【优化方案】高考数学总复习 第9章§9.4空间向量及其运算(B)精品课件 大纲人教

§9.4空间向量及其运算(B)

考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考9.4空间向量及其运算(B)双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理1．共线向量、共面向量、空间向量三定理辨析(1)共线向量基本定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是____________________.存在实数λ，使a＝λbp＝xa＋ybp＝xa＋yb＋zc{a，b，c}|a||b|cos〈a，b〉λ(a·b)3．空间直角角坐标系(1)空间直角坐坐标系在空空间间选选定定一一点点O和一一个个单单位位正正交交基基底底{i，j，k}，以以O为原原点点，，分分别别以以i，j，k的方方向向为为正正方方向向建建立立三三条条数数轴轴：：x轴，，y轴，，z轴，，它它们们都都叫叫做做坐坐标标轴轴．．这这时时我我们们说说建建立立了了一一个个空空间间直直角角坐坐标标系系O－xyz，点点O叫做做原原点点，，向向量量i，j，k叫做做__________，通通过过每每两两个个坐坐标标轴轴的的平平面面叫叫做做坐坐标标平平面面．．坐标向量(3)空间向量的坐坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝_________________________；a－b＝______________________；λa＝______________________；a·b＝______________________；a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔______________________.(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)a1b1＋a2b2＋a3b3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0提示：：不是．．向量量平行行于平平面是是指向向量所所在直直线平平行于于平面面α或在平平面α内两种种情况况．因因此，，在用用共面面向量量定理理证明明线面面平行行时，，必须须说明明向量量所在在的直直线不不在平平面内内．思考感悟悟2．在空间间直角坐坐标系中中：P(x，y，z)关于x轴、y轴、z轴的对称称点如何何？P(x，y，z)关于原点点的对称称点如何何？P(x，y，z)关于xOy平面、yOz平面、zOx平面的对对称点如如何？记记忆方法法如何？？提示：(1)P(x，y，z)关于x轴的对称称点为P1(x，－y，－z)，关于y轴的对称称点为P2(－x，y，－z)，关于z轴的对称称点为P3(－x，－y，z)．(2)P(x，y，z)关于原点点的对称称点为P4(－x，－y，－z)．(3)P(x，y，z)关于xOy平面的对对称点为为P5(x，y，－z)，关于xOz平面的对对称点为为P6(x，－y，z)，关于yOz平面的对对称点为为P7(－x，y，z)．上述结论论的记忆忆方法为为：关于于谁对称称谁就不不变，其其余符号号相反．．例如：：关于x轴的对称称点横坐坐标不变变，而纵纵坐标、、竖坐标标分别变变为原来来的相反反数．课前热身身答案：B2．已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列列结论正正确的是是()A．a∥c，b∥cB．a∥b，a⊥cC．a∥c，a⊥bD．a∥b，b⊥c答案：C答案：B4．在空间间直角坐坐标系中中，正方方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心心M(0,1,2)，则该正正方体的的棱长为为________．5．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________.答案：120°°考点探究·挑战高考考点突破破考点一空间向量的线性运算空间向量量的线性性运算可可类比平平面向量量的线性性运算，，其依据据是空间间向量基基本定理理、平行行四边形形法则、、三角形形法则，，参考教教材例1.例1【思路分析析】尽可能使使第二个个向量的的起点与与第一个个向量的的终点相相结合，，再使第第三个向向量的起起点与第第二个向向量的终终点相结结合．