【优化方案】高考数学总复习 第5章§5.5数列的综合应用精品课件 理 北师大

§5.5数列的综合应用

§5.5数列的综合应用考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．2．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果____________的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的___是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．增加(或减少)比思考感悟银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋r)n，属于等比模型．课前热身1．(2009年高考四川卷)等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是(

)A．90

B．100C．145 D．190答案：B2．已知等差数列{an}和等比数列{bn}的首项均为1，且公差d>0，公比q>1，则集合{n|an＝bn}(n∈N＋)的元素的个数最多为(

)A．1 B．2C．3 D．4答案：B3．(教材改编题)电子计算机中使用的二进制与十进制的换算关系如下表所示：十进制12345678…二进制110111001011101111000…观察二进制为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制数，当二进制为6位数时，能表示十进制中的最大数是(

)A．31 B．63C．111111 D．999999答案：B4．已知三个数a、b、c成等比数列，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像与x轴公共点的个数为________．答案：05．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，2008年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%，以后四年年生产量的增长率逐年递增2%(2009年的增长率为36%)，则预算2012年全球太阳电池的年生产量为________．答案：2499.8兆瓦考点探究•挑战高考考点突破考点一等差、等比数列的综合问题等差数列列与等比比数列结结合的综综合问题题是高考考考查的的重点，，特别是是等差、、等比数数列的通通项公式式，前n项和公式式以及等等差中项项、等比比中项问问题是历历年命题题的热点点．例1(2010年高考陕陕西卷)已知{an}是公差不不为零的的等差数数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数数列．(1)求数列{an}的通项；；(2)求数列{2an}的前n项和Sn.【思路点拨拨】由已知条条件列【名师点评评】解决等差差数列与与等比数数列的综综合问题题的关键键在于综综合运用用等差数数列和等等比数列列知识解解题，也也就是涉涉及哪个个数列问问题就灵灵活地运运用相关关知识解解决．等差数列列与等比比数列之之间是可可以相互互转化的的．即{an}为等差数数列⇒{}(a>0且a变式训练1(2010年高考重庆庆卷)已知{an}是首项为19，公差为－－2的等差数列列，Sn为{an}的前n项和．(1)求通项an及Sn；(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列列，求数列列{bn}的通项公式式及前n项和Tn.考点二等差、等比数列的实际应用与数列有关关的应用题题大致有三三类：一是是有关等差差数列的应应用题；二二是有关等等比数列的的应用题；；三是有关关递推数列列中可化成成等差、等等比数列的的问题．当当然，还包包括几类问问题的综合合应用．其其中第一类类问题在内内容上比较较简单，建建立等差数数列模型后，问题常常常转化成成整式或整整式不等式式处理，很很容易计算算．对第二二类问题，，建立等比比数列的模模型后，弄弄清项数是是关键，运运算中往往往要运用指指数或对数数不等式，，常需要查查表或依据据题设中所所给参考数数据进行近近似计算，，对其结果果要按照要要求保留一一定的精确确度．注意意答案要符符合题设中中实际需要要．对于第第三类问题题，要掌握握将线性递递推数列化化成等比数数列求解的的方法．例2(2010年高考湖北北卷)已知某地今今年年初拥拥有居民住住房的总面面积为a(单位：m2)，其中有部部分旧住房房需要拆除除．当地有有关部门决决定每年以以当年年初初住房面积积的10%建设新住房房，同时也也拆除面积积为b(单位：m2)的旧住房．．(1)分别写出第第一年末和和第二年末末的实际住住房面积的的表达式；；(2)如果第五年年末该地的的住房面积积正好比今今年年初的的住房面积积增加了30%，则每年拆拆除的旧住住房面积b是多少？(计算时取1.15＝1.6)【思路点拨】可逐年写出出第一年末末至第五年年末的住房房面积，然然后列方程程解出b.【规律小结】用数列知识识解相关的的实际问题题，关键是是合理建立立数学模型型——数列模型，，弄清所构构造的数列列的首项是是什么，项项数是多少少，然后转转化为解数数列问题．．求解时，，要明确目目标，即搞搞清是求和和，还是求求通项，还还是解递推推关系问题题，所求结结论对应的的是解方程程问题，还还是解不等等式问题，，还是最值值问题，然然后进行合合理推算，，得出实际际问题的结结果．