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文档简介
解析:由直线与平面垂直的判定定理和性质定理可知②和③正确,①中m还可能在α内,或者是平面α的一条斜线.答案:
B2.下面命题中:①两平面相交,如果所成的二面角是直角,则这两个平面垂直;②一直线与两平面中的一个平行与另一个垂直,则这两个平面垂直;③一平面与两平行平面中的一个垂直,则与另一个平面也垂直;④两平面垂直,经过第一个平面上一点垂直于它们交线的直线必垂直于第二个平面.其中正确的命题有(
)A.2个
B.3个C.4个
D.0个解析:①两平面垂直的定义,正确.②可转化为判定定理证明,正确.③借助于实物或画图都可得出结论,正确.④应为在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于第二个平面,错误.答案:B3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C与对角面DD1B1B所成角的大小是(
)A.15°B.30°C.45°D.60°答案:B4.如图,平面ABC⊥平面BDC,∠BAC=∠BDC=90°,且AB
=AC=a,则AD=________.答案:a5.设直直线m与平面面α相交但但不垂垂直,,给出出以下下说法法:①在平平面α内有且且只有有一条条直线线与直直线m垂直;;②过直直线m有且只只有一一个平平面与与平面面α垂直;;③与直直线m垂直的的直线线不可可能与与平面面α平行;;④与直直线m平行的的平面面不可可能与与平面面α垂直..其中错错误的的是________.解析::因为直直线m是平面面α的斜线线,在在平面面α内,只只要和和直线线m的射影影垂直直的直直线都都和m垂直,,所以以①错错误;;②正正确;;③错错误,,设b⊂α,b⊥m,c∥b,c⊄α,则c∥α,c⊥m;④错错误,,如正正方体体AC1,m是直线线BC1,平面面ABCD是α,则平平面ADD1A1既与α垂直,,又与与m平行..答案::①③④④1.直线线与平平面垂垂直(1)定义::如果果直线线l与平面面α内的每每一条条直线线都垂垂直,,就说直线线l与平面面α互相垂垂直,,记作作.(2)判定定定理::一条条直线线与一一个平平面内内的直线都都垂直,,则该该直线线与此此平面面垂直直.用符号号表示示为::l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,⇒l⊥α.l⊥α两条相相交a∩b=P(3)性质::①若l⊥α,a⊂α⇒,这是是我们们在空空间证证明线线线垂垂直的的一种种重要要方法法.②性质质定理理:垂垂直于于同一一平面面的两两条直直线.用符号号表示示:a⊥α,b⊥α⇒.l⊥a平行a∥b2.直线和平平面所成的的角(1)定义:平面面的一条斜斜线和所成的锐角叫做这条条直线和这这个平面所所成的角..规定:当直直线与平面面垂直和平平行(含直线在平平面内)时,则直线线和平面所所成的角分分别为.(2)线面角的范范围为..它在平面上上的射影3.二面角(1)二面角:从从一条直线线所组成的图形形叫做二面面角.这条条直线叫做做.两个半平平面叫做二二面角的面面.如图,记作作:αlβ或αABβ或PABQ.出发的两个个半平面二面角的棱棱(2)二面角的平平面角如图,二面面角αlβ,若有①O∈l,②OA⊂α,OB⊂β,③OA⊥l,OB⊥l,则∠AOB就叫做二二面角αlβ的平面角角.4.平面与与平面垂垂直如图,在在四棱锥锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点..(1)求证:CD⊥AE;(2)求证:PD⊥面ABE.考点一直线和平面垂直的判定和性质
