《画角的和差倍》案例

《画角的和、差、倍》教学案例教学目标：通过观察、类比、思考、讨论等方式，共同探索角的和差倍的意义。尝试用等式表示角的和差倍半的关系。在模仿操作中学会画角的和差倍及用尺规作图法作角的平分线。学生通过独立探究，合作交流，促进自身良好的学习态度和学习方法的养成，体验数学学习中类比旧知学习新知的过程。培养学生大胆假设、小心求证的学习方法。降低学习新知识的难度，激发学生学习兴趣和学好数学的自信心。通过相互间的合作、讨论和比赛，培养学生的协作精神，激发积极参与教学的热情，培养学生勇于思考、勇于探索的精神。教学重难点：重点：从角的部分与整体的关系来理解角的和、差、倍；学会画角的和、差、倍难点：正确的画角的和、差倍及用尺规作图作角的平分线。教学方法：结合二期课改以学生发展为本的理念，以学生为主体，老师加以启发点拨的启发式教学为主，运用类比的教学方法。帮助学生以旧引新，获取新知识。教学准备：多媒体课件、黑板、圆规、三角尺、角的形状的纸片教学过程：教学过程教学活动教师活动学生活动设计说明一、复习旧知、引入新课1）复习巩固2）引入新知Ppt显示：根据表格中的已知条件，填写下表：图形AACBAACBO名称个数数量关系如图：点C是线段AB上一点，问：1）图中有几条线段？2）是哪三条线段，用字母表示3）这三条线段之间有什么关系？（位置关系与数量关系）4）如果点C是线段AB的中点，则这三条线段又有何关系？问：如右图：OC是∠AOB内一条射线：1）图中有几个角2）是哪三个角？用字母表示？3）这三个角之间分别有什么关系？4）如果OC把分成两个相同的角呢？回忆线段的和差倍，观察图表回答老师的提问：图中有三条线2）分别是线段AB、AC、BC3）AC、BC、是线段AB的一部份，它们是整体与部分的关系。4)数量关系略图中有三个角3)位置：整体与部分的关系。数量关系：略通过类比，观察图形的特征和相似点，发现新的知识，为新课的导入做准备。通过观察、对比，培养学生的观察能力和归纳能力，渗透数形结合的数学思想。复习中点，类比得出角的关系。为后面角平分线的学习埋下伏笔。二、围绕问题展开探索，进行归纳探索板书：画角的和差倍板书：两个角相加减所得的和差还是角板书：它的度数等于两个角的度数的和或差操作：用三角尺画出75度角和15度角PPT显示：采用拼合的方法，可以求类似75度角、15度角等特殊角。1、对照线段的和差，我们可以发现：什么也可以相加或相减？非常好！也就是说角也可以求和差2、角相加或相减所得的和差是什么图形？3、那么这个角的度数与原来的两个角有什么关系？请同学们用手中的三角尺画出75度角和15度角。请同学演示采用什么方法？用三角尺还可以画出那些小于180度的角？比一比，谁找到的角多（小组讨论）思考这些角有什么特征？1、两个角也可以相加减2、是角度数等于这两个角的度数的和或差。通过合作交流讨论后得出结论：15度：用45度角减30度，或60度减45度等。75度：45度加上30度运用拼合的方法可以画出120度，135度等。特征：这些角的度数都是15的倍数通过设计一系列问题，引导学生思考。并归纳得出角的和差让学生体会角的和差的意义。体会画角的和差的方法。通过小组讨论的形式，加强学生之间的合作交流。通过小组比赛，激励学生积极参与，激发学生的学习热情。例题举隅三、知识的运用与巩固课堂练习四、课堂小结与评价五、作业的布置探讨，如何画普通角的和差如图：例1、已知：，用量角器画使它的度数等于1）22）21133B1B12CAOPPT显示：解：1）用量角器画出2）以O为顶点，射线OC为一边，在的外部用量角器画3）就是所要画的角。学生动手操作：画C2、用量角器画使它的度数等于CAABOOPPT显示：解：1）用量角器画出2）以O为顶点，射线OC为一边，在的内部用量角器画3）就是所要画的角学生动手操作：画小结：1）角的和差的画法；2）画两角之和与两角之差的区别与联系。3）画几倍角的方法。4）画几个角的差时灵活运用加法的交换律和结合律，避免不够减的问题。二、角平分线类比线段的中点的定义，探讨角平分线的定义。AAMB板书：出示角的形状的纸片。