变式训练2职工小张年年初向银行行贷款2万元用于购购房，银行行贷款的年年利率为10%，按复利计计算(即本年的利利息计入次次年的本金金)．若这笔贷贷款要分10年等额还清清，每年年年初还一次次，并且从从借款后次次年年初开开始还款，，那么每年年应还多少少元？(精确到1元)解：设每年年还款x元，需10年还清，那那么每年所所还款及利利息的情况况如下：第10年还款x元，此次欠欠款全部还还清；第9年还款x元，过1年欠款全部部还清时，，所还款连连同利息之之和为x(1＋10%)元；第8年还款x元，过2年欠款全部部还清时，，所还款连连同利息之之和为x(1＋10%)2元；……考点三数列与解析几何、不等式、函数的交汇问题数列与其它它知识的综综合问题主主要指的是是用几何方方法或函数数的解析式式构造数列列，用函数数或方程的的方法研究究数列问题题．函数与与数列的综综合问题主主要有以下下两类：一是已知函函数的条件件，利用函函数的性质质图像研究究数列问题题，如恒成成立，最值值问题等；；二是已知知数列条件件，利用数数列的范围围、公式、、求和方法法等知识对对式子化简简变形，从从而解决函函数问题．．例3【思路点拨】(1)充分利用切切线、半径径、原点与与圆心的连连线所构成成的直角三三角形可证证{rn}为等比数列列．(2)利用错位相相减法求和和．【名师点评】数列、解析析几何、不不等式是高高考的重点点内容，将将三者密切切综合在一一起，强强强联合命制制大型综合合题是历年年高考的热热点和重点点．数列是是特殊的函函数，以数数列为背景景的不等式式证明问题题及以函数数作为背景景的数列的的综合问题题，体现了了在知识交交汇点上命命题的特点点，该类综综合题的知知识综合性性强，能很很好地考查查逻辑推理理能力和运运算求解能能力，因而而一直是高高考命题者者的首选．．考点四数列中的探索性问题探索性问题题往往需要要由给定的的条件去探探究相应的的结论或由由问题的结结论去寻找找相应的条条件，在解解题时应透透过问题的的表象去寻寻求、发现现规律性的的东西．例4【名师点评】本题主要考考查数列、、不等式等等基础知识识，化归思思想、分类类整合思想想等数学思思想方法，，以及推理理论证、分分析与解决决问题的能能力．方法感悟方法技巧1．深刻理解解等差(比)数列的性质质，熟悉它它们的推导导过程是解解题的关键键．两类数数列性质既既有相似之之处，又有有区别，要要在应用中中加强记忆忆．同时，，用好性质质也会降低低解题的运运算量，从从而减少差差错．(如例4)2．在等差数数列与等比比数列中，，经常要根根据条件列列方程(组)求解，在解解方程组时时，仔细体体会两种情情形中解方方程组的方方法的不同同之处．(如例1)3．数列的渗渗透力很强强，它和函函数、方程程、三角形形、不等式式等知识相相互联系，，优化组合合，无形中中加大了综综合的力度度．解决此此类题目，，必须对蕴蕴藏在数列列概念和方方法中的数数学思想有有所了解，，深刻领悟悟它在解题题中的重大大作用，常常用的数学学思想方法法有：“函数与方程程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等．(如例3)4．在现实生生活中，人人口的增长长、产量的的增加、成成本的降低低、存贷款款利息的计计算、分期期付款问题题等，都可可以利用数数列来解决决，因此要要会在实际际问题中抽抽象出数学学模型，并并用它解决决实际问题题．(如例2)失误防范1．等比数列列的前n项和公式要要分两种情情况：公比比等于1和公比不等等于1.最容易忽视视公比等于于1的情况，要要注意这方方面的练习习．2．数列的应应用还包括括实际问题题，要学会会建模，对对应哪一类类数列，进进而求解．．3．在有些情情况下，证证明数列的的不等式要要用到放缩缩法．考情分析考向瞭望•把脉高考数列的综合合应用是每每年高考必必考的内容容，特别是是等差数列列与等比数数列交汇，，数列与解解析几何、、不等式、、函数交汇汇是高考的的热点，题题型以解答答题为主，，难度偏高高，主要考考查学生分分析问题和和解决问题题的能力．．预测2012年高考，等等差数列与与等比数列列交汇、数数列与不等等式交汇是是高考的主主要考点，，重点考查查运算能力力和逻辑推推理能力．．例规范解答(本题满分12分)已知{an}是公差为d的等差数列列，{bn}是公比为q的等比数列列．(1)若an＝3n＋1，是否存在在m、k∈N＋，有am＋am＋1＝ak？请说明理理由；(2)若bn＝aqn(a、q为常数，且且aq≠0)，对任意m存在k，有bm·bm＋1＝bk，试求a、q满足的充要条条件；(3)若an＝2n＋1，bn＝3n，试确定所有有的p，使数列{bn}中存在某个连连续p项的和是数列列{an}中的一项，请请证明．【思路点拨】处理第(1)问时，将等差差数列{an}的通项公式代代入等式am＋am＋1＝ak，然后从整除除的角度判断断等式是否有有整数解；处处理第(2)问时，将等比比数列{bn}的通项公式代代入bm·bm＋1＝bk，研究等式成成立的充要条条件；处理第第(3)问时，注意到到an＝2n＋1是奇数，bn＝3n也是奇数，当当p是偶数时，偶偶数个奇数的的和不可能是是奇数，等式式不能成立，，所以只需对对p为奇数进行讨讨论．【名师点评】(1)本题易错点有有：一是解题题过程中忽视视了正整数的的限制，导致致推理不严密密或是解题错错误；二是不不会进行正整整数的奇偶性性分析，对处处理不定方程程缺少必要的的方法，导致致解答错误．．数列试题往往往涉及整数数，根据题目目的具体情况况，要会合理理使用整数的的有关性质解解决问题．(2)对任意的正整整数m，等式bm·bm＋1＝bk都成立，不妨妨取m＝1，求出a、q满足的条件为为a＝qk－3，再从一般情情形去验证这这个条件在一一般情况下是是否成立，这这是求解探索索性问题的一一种常见的思