【优化方案】高考数学总复习 第2章§2.12导数的应用精品课件 理 北师大

§2.12导数的应用

§2.12导数的应用考向瞭望•把脉高考考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．导数与函数的单调性导数单调性如果在某个区间内，函数y＝f(x)导数_________则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递增导数___________则在这个区间上，函数y＝f(x)单调递减f′(x)>0f′(x)＜0思考感悟

1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)上单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)上是增函数，则f′(x)≥0，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．2．函数的极值(1)设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)<f(x0)，我们说f(x0)是函数f(x)的一个_________，记作______________；如果对x0附近的所有点，都有f(x)>f(x0)，就说f(x0)是f(x)的一个_________，记作_________________极大值与极小值统称为__________极大值y极大值＝f(x0)极小值y极小值＝f(x0)．极值．(2)判别f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是____________②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是____________极大值．极小值．思考感悟

2．导数为零的点一定是极值点吗？提示：对于可导函数来说，函数在某点x0的导数为0是函数在该点处取得极值的必要不充分条件，即y＝f(x)在x0处取得极值必有f′(x0)＝0，但反过来不成立．如f(x)＝x3，则f′(x)＝3x2，∴f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点，事实上f(x)＝x3在R上单调递增，另一方面对于可导函数f(x)，若f′(x)在x0的两侧异号，则x＝x0必是f(x)的一个极值点．3．函数的最值函数f(x)在[a，b]上必有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条___________的曲线，那么它必有最大值和最小值．连续不断思考感悟

