2023届四川省成都市郫都区九年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（每题4分，共48分）1．如果一个正多边形的内角和等于720°，那么这个正多边形的每一个外角等于（）A．45° B．60° C．120° D．135°2．如图，把正三角形绕着它的中心顺时针旋转60°后，是（）A． B． C． D．3．下列计算正确的是（）A．3x﹣2x＝1 B．x2+x5＝x7C．x2•x4＝x6 D．（xy）4＝xy44．如图，AB与⊙O相切于点A，BO与⊙O相交于点C，点D是优弧AC上一点，∠CDA＝27°，则∠B的大小是（）A．27° B．34° C．36° D．54°5．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2＝（x+3）2C．x2+﹣5＝0 D．x2＝06．从某多边形的一个顶点出发，可以作条对角线，则这个多边形的内角和与外角和分别是（）A．； B．； C．； D．；7．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）A．4 B．4 C．6 D．48．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝110°，则∠BCD的度数为（）A．55° B．70° C．110° D．125°9．如图，两根竹竿和都斜靠在墙上，测得，则两竹竿的长度之比等于（）A． B． C． D．10．已知=3，则代数式的值是（）A． B． C． D．11．如图，是的直径，弦于，连接、，下列结论中不一定正确的是（）A． B． C． D．12．下列图形中是中心对称图形的共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在矩形ABCD中，，对角线AC,BD交于点O，点M,N分别为OB,OC的中点，则的面积为____________.14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF=_____．15．已知，则__________．16．已知二次函数y=(x-2)2+3，当x_______________时，y17．已知反比例函数，在其位于第三像限内的图像上有一点M，从M点向y轴引垂线与y轴交于点N，连接M与坐标原点O，则ΔMNO面积是_____．18．在比例尺为1∶500000的地图上，量得A、B两地的距离为3cm，则A、B两地的实际距离为_____km．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，的顶点是双曲线与直线在第二象限的交点．轴于，且．（1）求反比例函数的解析式；（2）直线与双曲线交点为、，记的面积为，的面积为，求20．（8分）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？21．（8分）如图，抛物线与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点.抛物线上有一点，且.（1）求抛物线的解析式和顶点坐标.（2）当点位于轴下方时，求面积的最大值.（3）①设此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为.求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；②当时，点的坐标是___________.22．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，点为抛物线的顶点，为线段中点.（1）求的值；（2）求证：；（3）以抛物线的顶点为圆心，为半径作，点是圆上一动点，点为的中点（如图2）；①当面积最大时，求的长度；②若点为的中点，求点运动的路径长.

23．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥AC，垂足为D点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PB，PC，且满足∠PCA＝∠ABC（1）求证：PA＝PC；（2）求证：PA是⊙O的切线；（3）若BC＝8，，求DE的长．24．（10分）已知关于x的方程x2-(k-1)x+2k=0，若方程的一个根是–4，求另一个根及k25．（12分）感知定义在一次数学活动课中，老师给出这样一个新定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝90°，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．尝试运用（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分线．①证明△ABD是“类直角三角形”；②试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．类比拓展（2）如图2，△ABD内接于⊙O，直径AB＝10，弦AD＝6，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且∠CAD＝∠AOD，当△ABC是“类直角三角形”时，求AC的长．26．同学张丰用一张长18cm、宽12cm矩形纸片折出一个菱形，他沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）．（1）证明：四边形AECF是菱形；（2）求菱形AECF的面积．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】先用多边形的内角和公式求这个正多边形的边数为n，再根据多边形外角和等于360°,可求得每个外角度数．【详解】解：设这个正多边形的边数为n，

∵一个正多边形的内角和为720°，

∴180°（n-2）=720°，

解得：n=6，

∴这个正多边形的每一个外角是：360°÷6=60°．

故选：B．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．应用方程思想求边数是解题关键．2、A【分析】根据旋转的性质判断即可.【详解】解:∵把正三角形绕着它的中心顺时针旋转60°，∴图形A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查的是图形的旋转，和学生的空间想象能力，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.3、C【分析】分别根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方逐一判断即可．【详解】解：3x﹣2x＝x，故选项A不合题意；x2与x5不是同类项，故不能合并，故选项B不合题意；x2•x4＝x6，正确，故选项C符合题意；，故选项D不合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．4、C【分析】由切线的性质可知∠OAB=90°，由圆周角定理可知∠BOA=54°，根据直角三角形两锐角互余可知∠B=36°．【详解】解：∵AB与⊙O相切于点A，

∴OA⊥BA．

∴∠OAB=90°．

∵∠CDA=27°，

∴∠BOA=54°．

∴∠B=90°-54°=36°．故选C．考点：切线的性质．5、D【解析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1．逐一判断即可．【详解】解：A、当a＝0时，ax1+bx+c＝0，不是一元二次方程；B、x1﹣1＝（x+3）1整理得，6x+11＝0，不是一元二次方程；C、，不是整式方程，不是一元二次方程；D、x1＝0，是一元二次方程；故选：D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，正确把握一元二次方程的定义是解题关键．6、A【分析】根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，求出的值，再根据边形的内角和为，代入公式就可以求出内角和，根据多边形的外角和等于360，即可求解．【详解】∵多边形从一个顶点出发可引出4条对角线，

