高二物理竞赛课件：静力学

静力学力平衡力矩平衡几种力：张力（拉伸）—绳子，处处相等吗？有摩擦，离心力场，有自重等弹力（挤压）—刚性物体，无形变，垂直于接触面弹性物体，有形变，满足胡克定律摩擦力—静摩擦（有无，大小，方向的判断）动摩擦重力（引力）—非接触力例1.在光滑水平面上，直立一个半径为R的中空直圆筒。在筒内放两个相同的匀质球，球半径为r(R/2<r<R),重量为P.求两球对圆筒的压力。2Rf’BANPfNBPNAXYA球：x方向，

y方向，B球：x方向，

y方向，列方程：A球B球细杆靠在另一根杆的端点，伸出来的长度可以忽略不计。两者之间摩擦系数是。两者单位长度的质量相等，由铰链与地面连接。求杆子维持不倒的最小角度。fN应用力矩平衡，可以避免求解铰链上的作用力。

细杆单位长度的质量为。靠在半径为R的圆环上，上端与球相切。假设所有接触点皆有足够的摩擦，以使系统保持静止，求地面与圆环之间的摩擦力。寻找关键关系，不需要列出所有方程。杆的力矩平衡：球的力平衡（水平方向)关键：球的力矩平衡，两个接触点摩擦力相等！张力在连续物体（绳与杆）中的分布引力的积分问题其它数学型的问题光滑曲线上有一匀质链条，求链条上任意位置的张力。证明如果链条两端处于同一水平高度则链条保持静止。解：取一小段长为dl的线元，质量dm=ldl两端张力之差（净张力）dT=(dm)gsinq=ldlgsinq=lgdy例

一根绳子跨于一光滑的定滑轮两边，绳中张力为T，绳与滑轮接触的一段在轮心所张的角是2。求绳对定滑轮的作用力。TNTOABxy解：

x方向，

y方向，TTFF=2TyNfOT+dTTxT0T1例：皮带绕过轮，其与轮相接触的一段在轮心所张角度为。皮带与轮之间的静摩擦力系数为。试求轮两方皮带中张力T1和T0之间的数量关系。练习：（1）皮带绕过轮，其与轮相接触的一段在轮心所张角度为。皮带与轮之间的静摩擦力系数为。试求轮两方皮带中张力T1和T0之间的数量关系。

（2）一个质量为M半径R的园盘由轻质绳悬挂，如图所示。如果绳与园盘间存在摩擦，摩擦系数为，试计算绳子在园盘最低点最小可能的张力。（3）如果园盘的侧面是光滑的，绳索的张力为多大？绳子作用在园盘上单位长度的作用力为多大？练习：（2）一个质量为M半径R的园盘由轻质绳悬挂，如图所示。如果绳与园盘间存在摩擦，摩擦系数为，试计算绳子在园盘最低点最小可能的张力。（3）如果园盘的侧面是光滑的，绳索的张力为多大？绳子作用在园盘上单位长度的作用力为多大？万有引力求解匀质杆(质量为M,长为l)与其延长线上一质点间的引力（p84)。解：质量元dM=Mdx/lOXx+dxxalmdM球壳的万有引力求地球内部物体受到的万有引力M’兰色部分：不贡献引力红色部分：贡献引力，恰如位于球心的一个质点M’，M’是红色部分的总质量球体的万有引力ORFr例题：均匀弹簧在重力场中的伸长问题。M,K引例：弹簧串联。哪个伸长更大？mmmmkkkkn个弹簧串联，从下向上数x1=mg/k,x2=2mg/k,x3=3mg/k,…X=x1+x2+x3+…+xn=n(1+n)mg/2kM=nmX=Mg(1+n)/2kn无穷大,1+n=n,k/n=K(n个串联弹簧的等效弹性系数)

X=Mg/2K(M均匀弹簧的总质量，K弹性系数）可以进一步考虑，均匀弹簧悬挂小球的伸长，振动。。。练习：均匀弹簧在离心力场中的伸长问题。M,K先看一个类似的问题——旋转刚性杆的张力LTT+dT练习：均匀弹簧在离心力场中的伸长问题。M,k

（2010IYPT题目）x0TT+dTx0+dx0xx+dx类似于简谐振动方程，解是均匀链条悬挂在距离为2d的两壁之间，两端等高。链条的长度是多少时悬挂点上作用力最小。已知链条的方程。本题求解需要数值计算。绳子长度：绳子重量：悬挂点作用力：F对a求极小值，得数值解思考：悬挂点作用力X分量和Y分量极小时链子形状是什么？质心的计算质点组

刚体的质心质心质量

刚体质量质心质心可以在刚体之外；总是固结于刚体。xy例：半圆形均匀薄板的质心。xy对称性x0=0,y0=?y0=4R/3例：求如图均匀薄板的质心。xy12282C2IIIC1C0

解法1：分割法

解法2：补差法IIICIC’CII

解法2：正负法当切掉末端dx长度对应的dm以后，质心向前移动dx，按照杠杆原理,与端点距离始终是l-ldm=mdxdxmgdm刚体平面力系的平衡三力平衡的性质：刚体在三个力作用下平衡，这三个力必在同一平面内，而且它们的作用线（或延长线）必相交于同一点。（平行力系除外）匀质平行六面体，放在斜面上，两者之间的摩擦系数是m,斜面与水平面作q角。求六面体对斜面正压力的作用点。使q角逐渐增大，何时发生滑动或翻倒现象？PfN滑动条件：翻倒条件：N的作用点应该在P与f交点。当P的作用线不经过六面体底面时会翻倒。abq如果m>a/b，时先翻倒，如果m<a/b，时先滑动，继续增大到a/b

