《十字相乘法》设计2

《十字相乘》教学设计（1）教学目标1．使学生掌握通过换元的方法，把可以转化为形如x2＋px＋q的某些多项式分解因式，渗透化归和整体思想方法；2．掌握某些二次齐次式的因式分解方法．教学重点和难点重点：运用换元法，对可转化为形如x2＋px＋q的某些多项式进行因式分解．难点：理解二次三项式x2＋px＋q中的x即可以是单项式，也可以是多项式；对于p和q，不仅可以是单项式（包括数），也可以是多项式．教学过程设计一、复习1．把下列各式分解因式：（1）x2＋5x＋4；（2）y2＋4y－5；（3）m2－6m＋8；（4）p2－5p－36．答：（1）（x＋1）（x＋4）；（2）（y＋5）（y－1）；（3）（m－2）（m－4）；（4）（p＋4）（p－9）．2．问：在二次三项式x2＋px＋q中，p和q各满足什么条件时，可以因式分解?答：把常数q分解因数，选择其中的两个因数，使它们的代数和等于p，此时，二次三项式x2＋px＋q可以分解因式．二、新课二次三项式x2＋px＋q中的x，不仅可以是单项式，也可以是多项式．同样，P和q不仅可以是单项式（包括数），也可以是多项式．对于这样的多项式怎样分解因式呢?例1把x4＋6x2＋8分解因式．分析：这个多项式不是关于x的二次三项式，如果把x2设为y，那么这个多项式就可转化为y2＋6y＋8，这是关于y的二次三项式，我们就可以运用上一节课所学的方法分解因式了．这里，设y＝x2，把y称为辅助元，这种方法叫做换元法解设x2＝y，则多项式变为y2＋6y＋8，把它分解因式，得y2＋6y＋8＝（y＋2）（y＋4）．再把y换成x2，得x4＋6x2＋8＝（x2）2＋6x2＋8＝（x2＋2）（x2＋4）．指出：通过设辅助元，把所给的多项式转化为形如x2＋px＋q的二次三项式，在解题中，代换的步骤可以省略．例2把（a＋b）2－4（a＋b）＋3分解因式．分析：如果把（a＋b）看作一个整体，这样原多项式可看成关于（a＋b）的二次三项式，就可以进行因式分解了．解（a＋b）2－4（a＋b）＋3＝（a＋b－1）（a＋b－3）．指出：把（a＋b）看作二次三项式x2＋px＋q中的字母x的方法称为“换元法”，这种“整体”思想方法是代数中的主要思想方法，它能起到化难为易，化繁为简的作用．例3把（x2－3x＋2）（x2－3x－4）－72因式分解．分析：这个多项式较复杂，若能注意题目中的各项的特点，把某些项看作一个整体，运用代换法，即通过设辅助元，把原多项式转化为形如x2＋px＋q的二次三项式，就可以进行因式分解了．问：运用整体思想和换元法，可以有几种不同的分解因式的方法?（不要求写出设辅助元的代换过程．）解方法1把x2－3x看作一个整体．原式＝[（x2－3x）＋2][（x2－3x）－4]－72＝（x2－3x）2－2（x2－3x）－80＝（x2－3x－10）（x2－3x＋8）＝（x－5）（x＋2）（x2－3x＋8）．方法2把x2－3x＋2看作一个整体．原式＝（x2－3x＋2）[（x2－3x＋2）－6]－72＝（x2－3x＋2）2－6（x2－3x＋2）－72＝[（x2－3x＋2）－12][（x2－3x＋2）＋6]＝（x2－3x－10）（x2－3x＋8）＝（x－5）（x＋2）（x2－3x＋8）．方法3把x2－3x－4看作一个整体．原式＝[（x2－3x－4）＋6]（x2－3x－4）－72＝（x2－3x－4）2＋6（x2－3x－4）－72＝（x2－3x－4＋12）（x2－3x－4－6）＝（x2-3x＋8）（x2-3x-10）＝（x2－3x＋8）（x－5）（x＋2）．指出；通过例3可以看到，如果把二次三项式（x2－3x＋2）与二次三项式（x2－3x－4）相乘，将得到一个四次多项式，这时再分解因式就困难了．