【优化方案】高考数学总复习 第13章§13.2导数的应用精品课件 大纲人教

§13.2导数的应用导数的应用考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考课时闯关·决战高考13.2双基研习·面对高考基础梳理1．函数的单调性与导数的符号的关系(在某个区间上)导数f′(x)的符号函数f(x)的单调性f′(x)>0在该区间内为_______f′(x)<0在该区间内为_______f′(x)＝0在该区间内为_________增函数减函数常数函数2.函数的极值与最值的辨析(1)定义设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)__f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有点，都有f(x)__f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．<>(2)判别f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是______

．②如果在x0附近的左侧_______，右侧_______，那么f(x0)是极小值．极大值f′(x)<0f′(x)>0思考感悟1．如果f(x)在其定义域内恒有f′(x)>0，则f(x)是否一定是其定义域上的增函数？为什么？2．对于函数y＝x3，在x＝0处能取得极值吗？提示：在x＝0处不能取得极值．因为f′(x)＝3x2≥0恒成立．在x＝0两侧单调性没发生变化．课前热身1．(教材例题改编)函数f(x)＝2x3－6x＋7的极大值为(

)A．1

B．－1C．3 D．11答案：D答案：D3．函数f(x)＝x3－3x＋1在[－3,0]上的最大值、、最小值分别别是()A．1，－1B．1，－17C．3，－17D．9，－19答案：C4．f(x)＝x(x－b)2在x＝2处有极大值，，则常数b的值为______．答案：65．函数f(x)＝x3－ax的减区间为(－2,2)，则a的值是________．答案：12考点探究·挑战高考考点一用导数研究函数的单调性考点突破若函数f(x)为连续函数，，使f′(x)>0的x的取值区间为为f(x)的增区间；使使f′(x)<0的x的取值区间为为f(x)的减区间，注注意定义域．．例1【思路分析】求f′(x)，并求解不等等式f′(x)>0及f′(x)<0.【解】f′(x)＝x2－(a2＋2)x＋(a2＋1)＝(x－1)[x－(a2＋1)]．∵a2＋1≥1，∴当a＝0时，，f′(x)≥≥0，∴f(x)在R上为为增增函函数数；；当a≠0时，，a2＋1>1，∴f′(x)>0时，，x>a2＋1或x<1；f′(x)<0时，，1<x<a2＋1.∴增区区间间为为(a2＋1，＋＋∞)，(－∞，1)；减减区区间间为为(1，a2＋1)．【名师师点点评评】对于于含含有有参参数数的的函函数数研研究究单单调调性性时时，，要要根根据据参参数数是是否否影影响响f′(x)正负负取取值值来来确确定定是是否否讨讨论论参参数数．．考点二用导数求函数的极值对于于求求极极值值的的问问题题，，首首先先明明确确函函数数的的定定义义域域，，并并用用导导数数为为0的点点把把定定义义域域分分割割成成几几部部分分，，然然后后列列表表判判断断导导数数在在各各部部分分取取值值的的正正负负，，极极值值点点从从表表中中就就很很清清楚楚地地显显示示出出来来．．例2求函函数数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1(a≥1)的极极值值．．【思路路分分析析】由已已知知得得f′(x)＝6x[x－(a－1)]，令f′(x)＝0，得得x1＝0，x2＝a－1.①当当a＝1时，，f′(x)＝6x2，f(x)在(－∞，＋＋∞)上单单调调递递增增，，f(x)没有有极极值值．．②当当a>1时，，f′(x)、f(x)随x的变变化化情情况况如如下下表表：：方法感悟x(－∞，0)0(0，a－1)a－1(a－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗由上上表表可可知知：：当当x＝0时，，f(x)有极极大大值值f(0)且f(0)＝1；当x＝a－1，f(x)有极小值值f(a－1)且f(a－1)＝1－(a－1)3.综上所述述：当a＝1时，f(x)没有极值值；当a>1时，f(x)的极大值值为f(0)＝1.【思维总结结】f′(x0)＝0只是x0为极值的的必要条条件．务务必有在在x0两侧f(x)单调发生生变化，，才能确确定f(x0)为极值点点．