空间向量基本定理

课时作业(二)空间向量基本定理一、选择题1．下列命题中正确的个数是()①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．②向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面．③如果三个向量a，b，c不共面，那么对于空间任意一个向量p存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.④若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．A．0B．1C．2D．32．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是()A．aB．bC．cD．无法确定3.如图所示，空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(MA,\s\up6(→))，N为BC中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))等于()\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)cB．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)c\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c4．对空间任一点O和不共线三点A、B、C，能得到P，A，B，C四点共面的是()\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))\o(OP,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))D．以上皆错二、填空题5．下列命题是真命题的是________(填序号)．①若A，B，C，D在一条直线上，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量；②若A，B，C，D不在一条直线上，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))不是共线向量；③若向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；④若向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上．6．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.7.如图，点M为OA的中点，{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))}为空间的一个基底，eq\o(DM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))＋zeq\o(OD,\s\up6(→))，则有序实数组(x，y，z)＝________.三、解答题8．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，试判断{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}能否作为空间的一个基底．9.如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQQA′＝41，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(AM,\s\up6(→))；(3)eq\o(AN,\s\up6(→))；(4)eq\o(AQ,\s\up6(→)).[尖子生题库]10.如图，空间四边形ABCD中，点G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，则eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))的化简结果为()\o(AF,\s\up6(→))\o(AH,\s\up6(→))\o(AE,\s\up6(→))\o(CF,\s\up6(→))课时作业(二)空间向量基本定理1．解析：①中当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误；②中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；③正确；④不对，a，b不共线．当c＝λa＋μb时，a，b，c共面．答案：B2．解析：∵a＝eq\f(1,2)p＋eq\f(1,2)q，∴a与p，q共面，∵b＝eq\f(1,2)p－eq\f(1,2)q，∴b与p，q共面，∵不存在λ，μ，使c＝λp＋μq，∴c与p，q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C.答案：C3．解析：eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\o(ON,\s\up12(→))－eq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)－eq\f(2,3)a＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.答案：B4．解析：∵eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up12(→))，∴3eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))，∴eq\o(OP,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝(eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OP,\s\up12(→)))＋(eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OP,\s\up12(→)))∴eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→))，∴eq\o(PA,\s\up12(→))＝－eq\o(PB,\s\up12(→))－eq\o(PC,\s\up12(→))，∴P，A，B，C四点共面．答案：B5．解析：①为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))的方向相同或相反，因此eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(CD,\s\up12(→))是共线向量；②为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))的方向不确定，不能判断eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(CD,\s\up12(→))是否为共线向量；③为假命题，因为eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(CD,\s\up12(→))两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A，B，C，D四点不一定在一条直线上；④为真命题，因为eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))两个向量所在的直线有公共点A，且eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(AC,\s\up12(→))是共线向量，所以A，B，C三点共线．故填①④.答案：①④6．解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1)).答案：1－17．解析：eq\o(DM,\s\up12(→))＝eq\o(OM,\s\up12(→))－eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OD,\s\up12(→))，所以有序实数组(x，y，z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－1))8．解析：假设eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OB,\s\up12(→))，eq\o(OC,\s\up12(→))共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得eq\o(OA,\s\up12(→))＝xeq\o(OB,\s\up12(→))＋yeq\o(OC,\s\up12(→))成立，即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，所以e1，e2，e3不共面，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋y＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1，))此方程组无解．即不存在实数x，y，使得eq\o(OA,\s\up12(→))＝xeq\o(OB,\s\up12(→))＋yeq\o(OC,\s\up12(→))成立，所以eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OB,\s\up12(→))，eq\o(OC,\s\up12(→))不共面．故{eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OB,\s\up12(→))，eq\o(OC,\s\up12(→))}能作为空间的一个基底．9．解析：连接AC，AD′，AC′(图略)．(1)eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(AA′,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(AA′,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．(2)eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(AD′,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋2eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(AA′,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)eq\o(AN,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up12(→))＋eq\o(AD′,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(AA′,\s\up12(→)))＋(eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(AA′,\s\up12(→)))]＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋2eq\o(AD,\s\up12(→))＋2eq\o(AA′,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋c.(4)eq\o(AQ,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(CQ,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\f(4,5)(eq\o(AA′,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up12(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up12(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(1,5)b＋eq\f(4,5)c.10．解析：∵G是△BCD的重心，∴|eq\o(GE,\s\up12(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(BE,\s\up12(→))|，∴eq\o(GE,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up12(→)).又eq\o(EF,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\u