板书：角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线（angularbisector）.AAOPB板书：设置填空题，强化角平分线的文字语言表述和数学符号语言表述。Ppt显示：填空：1、如果射线OC在内，且那么射线OC是的角平分线，或者说射线OC平分2、如果射线OA平分，则：3、射线OC是的角平分线，如果=50度，则25度如果度，则=120度操作：学习用量角器画角平分线，以及用尺规作图法作已知角的角平分线。例2：如图：已知，画出它的角平分线。AAOPBPPT显示角平分线的画法：解：1）用量角器量得的度数。2）在的内部以O为顶点画一条射线OP使得的度数等于的一半。3）写答句：所以射线OP是所要画的的平分线。尝试用尺规作图：（作图痕迹略）BBDPDPOOEA EAPPT显示作法：在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；分别以点D、点E为圆心以大于的同一长度为半径，两弧交于内的一点C；作射线OC写答句：射线OC是所求的平分线。学生动手操作：用尺和圆规作的平分线OMPPT显示：填空：1）在_____上分别截取_____,______,使____=______2）分别以______,______为圆心，以大于______同一长度为半径，两弧交于内的一点M；例4：已知：，，用含m,n的式子分别表示的度数。比较的大小。OODCAB321板书：；的度数=的度数+的度数=的度数=的度数+的度数=因为与的度数相等，所以：。小结：角平分线的定义，用文字语言叙述，用数学符号语言表述。知道角平分线是射线。用量角器画角平分线的方法和尺规作图的方法。知道角的和差还是角，其大小等于组成它的角的度数的和差。比较角的大小就是比较角的度数的大小。完成书后练习。2、已知有一条射线OA，从点O引两条射线OB、OC，若，，求的度数。这节课同学们都很认真，积极思考老师的提问，有几个小组讨论特别激烈，回答问题的质量也很高。通过本节课的学习，同学们又什么收获？完成练习册的练习思考题：如图，是锐角，ON平分，OM平分，那么的度数固定吗？若固定，求出它的值。若变化，说出理由。BBCONAM通过上述操作，我们可以发现画角的和差与画线段的和差类似。下面我们将学习角的和差的画法。老师边动手操作，边归纳画法。先请同学们回忆一下线段的和差的画法，思考1、画和、差的相同之处与不同点。思考2、画角的和时在的内部画还是外部画？为什么？回忆前面画75度角，想一想如何画？强调：1）从同一顶点出发。即以O为顶点。2）在射线OC的外部。强调外部。3）强调对所求角加以标示，写答句。说明：除了以射线OC为一边，还可以以OA为边，在下方画出。思考：如何画二倍角，三倍角？教师巡视，请出现问题的同学板演。其他同学指出并改正。思考3、回忆画15度角的方法，请想象一下，如何画？与画有什么不同？思考4：你认为画角的和差时应该注意哪些方面？先让学生自己动手画，出现问题互相讨论解决。教师巡视，请同学板演，同桌互相检查采用问答式。老师提问学生回答。我们知道线段的中点可以将线段分成相等的两个部分。如图：点M是线段AB的中点，则线段之间有何数量关系？那么角是否也能找出一条射线将其分成相等的两个部分呢？思考：怎样折这张纸，可以将这个角分成相等的两个角？打开，用深色笔描出折痕。观察两个角的位置后回答问题：这条折痕从哪个点引出？这条折痕把这个角分成的两个角是否相等？在角这个图形中，角的两边是射线，可以无限延伸，那么折痕是线段、射线还是直线？在一个角中满足这样条件的射线叫做角的平分线。请同学们对照书本圈画出角平分线定义中的关键字词、语句。要求学生牢记关键词。特别是：射线。如左图：OC是的平分线，也可以说OC平分这是，图中三个角满足什么数量关系？分析：1）要求学生熟悉角平分线的文字表述。2）类比中点的数量关系，请学生用规范的数符号语言描述角平分线定义。请同学们根据角平分线的定义，填空。要求学生画草图，避免认错角。前面我们学习了画角的和差倍，下面我们将学习用量角器画角的一半角，即，画角平分线。