电路分析-电子教案第

5.4一阶电路:三要素法

对一阶电路方程

y(t)+ay(t)=f(t)(t≥0)

其解一般由稳态响应与瞬态响应组成，对直流或阶跃信号而言，其稳态解为常数,所以

三要素公式

(t

≥0)

令t=0+，则起始值y(0+)=y()+K

从而K=y(0+)

y()

故得一般公式：（三要素：y()、y(0+)、）对电压响应和电流响应可分别表示为三要素的求法

y(0+)：换路前，求初始状态uC(0)或iL(0)定uC(0+)或iL(0+)；用电压源uC(0+)和电流源iL(0+)分别代替电容和电感，则可求其他元件的起始值。y()：换路后，作t

的等效电路：电容开路可定uC()，电感短路可定iL()。继而可定其他y()。：换路后，除电容和电感外，将电路等效为戴维宁电路或诺顿电路（图5-31）。则时间常数

=R0C（对RC电路）（对RL电路）图5-31求时间常数的最简电路

例

如图5-32所示电路，已知R1=3Ω,R2=6Ω,C=1F,

US=18V,t<0时电路已处于稳态。试对t≥0+求响应uC(t)和i(t)。图5-32

解

(1)求uC(0+)。首先在t=0_的电路上，即开关未合上时，求uC(0-)。由于t=0_时电路已稳定，电容上充电电流为零，电容相当于开路，故其两端电压uC(0-)=US=18V,由换路定律，得(2)求uC(∞)。当开关合上后，电路再达稳定时，C又相当于开路，如图5-32(b)所示，此时C两端的开路电压取决于R2上的分压，即(3)求τ。换路后，即合上开关，断开电容C，得到二端子电阻网络，如图5-32(b)所示。可得戴维宁等效电阻故时间常数所以，根据三要素公式得其波形如图5-33(a)所示。图5-33(4)求i(t)。因为t≥0+时，

uC(t)的变化即R2上电压的变化，故有注意:i(t)的时间常数仍为2s。

例如图5-34所示电路，已知t<0时电路已处于稳态。试对t

≥0+

求响应uL(t)和uC(t)。图5-34

解

t<0时，可得

对电容回路，用三要素法：

uC(0+)=uC(0)=9VuC()=10V1=R0C=21s=2s

所以(t

≥0)

对含电感的一阶电路，用iL(0+)=3A的电流源替代电感，在t=0+

的电路上可求得

uL(0+)=1V

又

uL()=0

故有

uL(t)=et(t≥0)

结论：用三要素法可同时确定完全响应（电压或电流）。

例如图5-35(a)所示电路，为直流发电机的励磁绕组电路模型。已知绕组电阻R=20Ω，电感L=20H，外加额定电压U=200V，试求:1)当开关S闭合后励磁电流i的变化规律和电流达到10A稳态值所需要的时间。

2)如果先将电压提高到250V，在3s后再调到200V，问励磁电流达到额定值所需的时间。图5-35解

(1)根据三要素法可得零状态响应电流为其中电压U=200V,τ=L/R=20/20=1s。故有当电流达到10A时所需时间应为5

τ

，即t=5s。(2)若提高电压到250V，则电流可表示为当电流i’达到10A时所需时间t’应满足解得t‘=1n5=1.6s，显然比额定电压为200V时要快得多。微分电路

图5-36微分电路及响应

由图5-36(a)，有

u1(t)=uC+u2

若u2

0，则u1

uC

故

实际输出：由三要素法

又u2(T)=U1

（

<<T时）则

如果输入信号周期变化，则有如下波形：u1(t)图5-37uR(t)uC(t)，较小uC(t)，较大积分电路

图5-38积分电路及响应

由图5-38(a)，有

uS(t)=uR+uC

实际输出：

若

>>T，uC(T)=U0

则

若uC

0，则uS

uR，

(t

≥T)

例确定RC分压器的阶跃响应u2(t)。图5-39

解已知uC1(0)=uC2(0)=0，由KVL，在t=0+

时

u1(0+)+u2(0+)=A(1)

由电荷守恒原理，应有