互动探究究1若本例中中的函数数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，在x＝0处取得极极值．求求a的取值．．解：由已已知得f′(x)＝6x[x－(a－1)]显然f′(0)＝0恒成立．．要使f(x)在x＝0处有极值值．则f′(x)＝0必有两个个不等根根∴a－1≠0，∴a≠1.考点三用导数求函数的最值或值域(1)求闭区间间上可导导函数的的最值时时，对函函数极值值是极大大值还是是极小值值可不再再判断，，只需直直接与端端点的函函数值比比较即可可获得．．(2)当连续函函数的极极值只有有一个时时，相应应的极值值必为函函数的最最值．例3已知a为实数数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求f(x)的导数数；(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最最大值值和最最小值值．【思路分分析】(1)第一问问先展展开，，后对对x求导，，优于于直接接按积积的导导数求求导；；(2)第二问问是利利用导导数求求函数数的最最值，，应注注意最最大(小)值是函函数在在f′(x)＝0的根处处及端端点处处值的的最大大(小)者．【思维总总结】此题省省去了了讨论论单调调性的的过程程，因因x＝或x＝－1是极值值点．．若f′(x)＝0的点不是极极值点时，，必须要讨讨论单调性性，确定极极值．互动探究2若f′(－1)＝0，求f(x)在[0,1]上的值域．．考点四生活中的优化问题生活中的利利润最大、、用料最省省等优化问问题，可转转化为函数数最值，结结合导数求求解．例4某集团为了了获得更大大的收益，，每年要投投入一定的的资金用于于广告促销销．经调查查，每投入入广告费t(百万元)，可增加销销售额约为为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)．(1)若该公司将将当年的广广告费控制制在3百万元之内内，则应投投入多少广广告费，才才能使该公公司由此获获得的收益益最大？【思路分析】(1)可直接求关关于t的二次函数数的最值．．(2)中可将收益益看作关于于x的函数．求求其最值．．【解】(1)设投入t(百万元)的广告费费后增加加的收益益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤≤t≤3)．∴当t＝2百万元时时，f(t)取得最大大值4百万元，，即投入入2百万元的的广告费费时，该该公司由由此获得得的收益益最大．．解得x＝－2(舍去)或x＝2，又当0≤x<2，g′(x)>0；当2<x≤3时，g′(x)<0，故g(x)在[0,2]上是增函函数，在在[2,3]上是减函函数．所以当x＝2时，g(x)取得最大大值．即即将2百万元用用于技术术改造，，1百万元用用于广告告促销时时，该公公司由此此获得的的收益最最大．【思维总结结】在(2)中g(x)只有一个个极值，，就是其其最值．．方法技巧巧方法感悟1．求可导导函数单单调区间间的一般般步骤(1)确定函数数f(x)的定义域域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相相应的x的范围．．当f′(x)>0时，f(x)在相应的的区间上上是增函函数；当当f′(x)<0时，f(x)在相应的的区间上上是减函函数．如如例1.2．求可导导函数f(x)的极值的的步骤①求导数数f′(x)；②求方程程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程根根左右的的值的符符号，如如果左正正右负，，那么f(x)在这个根根处取得得极大值值；如果果左负右右正，那那么f(x)在这个根根处取得得极小值值．如例例2.3．已知f(x)在区间(a，b)上的单调调性，求求参数的的范围时时．则根根据f′(x)≥0或f′(x)≤0在(a，b)内恒成立立．注意意验证等等号是否否成立．．失误防范范1．求函数数单调区区间时，，要先求求定义域域，对于于不连续续的函数数的单调调区间不不可用“∪”联结合并并．2．利用极极值求字字母参数数时，要要注意将将所求字字母参数数的值代代入验证证，是否否符合取取极值的的条件．．如例2.互动探究究．考向瞭望·把脉高考考情分析从近两年年的高考考试题来来看，导导数的综综合应用用是高考考的热点点之一，，每年必必考且题题型多为为解答题题，题目目难易程程度属中中、高档档题，并并且多为为压轴题题．主要要是借用用导数处处理函数数的单调调性、极极值、最最值等问问题，进进而研究究函数、、数列的的有关不不等式．．