要求学生和老师一起操作：学生在本子上画任意提醒学生注意：画角平分线和画已知角的一半角方法相同。但答句表述有所不同，要强调“射线”两字。2）角平分线是射线，因而标字母时标在线上，或线外。不能标在两端，变成线段。思考：我们已经学习了用量角器和尺画已知角的平分线，老师板演，学生模仿。从中熟悉尺规作角平分线的方法。说明为什么要大于的同一长度？注意：以点D、点E为圆心提醒学生连接OC并延长。要求学生一边填写步骤，一边作图。请一个同学板演。根据反馈结果，适当对某些步骤加以强调。思考：1）、分别由哪些角组成？2）、的度数与组成它们的角的度数之间满足什么数量关系？3）比较角的大小，就是比较什么的大小？采用问答式，老师提问，学生思考、讨论后回答。讲练结合。第二题要求学生板演。并加以点评。规范学生的书写格式。让学生自己画图，解题。教师巡视，让两个大案不同的学生上黑板演示。并要求学生完成后对这两位同学的解法加以点评。让学生思考为什么会出现两解？对学生的表现予以恰当的肯定，对表现比较突出的加以表扬。同时要求学生讲讲学习的收获。相同点：都是从顶点出发截取已知线段的长度区别：和是向外截，差是在内部截类比线段的和的画法，讨论后得出结论：在的外部画。思考、讨论、尝试归纳角的和的画法。思考后回答：转化成相同的角相加。学生自己动手操作画角。对比黑板上的画法，作必要的补充完善。画完后，同桌之间比较，看看谁画得更准确。学生通过对比、思考，归纳出画两角之差的画法。通过角的和差画法的比较。加深印象。学生讨论后回答，请其他同学补充完整。出现问题：不够减，怎么办？讨论后得出解决方案：运用加法交换律，学生回答，并补充完整。回忆线段中点的定义思考后回答：学生和老师一起操作。注意顶点与边都要重合。学生动手描出折痕。观察后回答老师的问题。生：从角的顶点引出相等是射线学生尝试归纳出角平分线的定义，其他同学加以补充、精简语句。圈画后交流，从顶点出发平分角是射线。生：仿照中点的数学语言描述的定义。用数学符号语描述角平分线的定义。回忆角平分线的文字表述和数学符号语言表述，尝试画简单的草图，并在图中对已知条件加以标示。并运用于进行简单的角度计算。学生思考如何画角平分线。根据角平分线的定义，转化为如何画已知角的一半角。学生自己动手和老师一起画已知角的角平分线，学生写答句。检查答句是否漏写“射线”两字模仿老师的操作，体会每一步操作步骤。对照前面作法，一边填空，一边作图。体会熟悉作图的每个环节。加深印象。思考、并逐一回答老师的提问。师生共同完成。学生回忆前面内容，回答老师的提问。完成书后习题。参照书本例题4的书写格式，用规范的数学符号语言解题。通过对板演同学的点评，发现本题的答案有两个。两位同学的解题都不完整。思考得出问题的关键在于题目没有明确中OC边的位置，到底在的内部还是外部。学生思考后，举手发言，不断地补充完整。类比线段的和差的画法，让学生自己体会角的和差的画法的异同点。同时培养学生知识学习过程的比较、迁移。降低学习的难度。学生通过小组讨论、归纳总结角的和差的作图步骤，培养学生的语言表达能力，鼓励学生积极参与课堂教学，勇于表现自己。同时也增强了学生间的合作交流。学生在自己动手操作的过程中，熟悉画法，同时通过自我检查和同学间的相互检查中进一步加深印象，避免出错。帮助学生养成做题检查的习惯。培养学生勇于质疑。本题让学生自己发现问题，思考、讨论后解决问题。充分发掘学生的智慧，通过相互间的交流、讨论得出解决的方法。增强学生解题的灵活性，同时让学生感受到知识是相通。学生通过自己解决问题，体验学习中成功地喜悦。复习中点的定义，和数学语言表示，为自然过渡到角平分线的定义的文字表述和数学符号语言表述作准备。将角平分线的定义拆分成3个问题让学生思考后回答，降低学生归纳的难度。同时也对定义的几个关键的语句有所了解。方便学生记忆。同时通过让学生归纳，培养学生的观察能力、文字表达能力，培养学生语言的精炼。通过填空的形式，加深学生对定义的理解和记忆，同时加强文字语言和数学符号语言表达的规范性，让学生体会数学的严谨。为几何证明打下基础。数学几何的学习中根据题目要求正确的画出草图，数形结合解题是学生必须具备的能力，而这种能力的培养要渗透在平时教学的点滴中。