∴，

解得：，

∴内角和；任何多边形的外角和都等于360．故选：A．【点睛】本题考查了多边形的对角线，多边形的内角和及外角和定理，是需要熟记的内容，比较简单．求出多边形的边数是解题的关键．7、B【分析】由已知条件可得,可得出,可求出AC的长．【详解】解：由题意得：∠B=∠DAC，∠ACB=∠ACD,所以，根据“相似三角形对应边成比例”，得，又AD是中线，BC=8，得DC=4,代入可得AC=,故选B.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答．8、D【分析】根据圆周角定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质计算即可．【详解】由圆周角定理得,∠A=∠BOD=55°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD=180°−∠A=125°，故选：C.【点睛】此题考查圆周角定理及其推论，解题关键在于掌握圆内接四边形的性质.9、D【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．【详解】根据题意：在Rt△ABC中，，则，在Rt△ACD中，，则，∴．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．10、D【分析】由得出，即，整体代入原式，计算可得.【详解】，，，则原式.故选：.【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用.11、C【分析】根据垂径定理及圆周角定理对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，

∴AE=BE，，故A、B正确；

∵CD是⊙O的直径，

∴∠DBC=90°，故D正确．

故选：C．【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．12、B【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断．【详解】从左起第2、4个图形是中心对称图形，故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，注意掌握图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】由矩形的性质可推出△OBC的面积为△ABC面积的一半，然后根据中位线的性质可推出△OMN的面积为△OBC面积的，即可得出答案.【详解】∵四边形ABCD为矩形∴∠ABC=90°，BC=AD=4，O为AC的中点，∴又∵M、N分别为OB、OC的中点∴MN=BC，MN∥BC∴△OMN∽△OBC∴∴故答案为：.【点睛】本题考查了矩形的性质，中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方.14、2【详解】解：在Rt△ABC中，∵AD=BD=4，∴CD=AB=4，∵AF=DF，AE=EC，∴EF=CD=2，故答案为2.15、【分析】根据比例的性质，由得，x=，再将其代入所求式子可得出结果．【详解】解：由得，x=，所以．故答案为：．【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键，较简单．16、＜2（或x≤2）．【解析】试题分析：对于开口向上的二次函数，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大.根据性质可得：当x＜2时，y随x的增大而减小.考点：二次函数的性质17、3【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到：△MNO的面积为|k|，即可得出答案．【详解】∵反比例函数的解析式为，∴k=6，∵点M在反比例函数图象上，MN⊥y轴于N，∴S△MNO=|k|=3，故答案为：3【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．18、1【分析】由在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．【详解】解：∵比例尺为1：500000，量得两地的距离是3厘米，

