高考数学第一轮复习-各个知识点攻破5-5-解斜三角形课件-新人教B版

第五节解斜三角形1.2.考纲要求1.理解掌握正弦定理、余弦定理，并会利用它们解三角形．2．会利用正弦定理、余弦定理解三角形，会判断三角形的形状，会求三角形的面积及有关最值问题．考试热点1.利用正弦定理、余弦定理求角、求角的函数值、求边．2．解三角形、判断三角形的形状、求三角形的面积等综合问题.3.4.1．正弦定理、余弦定理设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，R是△ABC的外接圆半径．(1)正弦定理：(2)正弦定理的变式①a＝

，b＝

，c＝

.②sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ .③a∶b∶c＝

.2RsinA2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC5.(3)余弦定理1①a2＝

，②b2＝

，③c2＝

.(4)余弦定理的变式cosA＝ ；cosB＝ ；cosC＝b2＋c2－2bc·cosAc2＋a2－2ca·cosBa2＋b2－2ab·cosC6.2．解斜三角形的类型(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求得其他边、角；(3)已知三边，求三个角；(4)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．7.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形8.A为锐角A为钝角或直角关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数

一解一解一解两解9.1．在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，则b的值为 ()答案：C10.2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝ B＝120°，则a等于 ()11.答案：D12.3．在三角形ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则 的值为 ()13.答案：D14.4．△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知a、b、c成等比数列，a＋c＝3，cosB＝，则 等于 ()15.答案：B16.17.18.19. 三角形中的边角关系[例1]在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，C＝15°，求角A.[分析]先用余弦定理求出c，然后利用正弦定理求出sinA，进而求出A.20.21.[拓展提升]本题易误点为由sinA求A时解的情况的判定，应结合图形，或“大边对大角”作出判断．22.已知在△ABC中，∠A＝45°，AB＝，BC＝2，求其他边和角．∠B＝180°－60°－45°＝75°或∠B＝180°－120°－45°＝15°.23.24. 判断三角形的形状[例2]在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．[分析]利用正、余弦定理进行边角互比，转化为边边关系或角角关系．25.[解]解法1：由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，得a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.由正弦定理得sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，即sin2A·sinAsinB＝sin2B·sinAsinB.∵0<A<π，0<B<π，∴sin2A＝sin2B∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．26.解法2：同解法1可得2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正、余弦定理得∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.∴a＝b或c2＝a2＋b2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．27.[拓展提升]确定三角形的形状主要有两条途径：(1)化边为角．(2)化角为边．具体有四种方法：①通过正弦定理实现边角互化．②通过余弦定理实现边角互化．③通过三角变换找出角之间的关系．④通过三角函数值的符号的判断以及正、余弦函数有界性的讨论．28.已知△ABC中，AB＝m，BC＝m＋p(m、p均为正实数)，AC＝ ，若m2＝n2＋p2，试分别对下列三种情况讨论△ABC是锐角三角形？直角三角形？还是钝角三角形？(1)m2－mp－p2>0；(2)m2－mp－p2＝0；(3)m2－mp－p2<0.29.30.31. 正、余弦定理的综合运用[例3](2009·湖北高考)在锐角三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且(1)确定角C的大小；[分析](1)只要变换关系式a＝2csinA就可以求出sinC，根据sinC的值确定角C的大小；(2)根据第(1)问的结果，利用余弦定理可以得到一个关于a、b的方程组，解这个方程组就可以求出a、b的值．32.33.由余弦定理得a2＋b2－2abcos＝7，即a2＋b2－ab＝7.②由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7.③将①代入③得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.解法2：前同解法1，联立①、②得消去b并整理得a4－13a2＋36＝0，解得a2＝4或a2＝9.34.[拓展提升]本题的新颖之处是考查方程思想和整体思想．第(1)问实际上是为第(2)问服务的，在解决了第(1)问后，第(2)问中给出的两个条件其目的是让考生列出关于a，b的方程组，而结论求a＋b的值，既可以求出a、b后解决，也可以整体解决．考生容易忽视已知条件中的△ABC为锐角三角形，得出角C有两个解，导致解题复杂化和解题错误．所以在解题中要仔细审题，把明显的、隐含的已知条件弄清楚，防止出现上面所说的情况．35.(2009·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6，求a的值．36.37. 正、余弦定理的实际应用[例4](2009·宁夏、海南高考)为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量．A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图1所示)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤．38.图1图239.40.41.[拓展提升]本题并没有直接给出测量数据让考生直接计算，而是要求考生亲临实际问题的环境里进行具体操作，找到解决问题的方案，并设计出计算步骤，可以说本题是一道真正意义上的应用题．42.(2009·辽宁高考)如图3所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01km，≈1.414，