3．极值与最值有何区别与联系？提示：极值与最值的区别和联系：(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部范围对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．(2)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性．(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．(4)可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点，如函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是极值点．课前热身1．(教材材习习题题改改编编)函数数f(x)＝x3＋ax＋b在区区间间(－1,1)上为为减减函函数数，，在在(1，＋＋∞)上为为增增函函数数，，则则()A．a＝1，b＝1B．a＝1，b∈RC．a＝－3，b＝3D．a＝－3，b∈R答案：D2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同同一个直角坐坐标系中，不不可能正确的的是()答案：D3．若函函数y＝ex＋mx有极值值，则则实数数m的取值值范围围是()A．m＞0B．m＜0C．m＞1D．m＜1解析：：选B.y′＝ex＋m，函数数y＝ex＋mx有极值值，则则函数数y＝ex＋mx在定义义域内内不单单调，，∴m＜0.4．(原创题题)函数f(x)＝xlnx的单调调递增增区间间是________．5．(教材习习题改改编题题)已知函数数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大大值与最最小值分分别为M，m，则M－m＝________.答案：32考点探究•挑战高考考点突破考点一利用导数研究函数的单调性此类题主主要考查查求函数数的导数数、单调调性的判判定以及及单调性性的应用用，是高高考考查查的重点点，考题题可能以以小题形形式出现现，也可可以以中中档大题题形式出出现．应应注意函函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导，，则f′(x)＞0是函数y＝f(x)在(a，b)上递增的的充分条条件，并并非充要要条件．．例1【思路点拨拨】对(1)，先求导导，再将将导函数数转化为为二次函函数问题题，最后后通过对对二次函函数的讨讨论解决决问题；；对(2)，由(1)作为基础础，(2)的求解就就变成了了增函数数、减函函数在定定区间上上的最值值问题，，求解即即得．(2)当a＝3时，方程程g(x)＝0有两个不不同的实实根x1＝1，x2＝2.由(1)知，在[1，e2]内，当x＝2时f(x)取得极值值，f(1)＝0，f(2)＝2－3ln2，f(e2)＝e2－2e－2－5.因为f(2)<f(1)<f(e2)，所以f(x)在区间[1，e2]上的值域域为[2－3ln2，e2－2e－2－5]．【误区警示示】本题对综综合能力力要求较较高，在在考场解解答中容容易出现现以下问问题：(1)求导失误误．不少少考生在在第一步步出现计计算上的的错误，，而导致致失分．．考场上上作答时时，即使使到了最最后也要要沉着应应战，把把该拿的的分拿到到手．(2)求导后不不能准确确转化为为二次函函数去讨讨论，而而是陷入入分式函函数的复复杂讨论论中不能能自拔．．解决这这一点需需要有较较强的观观察能力力以及平平时解决决复杂问问题的基基本数学学功底，，这样才才能保证证在考场场上的发发挥．(3)对第(1)问解答，，影响着着第(2)问的求解解．错误误的发生生就是因因为第(1)问解答的的失误，，导致第第(2)问得出错错误结果果．考点二利用导数研究函数的极值求可导函函数f(x)的极值的的步骤：：(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左左右的符符号：如如果在根根的左侧侧附近为为正，右右侧附近近为负，，那么函函数y＝f(x)在这个根根处取得得极大值值；如果果在根的的左侧附附近为负负，右侧侧附近为为正，那那么函数数y＝f(x)在这个根根处取得得极小值值．(2010年高考安安徽卷)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，求函数f(x)的单调区间与与极值．【思路点拨】列表讨论【解】由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，知f′(x)＝cosx＋sinx＋1，例3当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下下表：【名师点评】可导函数的极极值点必须是是导数为0的点，导数为为0的点不一定是是极值点．可可导函数f(x)在点x0处取得极值的的充要条件是是f′(x0)＝0，且在x0的左侧与右侧侧的f′(x)的符号不同．．不可导的点点也可能是极极值点．①当a＞0时，f(x)，f′(x)随x的变化情况如如下表：由此表可知f(x)在点x1，x2处分别取得极极大值和极小小值．②当a＜0时，f(x)，f′(x)随x的变化情况如如下表：由此表可知f(x)在点x1，x2处分别取得得极大值和和极小值．．综上所述，，当a，b满足b2＞a时，f(x)能取得极值值．考点三利用导数求函数的最值求f(x)在[a，b]上的最大值值和最小值值的步骤：：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．．(2)将函数y＝f(x)的各极值与与端点处的的函数值f(a)、f(b)比较，其中中最大的一一个是最大大值，最小小的一个是是最小值．．