∴A、B两地的实际距离3×500000=100000cm=1km，

故答案为1．【点睛】此题考查了比例尺的性质．注意掌握比例尺的定义，注意单位要统一．三、解答题（共78分）19、（1）；（2）【分析】（1）由可得，再根据函数图像可得，即可得到函数解析式.（2）先求得一次函数解析式，再联立方程组求得点A和点C的坐标，记直线与轴的交点为，求得点坐标为，，即可求得.【详解】解：（1）∵，∴双曲线在二、四象限反比例函数的解析式为（2）由（1）可得，代入可得一次函数的解析式为，联立方程组，得，易求得点为，点为记直线与轴的交点为，在中，当y=0，则x=2，∴点坐标为，，．【点睛】此题首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用解方程组来确定图象的交点坐标，及利用坐标求出线段和图形的面积．20、（1）y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；（2）当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元；（3）当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元．【分析】（1）当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．从而用60减去x，再除以10，就是降价几个10元，再乘以20，再把80加上就是平均月销售量；（2）利用（售价﹣进价）乘以平均月销售量，再减去每月需要支付的其他费用，让其等于1800，解方程即可；（3）由（2）方程式左边，可得每月获得的利润函数，写成顶点式，再结合函数的自变量取值范围，可求得取最大利润时的x值及最大利润．【详解】解：（1）由题意得：y＝80+20×∴函数的关系式为：y＝﹣2x+200（30≤x≤60）（2）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800解得x1＝55，x2＝75（不符合题意，舍去）答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元．（3）设每月获得的利润为w元，由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝﹣2（x﹣65）2+2000∵﹣2＜0∴当x≤65时，w随x的增大而增大∵30≤x≤60∴当x＝60时，w最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元．【点睛】本题综合考查了一次函数、一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性．21、（1），顶点坐标为；（2）8；（3）①；②.【分析】（1）将点C代入表达式即可求出解析式，将表达式转换为顶点式即可写出顶点坐标；（2）根据题目分析可知，当点P位于抛物线顶点时，△ABP面积最大，根据解析式求出A、B坐标，从而得到AB长，再利用三角形面积公式计算面积即可；（3）①分三种情况：0<m≤1、1<m≤2以及m>2时，分别进行计算即可；②将h=9代入①中的表达式分别计算判断即可.【详解】解：（1）将点代入，得，解得，∴，∵，∴抛物线的顶点坐标为；（2）令，解得或，∴，，∴，当点与抛物线顶点重合时，△ABP的面积最大，此时；（3）①∵点C(0，－3)关于对称轴x=1对称的点的坐标为(2，－3)，P(m，)，∴当时，，当时，，当时，,综上所述，；②当h=9时，若，此时方程无解，若，解得m=4或m=－2（不合题意，舍去），∴P(4，5).【点睛】本题为二次函数综合题，需熟练掌握二次函数表达式求法及二次函数的性质，对于动点问题正确分析出所存在的所有情况是解题关键.22、（1），；（2）证明见解析；（3）①或；②.【分析】（1）将代入二次函数的解析式即可求解；（2）证得是等边三角形即可证得结论；（3）①根据题意，当或时，或面积最大，利用三角形中位线定理可求得的长，利用勾股定理可求得，即可求得答案；②根据点M的运动轨迹是半径为2的，则的中点的运动轨迹也是圆，同样，的中点的运动轨迹也是圆，据此即可求得答案．【详解】∵二次函数的图象与轴交于两点，∴，解得：，故答案为：，；（2）由(1)得：抛物线的解析式为，∵二次函数的图象与轴交于两点，∴抛物线的对称轴为：，∴顶点的坐标为：，，∵，，∴，∴是等边三角形，∵为线段中点，∴；（3）①∵为定值，当时，面积最大，如图，由(2)得，，，∴∥，∵点为线段中点，点为的中点，∴∥，,∴三点共线，在Rt中，，，∴，∴；同理，当时，面积最大，同理可求得：；故答案为：或；②如图，∵点E的运动轨迹是，半径为，∴的中点的运动轨迹也是圆，半径为1，∴的中点M的运动轨迹也是圆，半径为，∴点M运动的路径长为：．故答案为：．【点睛】主要考查了二次函数的综合，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．23、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE＝1．【分析】（1）根据垂径定理可得AD＝CD，得PD是AC的垂直平分线，可判断出PA＝PC；（2）由PC＝PA得出∠PAC＝∠PCA，再判断出∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，再判断出∠PCA+∠CAB＝90°，得出∠CAB+∠PAC＝90°，即可得出结论；（2）根据AB和DF的比设AB＝3a，DF＝2a，先根据三角形中位线可得OD＝4，从而得结论．【详解】（1）证明∵OD⊥AC，∴AD＝CD，∴PD是AC的垂直平分线，∴PA＝PC，（2）证明：由（1）知：PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°．又∵∠PCA＝∠ABC，∴∠PCA+∠CAB＝90°，∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，∴PA是⊙O的切线；（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB，∴OD∥BC，OD＝BC＝＝4，∵，设AB＝3a，DF＝2a，∵AB＝EF，∴DE＝3a﹣2a＝a，∴OD＝4＝﹣a，a＝1，∴DE＝1．【点睛】本题考查的是圆的综合，难度适中，需要熟练掌握线段中垂线的性质、圆的切线的求法以及三角形中位线的相关性质.24、1，-2【解析】把方程的一个根–4，代入方程，求出k，再解方程可得.【详解】解：【点睛】考察一元二次方程的根的定义，及应用因式分解法求解一元二次方程的知识.25、（1）①证明见解析；②CE＝；（2）当△ABC是“类直角三角形”时，AC的长为或．【分析】（1）①证明∠A+2∠ABD=90°即可解决问题．②如图1中,假设在AC边设上存在点E（异于点D）,使得△ABE是“类直角三角形”,证明△ABC∽△BEC,可得,由此构建方程即可解决问题．（2）分两种情形:①如图2中,当∠ABC+2∠C=90°时,作点D关于直线AB的对称点F,连接FA,FB．则点F在⊙O上,且∠DBF=∠DOA．②如图3中,由①可知,点C,A,F共线,当点E与D共线时,由对称性可知,BA平分∠FBC,可证∠C+2∠ABC=90°,利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【详解】（1）①证明:如图1中,∵BD是∠ABC的角平分线,∴∠ABC＝2∠ABD,∵∠C＝90°,∴∠A+∠ABC＝90°,∴∠A+2∠ABD＝90°,∴△ABD为“类直角三角形”;②如图1中,假设在AC边设上存在点E（异于点D）,使得△ABE是“类直角三角形”,在Rt△ABC中,∵AB＝5,BC＝3,∴AC＝,∵∠AEB＝∠C+∠EBC＞90°,∴∠ABE+2∠A＝90°,∵∠ABE+∠A+∠CBE＝90°,∴∠A＝∠CBE,∴△ABC∽△BEC,∴,∴CE＝,（2）∵AB是直径,∴∠ADB＝90°