《古典概型》设计2

5.3.3古典概型【教学目标】1.理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．2．会用列举法求古典概型的概率．3．应用古典概型的概率计算公式求复杂事件的概率．【教学重点】会用列举法求古典概型的概率．【教学难点】会判断古典概型，能应用古典概型的概率计算公式求复杂事件的概率．【课时安排】1课时【教学过程】新知初探1．古典概型的概念一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型．2．古典概型的特征(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．3．古典概型中事件的概率在样本空间含有n个样本点的古典概型中，(1)每个基本事件发生的概率均为eq\f(1,n)；(2)如果随机事件C包含m个样本点，由互斥事件的概率加法公式可得P(C)＝eq\f(m,n).思考：从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？[提示]不是．因为有无数个基本事件．4．古典概型中概率的性质假设古典概型对应的样本空间含n个样本点，事件A包含m个样本点，则：(1)由0≤m≤n与P(A)＝eq\f(m,n)可知0≤P(A)≤1；(2)因为eq\o(A,\s\up12(－))中所含的样本点个数为n－m，所以P(eq\o(A,\s\up12(－)))＝eq\f(n－m,n)＝1－eq\f(m,n)＝1－P(A)，即P(A)＋P(eq\o(A,\s\up12(－)))＝1；(3)若事件B包含有k个样本点，而且A与B互斥，则容易知道A＋B包含m＋k个样本点，从而P(A＋B)＝eq\f(m＋k,n)＝eq\f(m,n)＋eq\f(k,n)＝P(A)＋P(B)．小试牛刀1.下列试验中是古典概型的是()A.在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球C.向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的D.射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环解析：对于A，发芽与不发芽概率不同；对于B，任取一球的概率相同，均为eq\f(1,4)；对于C，基本事件有无限个；对于D，由于受射击运动员水平的影响，命中10环，命中9环，…，命中0环的概率不等．因而选B.答案：B2．北京冬奥会将要在某高校的8名懂外文的志愿者中选1名，其中有3人懂日文，则选到懂日文的志愿者的概率为()A.eq\f(3,8)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,5)A[8名懂外文的志愿者中随机选1名其样本空间包含8个样本点，“选到懂日文的志愿者”包含3个样本点，因此所求概率为eq\f(3,8).]3.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社会服务，则选中的2人都是女同学的概率为()A．0.6 B．0.5C．0.4 D．0.3解析：选D.将2名男同学分别记为x，y，3名女同学分别记为a，b，c.设“选中的2人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的样本空间为{(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共10个样本点，其中事件A包含的样本点有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3个，故P(A)＝eq\f(3,10)＝0.3.故选D.4.从甲、乙、丙三人中任选两人参加某项活动，其中“甲被选中”这一事件所含的样本点有________个．解析：(甲，乙)，(甲，丙)，共2个．答案：2例题讲解古典概型的判断【例1】判断下列试验是不是古典概型：(1)口袋中有2个红球、2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球；(2)从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表；(3)射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数．【解】(1)每次摸出1个球后，放回袋中，再摸1个球．显然，这是有放回抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型．(2)从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果：抽到学生甲，抽到学生乙，抽到学生丙，抽到学生丁，抽到学生戊．因此该试验是古典概型．(3)射击的结果：脱靶0次，脱靶1次，脱靶2次，…，脱靶5次．这都是样本点，但不是等可能事件．因此该试验不是古典概型．方法总结古典概型的判断方法一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型．当堂练习1下列试验是古典概型的为________.(填序号)①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；②同时掷两枚骰子，点数和为7的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．①②④[①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，三天中是否降雨受多方面因素影响．]古典概型计算公式求解概率例2.从含有两件正品和一件次品的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，求取出的两件产品恰有一件次品的概率.解：按题意，取产品的过程可以用如图树形图直观表示：因此样本空间可记为：共包含6个样本点.用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”，则A包含的样本点个数为4，所以方法总结在求解概率问题时，常常遇到这样的情况，即从一堆小球中抽取几个小球，根据小球的颜色求解概率．解决此类问题时，首先要分清抽取的方式，即“有放回”与“无放回”．“有放回”是指抽取物体时，每一次抽取之后，都将被抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的．“无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，被抽取的物体放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少1.这两种情况下基本事件总数是不同的．当堂练习2如果把例3中的条件改为：“每次取出后不放回“换成”每次取出后放回”，其余不变，则所求事件发生的概率将有所变化.解：样本空间应记为：共包含9个样本点，而事件：A包含的样本点个数为4，所以因为锤子赢剪刀，剪刀赢布，布赢锤子，因此若记事件A为“平局“，B为”甲赢“，则：（1）事件A包含3个样本点（图中的Δ），因此；（2）事件B包含3个样本点（图中的※），因此；（3）因为A+B表示“甲不输”，且A，B互斥，因此所求概率为：【例4】先后掷两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记A：点数之和为7，B：至少出现一个3点，求P(A)，P(eq\x\to(A))，P(B)，P(AB)．【解析】用数对(x，y)来表示抛掷结果，则样本空间可记为Ω＝{(i，j)|i，j＝1,2,3,4,5,6}，而且样本空间可用图直观表示．样本空间中，共包含36个样本点．不难看出，A＝{(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)}，A包含6个样本点(即图中虚线框中的点)，因此P(A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).方法总结：当列举基本事件涉及到分步或者需要考虑两个要素是，可以采用表格直观表示，并可以灵活使用概率的性质.例5.人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分，这是由对应的基因决定的.生物学上已经证明：决定眼皮单双基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；基因总是成对出现（如BB，bB，Bb，bb），而成对的基因中，只要出现了显性基因，那么这个人就一定是双眼皮（也就是说，“单眼皮”的充要条件是“成对的基因是bb”）；如果不发生基因突变的话，成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，但父母亲提供基因时都是随机的.有一对夫妻，两人成对的基因都是Bb，不考虑基因突变，求他们的孩子是单眼皮的概率.解：我们用连着写的两个字母表示孩子的成对的基因，其中第一个字母表示父亲提供的基因，第二个字母表示母亲提供的基因.由下图的树形图可知，样本空间中共4个样本点，即：孩子要是单眼皮，成对的基因只能是bb,因此所求的概率为.古典概型中基本事件的探求方法：(1)列举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的．如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的．如(1,2)与(2,1)相同．当堂练习3有A,B,C,D四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上,现在这四人均未留意,在四个席位上随便就坐.(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率.(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率.(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率.【解析】将A,B,C,D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来:如图所示,本题中的等可能样本点共有24个.(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”,则事件A只包含1个样本点,所以P(A)=.(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”,则事件B包含9个样本点,所以P(B)=(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”,则事件C包含8个样本点,所以P(C)=课堂小结1.古典概型中基本事件的探求方法：(1)列举法：适合给定的基本事件个