通过角的和差画法的比较。加深印象。角平分线的尺规作图，对学而言有一定的难度，而且根据学生现阶段的知识水平，不能解释角平分线的尺规作图法的原理。因而学生只能靠记忆画法。为了加深印象，设置填空题，引领学生抓住作法中的关键步骤。分散降级难点。同时让学生熟悉、尝试模仿数学语言的表述。通过对角的和差的简单运用。规范学生的表述。让学生体会到图形关系和数量关系的区别和联系。培养学生严谨的学习态度。采用问答式的方法，师生共同小结所学知识。对重要知识点，进一步落实。习题由易入难。书后习题的处理便于落实基础知识。第二题的设置，既是考查学生对角的和差作图的掌握程度。同时培养仔细读题、审题的能力。抓住题目中的信息。学生自己通过比较、质疑。发现问题。拓宽学生思路，提高学习兴趣。让各个程度的学生有所收获。梳理知识，让学生充分思考，回顾一节课的收获。同时对学生课堂表现的评价，有利于激发学生的成就感和荣誉感。转化为学习的动力。课后巩固练习。培养学生观察、分析能力。对学有余力的学生增加难度，实施分层教学。

教学设计说明与反思：角这一章节的学习，和线段的学习一样，是几何学习的基础，对学生今后几何学习有着至关重要的影响。而角的和差是角这一章节中学习的重点，它的地位不言而喻。本节课是以类比法为主线贯穿整堂课的教学。在数学的学习中，类比法是最常用教学方法之一，它的两大优点是：一：通过回忆与新知识相关的旧知识，帮助学生复习巩固旧知识。二、通过类比，学生能轻松的归纳得出新知识，省去了复杂的知识的获得的过程，降低了学生学习的难度。同时运用类比教学，便于学生知识的梳理和衔接和记忆。在这节课的教学中，通过类比线段的和差的内容，降低了学生角的和差中学习的难度，特别是角平分线等内容的学习。这节课中要落实东西很多，不仅是角的和差的意义和画法、运用，角平分线的定义画法、作法和运用。知识之间内部的联系不是很紧密，因而要确定确定教学的主线。从内容的先后上，以角的和差倍半（即角平分线）为主线，而在教学的方法上以类比线段和差倍半为主线。使得这堂课的教学紧凑、有序。在教学中不仅要帮助学生学会角的和差倍半的画法，还要让学生理解角的和差倍半的意义，并能进行简单的应用。同时这节课的教学中还承担着培养学生逐步养成用规范文字语言和数学符号语言表达的任务，为学生今后几何证明的学习打下扎实的基础。新课是通过复习线段的和差引入，采用图表的形式，数形结合。在复习巩固原有知识同时，通过类比，让学生意识到了新旧知识的联系，为之后角的和差倍半的意义的学习奠定了基础。在角的和差的意义的探究阶段，教师通过一组设问，引导学生归纳得出角的和差的意义，同时引出本节课的课题。帮助学生创设由学生自己建构知识的过程，学生不是简单被动地接受信息，而是主动地建构知识。这也是本节课教学的一个特点。让教师真正成为学生建构知识的积极帮助者和引导者，教师的作用从传统的传授知识的权威转变为学生学习的辅导者、合作者。在探究角的和差的画法的过程中，先为学生设置铺垫，从通过拼合法画特殊角，帮助学生初步形成角的和差的画法。同时类比线段的和与差的画法的区别，帮助学生分清角的和差画法中的区别，并加以强调。为后面本节课的高潮部分买下伏笔。在归纳画法的过程中，学生经历观察、分析、思考、讨论等活动，培养了学生观察、分析能力。学生自己归纳得出的知识，掌握起来总是比较容易，而且印象比较深刻。而成功的体验，也有利于激发学生学习兴趣，可以充分调动学生学习积极性。采用组内合作、组间竞赛的学习方式，对培养学生的协作和勇于探索的精神和学习上的互不相让，你追我赶有很大的作用，能够激发学生的学习热情，强化学生的参与意识，体验成功的喜悦。画法归纳得到后，进入检验和运用阶段。在简单的模仿中题目中设置了2倍角和小角减大角，让学生在动手操作的同时，发现问题、运用已有知识，加以转化，最终解决问题，培养学生解决问题的能力。同时及时地小结帮助学生加深印象，进一步落实知识点。角的半的关系是以探讨角平分线的形式出现的，在课的伊始，通过让学生思考点C是AB的中点、和OC将角分成两个相同的角，已经在学生的脑海中留下了角平分线的意义。降低了学习的难度。通过类比线段中点的意