空间向量量的坐标标运算类类似于平平面向量量的坐标标运算，，解决此此类问题题的关键键是熟练练应用公公式，准准确计算算，参考考教材例例2.考点二空间向量的坐标运算例2【思路分析析】根据坐标标的概念念，首先先寻找各各点坐标标，再求求对应向向量坐标标．【思维总结结】在空间直直角坐标标系中，，无论是是点还是是向量，，其坐标标是三个个实数组组成的一一组数，，它们的的运算也也应是三三个坐标标的结果果．互动探究究在本例的的正方体体中，若若a垂直平面面D1AC，则称a为平面D1AC的法向量量，求平平面D1AC的单位法法向量的的坐标．．利用向量量证明平平行，转转化为向向量共线线，证明明垂直转转化为数数量积为为0.如图，在在长方体体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，点E、F分别为C1D1、A1B的中点．．(1)求证：EF∥面BB1C1C；(2)求证：DF⊥面A1BE.考点三利用向量证明平行或垂直例3【证明】根据题意意，以D为原点，，棱DA、DC、DD1所在直线线分别为为x轴、y轴、z轴建立如如图所示示的空间间直角坐坐标系，，则A1(1,0,2)，B1(1,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，B(1，2,0)，C(0,2,0)．【思维总结结】解题的关关键是建建立空间间直角坐坐标系，，利用向向量法，，把证明明直线与与平面平平行的问问题转化化为计算算向量的的问题；；把求线线面垂直直转化为为数量积积的计算算．方法技巧巧1．空间向向量的加加法、减减法、数数乘运算算以及两两个空间间向量的的数量积积的定义义、运算算律与性性质均与与平面向向量完全全一样．．2．选定空空间不共共面的三三个向量量作基向向量，并并用它们们表示出出指定的的向量．．解题时时应结合合已知和和所求观观察图形形，联想想相关的的运算法法则和公公式等，，表示出出所需向向量，再再对照目目标，将将不符合合目标要要求的向向量作新新的调整整，如此此反复，，直到所所有向量量都符合合目标要要求，如如例1.方法感悟悟4．利用空空间向量量证明线线面平行行，只要要在平面面α内找到一一条直线线的方向向向量为为b，已知直直线的方方向向量量为a，证明a＝λb即可．如如例3.5．利用空空间向量量证明两两条异面面直线垂垂直：在在两条异异面直线线上各取取一个向向量a，b，只要证证明a⊥b，即a·b＝0即可．6．证明线面面垂直：直直线l，平面α，要证l⊥α，只要在l上取一个非非零向量p，在α内取两个不不共线的向向量a、b，问题转化化为证明p⊥a且p⊥b，也就是a·p＝0且b·p＝0.如例3.1．用已知向向量表示未未知向量，，一定要结结合图形，，以图形为为指导是解解题的关键键．如例1.2．共线向量量不具备传传递性，除除去零向量量时共线向向量才具备备传递性．．3．要用共线线向量定理理证明向量量a，b所在的直线线平行，除除证明a＝λb外，还需证证明某条直直线上必有有一点在另另一条直线线外．失误防范考向瞭望·把脉高考考情分析从近两年的的高考试题题来看，常常以解答题题的形式考考查有关平平行、垂直直的证明及及夹角和距距离的求法法，由于空空间向量仅仅作为解决决问题的一一种工具，，因此考查查的难度一一般都不大大．考查的的热点在于于利用空间间向量的坐坐标运算将将复杂的立立体几何问问题“代数数化”，从从而使问题题化难为易易．2010年的高考中中，只有广广东理第10题单纯地考考查空间向向量的坐标标运算，其其余各省市市考题都是是在解答题题中以空间间几何体为为载体，恰恰当地建空空间直角坐坐标系，灵灵活运用向向量夹角公公式求线线线角、线面面角、二面面角，利用用数量积解解决线面、、面面的垂垂直问题．．预测2012年高考仍将将以解答题题的形式考考查空间向向量及其运运算，难度度一般都不不大，尤其其要重视恰恰当的空间间坐标系的的建立和准准确的计算算．垂直关关系、线面面角、二面面角的考查查仍会是重重点．(本题满分13分)(2010年高考安徽徽卷)如图，在多多面体ABCDEF中，四边形形ABCD是正方形，，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求二面角B－DE－C的大小．规范解答例【名师点评】本题重点考考查了线面面平行，线线面垂直，，面面垂直直的判断与与证明以及及二面角的的求法．本本题的向量量解法，计计算量并不不大，推理理易于理解解，但空间间坐标系的的建立并不不轻松，有有的考生并并没有证明明出FH⊥面ABC，就直接以以H为原点建立立了坐标系系，这是不不完备的．．另外个别别考生