[自主解答答](1)∵PA⊥底面ABCD,∴CD⊥PA.又CD⊥AC,PA∩AC=A,∴CD⊥面PAC.AE⊂面PAC,故CD⊥AE.(2)∵PA=AB=BC,∠ABC=60°,∴PA=AC,又E是PC的中点,,∴AE⊥PC.由(1)知CD⊥AE,从而AE⊥面PCD,故AE⊥PD.易知BA⊥PD,AE∩BA=A,故PD⊥面ABE.若PA垂直于矩矩形ABCD所在的平平面,当当矩形ABCD满足什么么条件时时,有PC⊥BD?解:若PC⊥BD,又PA⊥BD,PA∩PC=P,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥AC,即矩形形ABCD的对角线线互相垂垂直.∴矩形ABCD为正方形形,即当矩形ABCD为正方形形时,PC⊥BD.如图,已已知PA垂直于矩矩形ABCD所在的平面,,M、N分别是AB、PC的中点,,若∠PDA=45°,求证::MN⊥平面PCD.∴△PAD为等腰直直角三角角形,∴AE⊥PD.又∵CD⊥AD,CD⊥PA,AD∩PA=A,∴CD⊥平面PAD,而AE⊂平面PAD,∴CD⊥AE,又CD∩PD=D,∴AE⊥平面PCD,∴MN⊥平面PCD.如图,已知三三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB的中点,D为PB的中点,且△△PMB为正三角形..(1)求证:DM∥平面APC;(2)求证:平面ABC⊥平面PAC;(3)若BC=4,AB=20,求三棱锥D-BCM的体积.考点二平面和平面垂直的判定[自主解答](1)∵M为AB的中点,D为PB的中点,∴DM∥AP,又∵DM⊄平面APC,AP⊂平面APC,∴DM∥平面APC.(2)∵△PMB为正三角形,,且D为PB的中点,∴DM⊥PB.又由(1)知MD∥AP,∴AP⊥PB.又已知知AP⊥PC,∴AP⊥平面面PBC.∴AP⊥BC,又∵AC⊥BC,∴BC⊥平面面APC,∴平平面ABC⊥平面面PAC.如图,,在直直三棱棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分别是是A1B、A1C的中点点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C.求证::(1)EF∥平面面ABC;(2)平面A1FD⊥平面面BB1C1C.证明::(1)因为E、F分别是是A1B、A1C的中点点,所所以EF∥BC,又又EF⊄平平面面ABC,BC⊂平平面面ABC.所以以EF∥平平面面ABC.(2)因为为三三棱棱柱柱ABC-A1B1C1为直直三三棱棱柱柱,,所以以BB1⊥平平面面A1B1C1,所以以BB1⊥A1D,又A1D⊥B1C,B1C∩BB1=B1.所以以A1D⊥平平面面BB1C1C,又A1D⊂平平面面A1FD,所以以平平面面A1FD⊥平平面面BB1C1C.考点三直线、平面垂直的综合应用如图①,,四边形形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿对角线线BD折起,记记折起后后点的位位置为P,且使平平面PBD⊥平面BCD,如图②②.(1)求证:平平面PBC⊥平面PDC;(2)在折叠前前的四边边形ABCD中,作AE⊥BD于E,过E作EF⊥BC于F,求折起起后的图图形中∠∠PFE的正切值值.解:(1)证明:折折叠前,,在四边边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BAD=90°,所以△△ABD为等腰直直角三角角形.又又因为∠∠BCD=45°,所以∠∠BDC=90°.折叠后,,因为面面PBD⊥面BCD,CD⊥BD,所以CD⊥面PBD.又因为PB⊂面PBD,所以CD⊥PB.又因为PB⊥PD,PD∩CD=D,所以PB⊥面PDC.又PB⊂面PBC,故平面面PBC⊥平面PDC.考点四直线和平面所成的角、二面角(2011·北京模拟拟)如图,已已知在四棱锥P-ABCD中,底面面ABCD是矩形,,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E、F分别是AB、PD的中点..(1)求证:AF∥平面PEC;(2)求PC与平面ABCD所成的角角的正切切值;(3)求二面角角P-EC-D的正切值值.∴四边形形AEOF是平行四四边形,,∴AF∥OE.又OE⊂平面PEC,AF⊄平面PEC,∴AF∥平面PEC.解:(1)证明:由由四边形形ABCD为菱形,,∠ABC=60°,可得△△ABC为正三角角形.因因为E为BC的中点,,所以AE⊥BC.