如果把其中的某些项看作一个整体（即把它看作一个新的辅助元），这就把问题转化为我们熟悉的关于新辅助元的二次三项式，就可以用学过的方法分解因式了．例4把x2－3xy＋2y2分解因式．问：所给的多项式的结构特点是什么?答：多项式中的x和y的最高次项都是2次，中间项x与y的乘积项，次数也是2次，因此这个多项式既可以看作是关于x的二次三项式，也可以看作是关于y的二次三项式．问：如果把它看作是关于x的二次三项式，怎样分解因式?答：这时，2y2就相当于常数项，可以把它分解为－y与－2y的积，那么－y＋（－2y）＝－3y恰好等于一次项x的系数．解x2－3xy＋2y2＝x2－3yx＋2y2＝（x－y）（x－2y）．指出：由例4可以看到，当二次三项式x2＋px＋q中的p和q是一个单项式时，如果q可以分觖成两个因式之积，而这两个因式之和正好等于一次项系数p时，这样的二次三项式就可以分解因式．三、课堂练习把下列各式分解因式：1．x4－15x2＋26；2．（x＋y）2－（x＋y）－2；3．y4－26y2＋25；4．（a－b）2＋6（b－a）＋5；5．（x2－2x）2－7（x2－2x）－8；6．x2－2xy－8y2；7．x2＋（a＋b）x＋ab；8．x4－7x2y2＋6y4；9．（a＋b）2＋m（a＋b）－12m2．答案：1．（x2－13）（x2-2）；2．（x＋y＋1）（x＋y－2）；3．（y＋5）（y－5）（y＋1）（y－1）；4．（a－b－1）（a－b－5）；5．（x－4）（x＋2）（x－1）2；6．（x＋2y）（x－4y）；7．（x＋a）（x＋b）；8．（x＋y）（x－y）（x2－6y2）；9．（a＋b＋4m）（a＋b－3m）．四、小结本节课所讨论的四个例题都可以通过换元方法，即整体思想方法把原问题转化为形如x2＋px＋q的二次三项式的因式分解问题．学会具体解题方法固然重要，但通过解数学题掌握数学思想方法更为重要．五、作业把下列各式分解因式：1．（1）x4＋7x2－18；（2）x6＋8x3＋15；（3）m2x2－8mx＋12；（4）x2y2－7xy＋10；2．（1）x2－7xy＋12y2；（2）a2＋2ab－15b2；（3）m2＋4mn－12n2；（4）p2＋9pq＋18q2．3．（1）（m＋n）2－（m＋n）－30；（2）（x－y）2－3（x－y）－40；（3）（2m＋n）2－4r（2m＋n）＋3r2；（4）（a－b）2－12（a－b）－45．4．（1）（x2－4x）2－（x2－4x）－20；（2）（a2＋5a＋3）（a2＋5a－2）－6．答案：1．（1）（x2－2）（x2＋9）；（2）（x2＋3）（x3＋5）；（3）（mx－2）（mx－6）；（4）（xy－2）（xy－5）．2．（1）（x－3y）（x－4y）；（2）（a＋5b）（a－3b）；（3）（m－2n）（m＋6n）；（4）（p＋3q）（p＋6q）．3．（1）（m＋n－6）（m＋n＋5）；（2）（x－y＋5）（x－y－8）；（3）（2m＋n－r）（2m＋n－3r）；（4）（a－b－15）（a－b＋3）．4．（1）（x＋1）（x－5）（x－2）2；（2）（a2＋5a＋3）（a2＋5a－4）－6＝[（a2＋5a）＋3][（a2＋5a）－2]－6＝（a2＋5a）2＋（a2＋5a）－12＝（a2＋5a＋4）（a2＋5a－3）＝（a＋1）（a＋4））（a2＋5a－3）．课堂教学设计说明通过例1～例3的讨论，向学生介绍换元法，渗透整体思想和化归的思想方法，关于换元法和整体思想方法，在教科书中没有向学生提出，但是，对于帮助学生理解和掌握如例1～例3类型的问题，让学生学习换元法和整体思想方法是有重要作用的．通过换元法把可化归为形如x2＋px＋q的某些多项式分解因式，使学生体会到，学习新知就说好比“