一元二次方程的解集及其根与系数的关系同步设计

一元二次方程的解集及其根与系数的关系教学设计【教学目标】1、掌握一元二次方程一般式解集的方法.2、掌握一元二次方程根与系数的关系.3、会用整体代入法解一元二次方程.4、学会用配方法推出一元二次方程的解集.5.灵活运用根与系数的关系解决一元二次方程问题.【教学重点】掌握用配方法，整体代入法解一元二次方程.用根与系数的关系解题.实际情景问题中构建一元二次方程模型.【教学难点】用整体代入法解一元二次方程.灵活运用根与系数的关系，基础恒等式解决问题.【教学过程】一、一元二次方程的解集【情境与问题】我们知道，形如ax2+bx+c=0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0.从上一节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用这种方法有时候并不容易，例如情境与问题中所得到的方程就是这种情形，此时该怎么办呢？【尝试与发现】你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？举例说明你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？举例说明.不难知道，如果一个一元二次方程可以化为x2=t的形式，其中t为常数，那么这个方程的解集①是容易获得的.（①如不特别声明，本书中所说的一元二次方程的解均指的是实数解，下同。）例如，方程x2=3的解集为{一，}，方程x2=0的解集为{0}，方程x2=-2的解集为∅.一般地，方程x2=t：当t>0时，解集为{，-}；（2）当t=0时，解集为{0}；（3）当t<0时，解集为∅.更进一步，形如(x-k)2=t（其中k，t是常数）的一元二次方程的解集也容易得到.例如，由(x-1)2=2可知x-1=﹣或x-1=，从而x=1-或x=1+，因此解集为{1-，1+}.一般地，方程(x-k)2=t：当t>0时，解集为；当t=0时，解集为；当t<0时，解集为.因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为(x-k)2=t的形式，就可得到方程的解集.【尝试与发现】怎样将怎样将x2+2x+3=0化为(x-k)2=t的形式?动手试试看,并写出这个方程的解集.我们知道,利用配方法可得x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2因此x2+2x+3=0可以化为(x+1)2=﹣2,从而解集为∅.事实上,利用配方法,总是可以将ax2+bx+c=0(a≠0)化为(x-k)2=t的形式,过程如下:因为a≠0,所以一般地，Δ=b2-4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式.由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定。前述情境与问题中的方程可以化为(x+17)2=71289，从而可解得x=250或x=-284（舍）.【典型例题】例1求方程的解集.分析这不是一个一元二次方程，但是通过把看成一个整体就可以转化为一个一元二次方程.解设=y,则y≥0,且原方程可变为因此可知y=1+或y=1-(舍)从而=1+,即x=3+2,所以原方程的解为{3+2}.一元二次方程根与系数的关系我们知道，当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时，这个方程的解可以记为①①当Δ=0时，x1=x2，按照初中的习惯，我们仍称方程有两个相等的实数根.【尝试与发现】计算计算x1+x2和x1x2的值,并填空:x1+x2=,x1x2=,这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系.【典型例题】例2已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为x1与x2，求下列各式的值：（1）x12+x22；