单位圆与三角函数线习题设计

7.学习目标核心素养1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点)2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．(难点)1.通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养．2.借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养.新知探究1.单位圆(1)一般地把半径为1的圆叫做单位圆．(2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．2.三角函数线思考：三角函数线的方向是怎样确定的？[提示]三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正值，反向的为负值．小试身手1.如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线eq\o(PM,\s\up8(→))，正切线eq\o(A′T′,\s\up8(→))B．正弦线eq\o(MP,\s\up8(→))，正切线eq\o(A′T′,\s\up8(→))C．正弦线eq\o(MP,\s\up8(→))，正切线eq\o(AT,\s\up8(→))D．正弦线eq\o(PM,\s\up8(→))，正切线eq\o(AT,\s\up8(→))C[由三角函数线的定义知C正确．]2.角eq\f(π,5)和角eq\f(6π,5)有相同的()A．正弦线 B．余弦线C．正切线 D．不能确定C[eq\f(π,5)与eq\f(6π,5)的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线．]3.角eq\f(5π,6)的终边与单位圆的交点的坐标是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))[由于角eq\f(5π,6)的终边与单位圆的交点横坐标是coseq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),2)，纵坐标是sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，∴角eq\f(5π,6)的终边与单位圆的交点的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))).]三角函数线的概念【例1】(1)设P点为角α的终边与单位圆O的交点，且sinα＝MP，cosα＝OM，则下列命题成立的是()A．总有MP＋OM＞1B．总有MP＋OM＝1C．存在角α，使MP＋OM＝1D．不存在角α，使MP＋OM＜0(2)分别作出eq\f(3,4)π和－eq\f(4,7)π的正弦线、余弦线和正切线．(1)C[显然，当角α的终边不在第一象限时，MP＋OM＜1，MP＋OM＜0都有可能成立；当角α的终边落在x轴或y轴正半轴时，MP＋OM＝1，故选C．](2)[解]①在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox轴为始边作eq\f(3,4)π角，角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sineq\f(3,4)π＝MP，coseq\f(3,4)π＝OM，taneq\f(3,4)π＝AT，即eq\f(3,4)π的正弦线为eq\o(MP,\s\up8(→))，余弦线为eq\o(OM,\s\up8(→))，正切线为eq\o(AT,\s\up8(→)).②同理可作出－eq\f(4,7)π的正弦线、余弦线和正切线，如图乙．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,7)π))＝M1P1，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,7)π))＝O1M1，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,7)π))＝A1T1，即－eq\f(4,7)π的正弦线为eq\o(M1P1,\s\up8(→))，余弦线为eq\o(O1M1,\s\up8(→))，正切线为eq\o(A1T1,\s\up8(→)).1.作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．2.作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线eq\o(AT,\s\up8(→))，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线．1.下列四个命题中：①α一定时，单位圆中的正弦线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等；③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上．不正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3C[由三角函数线的定义①④正确，②③不正确．②中有相同正弦线的角可能不等，如eq\f(5π,6)与eq\f(π,6)；③中当α＝eq\f(π,2)时，α与α＋π都没有正切线．]利用单位圆解三角不等式【例2】在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).[思路探究]作出满足sinα＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(1,2)的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围．[解](1)作直线y＝eq\f(\r(3),2)，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋eq\f(π,3)≤α≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}.(2)作直线x＝－eq\f(1,2)，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋eq\f(2π,3)≤α≤2kπ＋eq\f(4π,3)，k∈Z}.1.通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤：(1)作出取等号的角的终边；(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；(3)将图中的范围用不等式表示出来．2.求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域．2.求y＝lg(1－eq\r(2)cosx)的定义域．[解]如图所示，∵1－eq\r(2)cosx＞0，∴cosx＜eq\f(\r(2),2)，∴2kπ＋eq\f(π,4)＜x＜2kπ＋eq\f(7π,4)(k∈Z)，∴函数定义域为(2kπ＋eq\f(π,4)，2kπ＋eq\f(7π,4))(k∈Z).三角函数线的综合应用[探究问题]1.为什么在三角函数线上，点P的坐标为(cosα，sinα)，点T的坐标为(1，tanα)呢？[提示]由三角函数的定义可知sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，而在单位圆中，r＝1，所以单位圆上的点都是(cosα，sinα)；另外角的终边与直线x＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tanα＝eq\f(y,x)，知纵坐标y＝tanα，所以点T的坐标为(1，tanα)．2.如何利用三角函数线比较大小？[提示]利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负．【例3】已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，试比较sinα，α，tanα的大小．[思路探究]本题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sinα，α，tanα，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决．[解]如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，单位圆交x轴正半轴于点A，作PM⊥x轴，作AT⊥x轴，交α的终边于点T，由三角函数线定义，得sinα＝MP，tanα＝AT，又α＝eq\o(AP,\s\up10(︵))的长，∴S△AOP＝eq\f(1,2)·OA·MP＝eq\f(1,2)sinα，S扇形AOP＝eq\f(1,2)·eq\o(AP,\s\up10(︵))·OA＝eq\f(1,2)·eq\o(AP,\s\up10(︵))＝eq\f(1,2)α，S△AOT＝eq\f(1,2)·OA·AT＝eq\f(1,2)tanα.又∵S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，∴sinα＜α＜tanα.1.本题的实质是数形结合思想，即要先找到与所研究问题相应的几何解释，再由图形相关性质解决问题．2.三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题．3.利用三角函数线证明：|sinα|＋|cosα|≥1.[证明]（图略）在△OMP中，OP＝1，OM＝|cosα|，MP＝|sinα|，因为三角形两边之和大于第三边，所以|sinα|＋|cosα|＞1.当点P在坐标轴上时，|sinα|＋|cosα|＝1.综上可知，|sinα|＋|cosα|≥1.课堂小结1.应用三角函数线比较大小的策略①三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．②比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度