度既可以用米、厘米来度量，也可以用尺、寸来度量；面积可以用平方米来度量，也可以用亩来度量。类似地，角除了使用角度来度量外，还可以使用本小节我们要学习地弧度来度量。问题1.弧度制 思考：角度是怎么定义的？把圆周等分成360份，称其中每一份所对的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制，角度制还规定1度等于60分，1分等于60秒．将折叠扇抽象为如图所示的图形，可以看成，弧与弧都与角对应，但时，它们的弧长与始终不相等，其原因在于。一般地，如果角是由射线OP绕它的端点旋转形成的，如图（2）所示，则在旋转过程中，射线上的任意一点（端点除外）必然形成一条圆弧，不同的点所形成的圆弧长度不同，但这些圆弧都对应同一个角，可以猜想，这些弧的长与弧所在圆的半径的比值是一个常数，即事实上，设，弧的长为，半径，则，因此这个等式右端不包含半径，这表示弧长比半径的值不依赖于半径，而只与的大小有关。知识点1弧度制我们称弧长与半径比值的这个常数称为圆心角的弧度数，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1rad，这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.如下图，因为的长度等于半径，所以所对的圆心角就是1弧度的角。注：今后我们在用弧度制表示角时，“弧度”二字或rad可以略去不写，而只写这个角对应的弧度数。例如，表示是2的角，表示的角的正弦。【对点快练】1．下列说法正确的是()A．1弧度就是一度的圆心角所对的弧B．一弧度是长度为半径的弧C．1弧度是一度的弧与一度的角之和D．一弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角答案D2．在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角所对的弧长____________．(填“相等”或“不相等”)答案：不相等由于1弧度的圆心角所对的弧长等于圆的半径，而两个圆的半径不等，故在两个圆中，1弧度的圆心角所对的弧长不相等．问题2：弧度制和角度值的换算答：（1）因为半径为的圆周长为，所以周角的弧度数是，于是，因此；（2）设一个角的角度数为，弧度数为，则知识点2弧度制与角度制的换算1．角度与弧度的关系：180°＝πrad.2．设一个角的角度数为n，弧度数为α，则eq\f(n,180)＝eq\f(α,π).例1.把化成弧度（用表示），并在平面直角坐标系中作出它们的终边。解：设角的弧度数为，则，所以，即，对应的角的终边如图所示的射线OA。类似地，有，它们地终边分别为图中地射线OB，OC。因为，所以的角比小。例2.把化成角度数。解：设，则，因此即。【变式练习】将下列各角度与弧度互化．(1)°；(2)112°30′；(3)eq\f(9,4)π.解(1)°＝eq\f(π,180)rad×＝eq\f(3π,8)rad.(2)112°30′＝°＝eq\f(π,180)rad×＝eq\f(5π,8)rad.(3)eq\f(9,4)πrad＝eq\f(9,4)×180°＝405°.例3.把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角？(1)－1725°；(2)eq\f(64π,3)；(3)－4.解(1)因为－1725°＝－5×360°＋75°，所以－1725°＝－10π＋eq\f(5π,12).所以－1725°角与eq\f(5π,12)角的终边相同．又因为eq\f(5π,12)是第一象限角，所以－1725°是第一象限角．(2)因为eq\f(64π,3)＝20π＋eq\f(4π,3)，所以eq\f(64π,3)角与eq\f(4π,3)角的终边相同．又因为eq\f(4π,3)是第三象限角，所以eq\f(64π,3)是第三象限角．(3)－4＝－2π＋(2π－4)，所以－4与2π－4终边相同，又因为eq\f(π,2)<2π－4<π，所以2π－4是第二象限角，所以－4是第二象限角．【变式探究】用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．解(1)以OA为终边的角为eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)．所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)＋2kπ<α<\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))).(2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2kπ<α<\f(7π,6)＋2kπ，k∈Z)))).知识点3．特殊角的弧度数角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)Πeq\f(3π,2)2π问题3:弧长公式与扇形面积公式知识点4弧长公式在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，则α＝eq\f(l,r)，所以l＝αr，即弧长等于其所对应的圆心角的弧度数与半径的积．例4.利用弧度制推导扇形的面积公式其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径。解：设扇形的圆心角为，则扇形的面积为：又因为，所以.知识点5：扇形面积公式若l是扇形的弧长，r是扇形的半径，则扇形的面积公式是S＝eq\f(1,2)lr.例5.已知扇形的周长为20cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.则l＝20－2r，∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0<r<10)．∴当半径r＝5cm时，扇形的面积最大，为25cm2.此时α＝eq\f(l,r)＝eq\f(20－2×5,5)＝2(rad)．∴当它的半径为5cm，圆心角为2rad时，扇形面积最大，最大值为25cm2.【变式练习】已知扇形周长为5，面积为1，求扇形圆心角的弧度数．解设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＋2r＝5，①,\f(1,2)lr＝1，②))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r1＝\f(1,2)，,l1＝4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r2＝2，,l2＝1.))所以θ＝8rad>2πrad(舍去)或θ＝eq\f(1,2)rad.所以扇形圆心角的弧度数为eq\f(1