又BC∥AD,因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以PA⊥AE.而PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD且PA∩AD=A,所以AE⊥平面面PAD.又PD⊂平面面PAD,所以以AE⊥PD.线面垂垂直的的判定定与性性质、、面面面垂直直的判判定与与性质质、以以及线线面角角、二二面角角的求求法是是高考考考查查的热热点,,客观观题突突出“小而巧巧”,主要要考查查垂直直的判判定及及性质质,主主观题题考查查较全全面,,在考考查垂垂直关关系的的判定定及性性质的的同时时,还还考查查空间间三种种角计计算,,重点点考查查学生生的空空间想想象能能力,,逻辑辑推理理能力力以及及计算算能力力.1.线面面垂直直的判判断方方法(1)利用线线面垂垂直的的判定定定理理.此此种方方法要要注意意平面面内的的两条直线线必须须相交交.(2)利用线线面平平行的的性质质.两两平行行线中中一条条垂直直于一一个平平面,,另一条条也垂垂直于于这个个平面面.(3)利用面面面垂垂直的的性质质①两平平面垂垂直,,在一一个平平面内内垂直直于交交线的的直线线必垂垂直于另一个个平面,此此种方法要要注意“平面内的直直线”.②两个相交交平面同时时垂直于第第三个平面面,那么它它们的交线也垂直直于第三个个平面.此此性质是在在课本习题题中出现的,在问问题不很复复杂的题目目中,要对对此进行证证明,以免无谓扣扣分.(4)利用面面平平行的性质质.一条直直线垂直于于两平行平平面中的一个,必垂垂直于另一一个平面..(5)两个平面垂垂直的性质质定理,可可以作为直直线和平面面垂直的判定定理..当条件中中有两个平平面垂直时时,常添加加的辅助线线是在一个个平面内作作两平面交交线的垂线线.2.线线垂直直的判断方方法当直线和平平面垂直时时,该直线线垂直于平平面内的任任一直线,,常用来证证明线线垂垂直.3.面面垂直直的判定方方法(1)判定定理若a⊂α,a⊥β,则α⊥β.(2)其他方法①若a∥α,a⊥β,则α⊥β;②若α∥β,β⊥γ,则α⊥γ.4.线面角和和二面角(理)线面角、二二面角通常常是由面的的垂线去找找.求直线线与平面所所成角的步步骤:(1)作出斜线与与其投影所所成的角;;(2)证明所作的的角就是所所求的角;;(3)常在直角三三角形(垂线、斜线线投影所组组成的直角角三角形)中解出所求求角的大小小.1.已知α、β表示两个不不同的平面面,m为平面α内的一条直线线,,则则“α⊥β”是“m⊥β”的()A.充充分分不不必必要要条条件件B.必必要要不不充充分分条条件件C.充充要要条条件D.既不充分也不必要条件解析析::由面面面面垂垂直直的的判判定定定定理理可可知知必必要要性性成成立立,,而而当当两两平平面面α、β垂直直时时,,α内的的直直线线m只有有在在垂垂直直于于两两平平面面的的交交线线时时才才垂垂直直于于另另一一个个平平面面β,∴为为必必要要不不充充分分条条件件..故故选选B.答案:B2.如图,正方方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足足为点H,则下列命题中错错误的是()A.点H是△A1BD的垂心B.AH垂直于平面CB1D1C.AH的延长线经过过点C1D.直线AH和BB1所成角为45°解析:因为三棱锥A-A1BD是正三棱锥,,故顶点A在底面的射影影是底面的中中心,A正确;平面A1BD∥平面CB1D1,而AH垂直于平面A1BD,所以AH垂直于平面CB1D1,B正确;根据对对称性知C正确.答案:D3.PA垂直于正方形形ABCD所在平面,连连接PB,PC,PD,AC,BD,则一定互相相垂直的平面面是()①面PAB⊥面PBC;②面PAB⊥面PAD;③面PAB⊥面PCD;④面PAB⊥面PAC.A.①②B.①③C.②③D.②④解析:∵BC⊥面PAB,∴面PBC⊥面PAB,∴①正确.同同理AD⊥面PAB,∴面PAD⊥面PAB,∴②正确.答案:A4.(2011··汕头模拟)已知α、β、γ是三个互不重重合的平面,,l是一条直线,,给出下
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