编码原理 习题 含答案或提示

纠错编码课程习题及解答提示奇校验码码字是cm0

,m,",m1 k

,p)，其中奇校验位p满足方程，m m0 1

"

k

p1mod2证明奇校验码的检错能力与偶奇校验码的检错能力相同，但奇校验码不是线性分组码。证明提示：奇数个差错的发生总导致校验方程不满足。全0向量不是奇校验码码字。一个(6,2线性分组码的一致校验矩阵为h 1 0 0 0 11 Hhh

0 0 0 1 120 0 1 0 123 h 0 1 1 1 04求hi

使该码的最小码距

min

3。求该码的系统码生成矩阵Gs及其所有4解题提示：对H作行初等变换得H

h1hh

1 0 0 0 11 0 0 1 0 2 1 hh 3

1 0 1 0 0hhh 0 1 0 0 04 2 3要使最小码距等于3h,

h,,

hh

h中任意两项为1，其余为零。当要使最1 1 2 1 3 4 2 3小码距大于3，有h,1

hh1 2

, h1 3

hh4

h中三项或四项均为1，其余为零。有上述关系可以3求得一组或多组关于hi

,i1,2,3,4的解。H作行初等变换得hhh

100110010100014 2 3 hh

1 0 1 0 0

T H 3 1

Q I hh

kr r 2 1h1一个纠错码的全部消息与码字的对应关系如下：(00)—(00000)，(01)—(00111)，(10)—(11110)，(11)—(11001)证明该码是线性分组码；求该码的码长，编码效率和最小码距；求该码的生成矩阵和一致校验矩阵；构造该码在BSC上的标准阵列；若在转移概率p103的BSC消息比特差错概率。解题提示：任意两个码字的和是另一个码字且全零向量为码字。log M

log4 2码长为向量长，即n5。码字数为4，故R q 2 。最小非零码字的n 5 5重量为minwd3。00114，任意两非零码字构成生成矩阵的行向量G11110G0011 11110条件，解得H的一种可能情况等于11000。0110标准阵列见题表3.。c＝00000c＝000000c＝001111c＝111102c＝110013e0e1e2e3e4e5e6e7＝0000000000001111111011001＝0000100001001101111111000＝0001000010001011110011011＝0010000100000111101011101＝0100001000011111011010001＝1000010000101110111001001＝1001010010101010110001011＝1010010100100110101001101按题解Ac

cE是包括无错图案和全部可纠正差错图案的集合，那么码字差错概率为P(e)1P(c)P(rceA)1P(c)P(e)W c

1P(c)P(e)

(P(c)均匀分布，信道差错均匀分布) 11 41p55p1p42p21p34 记消息比特差错概率为P(eP(e2，则应有

bP(e)PW

(e)1P11P(e)W12p5p22p3

B(c)11P(e)2bP(e)1b码字差错概率计算中

1pP(c0

)0.80.8，P(c1

)P(c2

)0.80.2，P(c3

)0.20.2消息比特差错概率：

P(e)1p55p1p42p21p3eE10.828p1p0.228p1p0.821p20.221p2

P(c0

)P(c1

)P(c11

)P(c3

1 1 1P P

P P P 1104 11021 1 1

01 02

11 12 10 4 41 1104 1102 81041104 810211024 4此题，恰有码字差错概率和消息比特差错概率相等。证明线性分组码的码字重量或者为偶数（0）或者恰好一半为偶数（包括0）证明提示：若码字重量全为奇数，则码不含全零码字，故不是线性码。c与c是偶数重码字。若M 个偶数重量的码字集和MccH1c

个奇数重量码字为集合c，则根据二元线性分组码的任意码字重量满足wH

c'w

cwH

'2wH

c'可得：对固定的奇数重码字c有1，所以1c，所以1

M

。又对任意奇数重码字c

j2,3,M，由01 j 101cc

而有，cc

j2,3,,M

，所以

1M

1M

M。1 j 1 j 1 1 0 0 1一个通信系统消息比特速率为10Kbps，信道为衰落信道，在衰落时间（最大为2ms）认为完全发生数据比特传输差错。求衰落导致的突发差错的突发比特长度。若采用汉明码和交织编码方法纠正突发差错，求汉明码的码长和交织深度。若用某个BCH码交织来纠正突发差错并限定交织深度不大于256，求合适的码长和BCH生成多项式。解题提示：（1）突发长度为b101032103

20bits。（2）汉明码可纠正t＝1个差错，所以交织深度D为b/t20长汉明码均可。（3）由bDt256t256d2，以及dnk1设计。若循环码以g(x)1x为生成多项式，则证明g(x可以构成任意长度的循环码；求该码的一致校验多项式hx；解题提示：（1）由xn1(x1)xn1xn2xn3"1)，1x总是xn1的因子。一致效验多项式为h(x)xn1/g(x)1xx2"xn1。对生成矩阵作行初等变换总能获得偶校验码的生成矩阵形式。1 1 0 " " 0 0 0 1 0 " 0 0 0 1 1 " " 0 0 0

0 1

" 0 0 等换 0 0 0 " " 1 1 0 0 0 " 0 0

0 0 " " 0 1 1

(n1)n

0 0

" 0 1

(n1)n已知线性分组码的生成矩阵为1 0 0 00 1 0 0G0 0 1 00 0 0 10 0 0 0

0 1 10 1 00 0 10 0 01 1 1

100，11证明该码为循环码；求该码的生成式g(x)，一致校验式h(x)和最小码距d 。解题提示：行等价生成矩阵为1000000

001101110001111000111100011110001110001

58g(x)1xx2x3，校验多项式为h(x)1xx4x52。ATM协议对帧头4字节比特）地址和路由信息校验所用的8比特CRC码生成多项式为的g(x)x8x2x的码，讨论其构造方法。

，在实际应用中是以此码构造一个最小码距为

d4

(40,32)解题提示：利用循环码缩短方法。对如下图和图两卷积码分别做：v(x)1消息u(x)消息u(x)v(x)图E-9A图E-9Bv(x)2G(x)GRKM。求自由距离df。画出开放型的状态转移图，栅格图。求消息u(100110)的卷积码码字序列v(v0

,v,v1

,)。在栅格图上画出消息u(100110)的编码路径。若消息u(100110)的相应码字序列 v(v0

,v,v1

,)在BSC上传送，差错图案是e(1000