(2010年高考重庆庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．．(1)求f(x)的表达式；；(2)讨论g(x)的单调性，，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值值与最小值值．【思路点拨】(1)由g(x)是奇函数可可得关于a，b的方程，进进而求得a，b的值．(2)利用g′(x)讨论g(x)的单调性，，进而可求求得极值，，把g(x)的极值和在在[1,2]上的端点值值比较可求求得最值．．例2【名师点评】求在闭区间间[a，b]上连续，开开区间(a，b)内可导的函函数的最值值时，可将将过程简化化，即不用用判断使f′(x)＝0成立的点是是极大值点点还是极小小值点，直直接将极值值点与端点点处的函数数值进行比比较，就可可判定最大大(小)值．．考点四生活中的优化问题在求求实实际际问问题题中中的的最最大大值值或或最最小小值值时时，，一一般般先先设设自自变变量量、、因因变变量量，，建建立立函函数数关关系系式式，，并并确确定定其其定定义义域域，，利利用用求求函函数数最最值值的的方方法法求求解解，，注注意意结结果果应应与与实实际际情情况况相相符符合合．．用用导导数数求求解解实实际际问问题题中中的的最最大大(小)值时时，，如如果果函函数数在在区区间间内内只只有有一一个个极极值值点点，，那那么么根根据据实实际际意意义义该该极极值值点点也也就就是是最最值值点点．．例4(1)试写写出出y关于于x的函函数数关关系系式式；；(2)当m＝640米时时，，需需新新建建多多少少个个桥桥墩墩才才能能使使y最小小？？【思路路点点拨拨】对(1)，先先设设辅辅助助未未知知数数，，再再确确定定函函数数关关系系；；对对(2)，利利用用导导数数求求出出最最优优解解．．【误区区警警示示】本题题作作为为一一道道中中档档题题，，在在求求解解中中容容易易出出现现如如下下问问题题：：(1)没有有理理解解问问题题中中各各个个量量之之间间的的正正确确关关系系，，而而导导致致函函数数关关系系式式出出错错；；(2)由于于本本题题导导函函数数较较为为复复杂杂，，求求解解函函数数的的导导函函数数时时容容易易出出错错；；(3)求解解应应用用题题没没有有总总结结．．变式式训训练练2(2010年高高考考湖湖北北卷卷)为了在夏夏季降温温和冬季季供暖时时减少能能源损耗耗，房屋屋的屋顶顶和外墙墙需要建建造隔热热层．某某幢建筑筑物要建建造可使使用20年的隔热热层，每每厘米厚厚的隔热热层建造造成本为为6万元．该建筑筑物每每年的的能源源消耗耗费用用C(单位：：万元元)与隔热热层厚厚度x(单位：：cM)满足关关系：：方法感悟方法技技巧1．注意意单调调函数数的充充要条条件，，尤其其对于于已知知单调调性求求参数数值(范围)时，隐隐含恒恒成立立思想想．(如例2变式)2．求极极值时时，要要步骤骤规范范．表表格齐齐全，，含参参数时时要讨讨论参参数的的大小小．3．极值值是一一个局局部性性概念念，一一个函函数在在其定定义域域内可可以有有许多多个极极大值值和极极小值值，在在某一一点的的极小小值也也可能能大于于另一一点的的极大大值，，也就就是说说极大大值与与极小小值没没有必必然的的大小小关系系．若f(x)在(a，b)内有极极值，，那么么f(x)在(a，b)内绝不不是单单调函函数，，即在在某区区间上上单调调递增增或递递减的的函数数没有有极值值．(如课前前热身身3)4．在实实际问问题中中，如如果函函数在在区间间内只只有一一个极极值点点，那那么只只要根根据实实际意意义判判定最最大值值还是是最小小值即即可，，不必必再与与端点点的函函数值值比较较．(如例4)失误防防范1．利用用导数数讨论论函数数的单单调性性需注注意以以下几几个问问题(1)确定函函数的的定义义域，，解决决问题题的过过程中中，只只能在在函数数的定定义域域内，，通过过讨论论导数数的符符号，，来判判断函函数的的单调调区间间．(2)在对函函数划划分单单调区区间时时，除除了必必须确确定使使导数数等于于0的点外外，还还要注注意定定义区区间内内的不不连续续点或或不可可导点点．(3)注意在在某一一区间间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数数f(x)在该区区间上上为增增(或减)函数的的充分分不必必要条条件．．2．研究究函数数f(x)的极值值是通通过检检验f′(x)在方程程f′(x)＝0的根的的左、、右函函数值值的符符号来来判定定的，，因此此难点点是如如何判判定这这个根根左、、右函函数f′(x)值的符符号，，并与与函数数f(x)的极大大值、、极小小值对对应．．化解解的方方法是是列出出x、f′(x)、f(x)变化的的图表表，得得到f′(x)在每个个区间间上的的符号号，即即可得得到函函数对对应的的极大大值、、极小小值．．函数极极值的的另一一个难难以理理解的的问题题是极极大值值、极极小值值的大大小关关系，，即函函数的的极大大值不不一定定比极极小值值大，，极小小值也也不一一定比比极大大值小小．突突破这这一难难点的的方法法是正正确理理解极极值是是一个个局部部的概概念，，可以以通过过画出出函数数在整整个定定义域域上的的图像像，对对比图图像进进行分分析判判断．．3．求函数最最值时，不不可想当然然地认为极极值点就是是最值点，，要通过认认真比较才才能下结论论．4．要强化自自己用导数数知识处理理函数最值值、单调性性、方程的的根、不等等式的证明明等数学问问题的意识识．考情分析考向瞭望•把脉高考从近两年的的高考试题题来看，利利用导数来来研究函数数的单调性性、极值、、最值以及及生活中的的优化问题题已成为炙炙手可热的的考点，既既有小题，，也有解答答题，小题题主要考查查利用导数数研究函数数的单调性性和极值，，解答题主主要考查导导数与函数数单调性或或方程、不不等式的综综合应用．．预测2012年高考仍将将以利用导导数研究函函数的单调调性、极值值、最值为为主要考向向，同时