《等比数列》设计2

《等比数列》教学设计（2）[课题]等比数列的前项和公式[课型]新授课[课时计划]2课时[教学目标]（1）通过教学使学生掌握等比数列前项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些数列的前项和；（2）通过公式的推导过程，培养学生类比与分类讨论的能力，提高学生的数学素质；（3）通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度。[教学重点]等比数列的前项和公式[教学难点]等比数列的前项和公式中分类讨论的思想及应用[教学过程]新课引入：提出问题：我们已经知道一个等差数列的前项和的求法，是利用“倒序相加”法，那么如何来求一个等比数列的前项和，是否也有特定的方法和固定的公式呢？（联系并类比等差数列中的结论1）若数列是首项为，公比为的等比数列，则——①问题1：如果也用“倒序相加”法，得到的式子是否能求和？——由于对应项不是同类项，所以等差数列的求和方法不再适用。问题2：原式求和的困难在哪里？——各因子次数递增，无法合并或相消。问题3：能否构造一个与之相关的式子，使得出现相同的因子，进行合并或相消？——在①式的左右两边同时乘以公比，然后相减就抵消了公因式（这种求和的方法称为“错位相减”法）。等比数列的前项和公式的推导：——①——②①-②得：——③对③式，要求，应在左右两边同除，此时应先对分类讨论。——④即为首项为，公比为的等比数列的求和公式。等比数列的前项和公式的理解：公式④和首项、项数、公比有关，所以在应用公式时一定要搞清项数，同时对等比数列的这五个量有“知三求二”的特点；“错位相减”法在数列的求和中应用十分广泛，通常用于求一个由等差与等比数列的乘积构成的数列的前项和。它的方法是将乘以等比数列的公比，再作差而得；在利用“错位相减”求数列前项和时，特别要注意对公比是否为1进行分类讨论。等比数列的前项和公式的巩固与应用举例：例1、求下列数列的前项和：（1）；（公式的简单应用）——（2）；（对公式中项数的判断）——（3）；（已知，求）——例2、已知公比为的等比数列前5项和为，求这个数列的首项和。——（可由师生共同完成，或请学生独立完成。）例3、已知等比数列，求使得的最小的。——例4、求——原式本题要注意对进行分类讨论：当时，数列非等比数列，可直接求和；当时，是常数列，；当且时，注意项数为。等比数列的前项和公式的拓展：公式的变形使用：（求等比数列某一片段的和）例：已知等比数列公比为，求。分析：方法一，将视为首项，视为末项，则共有项；方法二，利用求得。——（联系并类比等差数列中的结论2）常用结论：若为等比数列，且公比，则为等比数列，其中。（联系并类比等差数列中的结论3）例：若等比数列，（1）求；（2）求——或。利用“错位相减”求数列前项和的简单应用（公式推导方法的应用）求和：——说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.。归纳小结：等比数列前项和公式推导中蕴含了分类讨论思想方法；等比数列的大多数问题的解决方法都可以通过等差数列进行类比得到；用“错位相减”求某些数列的前项和使用条件。作业：已知等比数列中，公比，求。（）在等比数列中，若，求。（=8）等比数列