时翻到。旋转系统等效静力学问题IPhO20-2

不共线的三个点P1,P2和P3质量分别为m1,m2和m3，彼此间仅有万有引力作用。令C代表过质点组（P1，P2，P3）质心并垂直于三角形P1P2P3所在平面的轴，当系统绕轴C旋转时，为使三角形P1P2P3的形状保持不变，那么质点间的距离P1P2＝a,P2P3=b,P1P3=c应满足什么关系？角速度应满足什么条件？即在什么样的条件下，系统能如刚体一样绕C轴旋转？解:取坐标原点在质心，则引力质点1惯性离心力与引力平衡，故代入两项不共线，所以系数分别为零，解：选取地面参考系。水相对于参考系转动，任选一小块水，其受力如下图。mg为重力，N为这一小块水周围液体对它的作用力的合力，N应垂直于液体表面。

an例5定量计算牛顿旋转水桶的水面形状。此为抛物线方程，可见液面为旋转抛物面。IPhO21-3中子星的旋转(p258)

毫秒脉冲星是宇宙中的一类辐射源，它们发射间隔周期为一到几毫秒的持续时间非常短的脉冲。这种辐射在无线电波长范围内，一台合适的无线电接收器便可用来检测各个脉冲，由此精确地测定其发射周期。 这些无线电脉冲来自于一种特殊的，称之为中子星的星体表面。中子星非常密实，它们的质量与太阳的质量有相同数量级，而半径只有数十公里。它们非常快地自旋。由于高速旋转，中子星稍被压扁（假定表面形状是长、短轴几乎相等的旋转椭球面）。 令rp代表极半径，re代表赤道半径；并定义扁平率因子为e=(re-rp)/rp.考虑一个中子星，质量2.0*1030kg,平均半径1.0*104m,旋转周期2.0*10－2s（1）计算其扁平率因子，（给定引力常数G）。 由于长期运动中能量损失，中子星的旋转减慢，从而导致扁平率减小。中子星有一固态壳层，它浮在液态内核上。中子星会时而发生“星震”，结果造成壳层形状改变。在一次这样的星震过程中及震后，壳层与内核的角速度都会变化，壳层角速度的变化如图所示。（2）利用图中数据计算液态内核的平均半径。可近似认为壳层与内核密度相同（略去内核形状变化）。21-3解：建立XOY坐标，原点在星体中心，表面方程y=y(x)。假设没有切向应力，即合力沿着表面法向（即与切线垂直）沿切线取一个矢量(1,dy/dx)，表面质元dm受合力为(GMdmx/r3–w2xdm,GMdmy/r3)两者垂直，内积为零：GMdmx/r3–w2xdm＋（GMdmy/r3)dy/dx＝0Ydy+(1-w2r3/GM)xdx=0IPhO9-1半径R=0.5m的空心球以角速度绕其竖直直径旋转。在球内侧高度为R/2处有一小木块同球一起旋转。(g=10m/s2)(1)实现这一情况的最小摩擦系数为多少？(2)求时实现这一情况的条件。(3)在以下两种情况下研究运动的稳定性

(i)木块位置有微小变动；

(ii)球角速度有微小变动。解：（1）（2）（3）把和当作变量，判断N,f以及的增减。增加，则N增加，f减小，能满足，所以能保持平衡，减小则N减小，f增大，不能满足，向下滑。改变，两者系数皆正，两者比值的变化更重要附近，该系数仍大于零。如果木块向上滑动，增加，要求摩擦系数增加，不够大，故滑下来；如果向下滑，则摩擦力足够，不回来了。附近增加则增大，不能保持平衡，向上滑；减小则减小，保持平衡。增加时，要求摩擦系数减小，可以停留；如果向下滑，要求摩擦系数增大，摩擦力不够，返回。26届复赛2：图示正方形轻质刚性水平桌面由完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A、B、C、D处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生微小形变。现于桌面中心点O至角A的连线OA某点P施加一竖直向下的力F，令OP/OA=c,求桌面对桌腿1的压力F1。分析：力平衡，力矩平衡，对称性，F1＋F2＋F3+F4＝FF2＝F4F3＋cF＝F1差一个方程，弹性形变，X1=F1/k,X2=X4=F2/k,X3=F3/k从侧面看1、2（4）、3腿构成梯形，形变量满足X1＋X3＝2X2即F1＋F3＝2F2以上方程解得F1＝(2c+1)F/4,F3=(1-2c)F/4讨论：

c>1/2,F3<0?取F3＝0，重新解，以上哪个方程不必满足？F1＋F2＋F3+F4＝FF2＝F4F3＋cF＝F1X1＋X3＝2X2？？？化成F1＝cF总结:F1＝(2c+1)F/4，0≤c≤1/2F1=cF,1/2≤c≤1例:风向与帆船的航向作角。试研究驱使帆船向前行驶的风力如何取决于帆面的方向。风束强度I，帆面面积S研究最有效利用风力即：dF/d=0注意：根据具体情况选择答案航向侧向帆面法向风向帆面法向风向帆面-航向风向帆面FF风向逆风作浪解由M的受力平衡条件得，由于系统处于静力平衡，所以T1=m1g,，T2=m2g，T3=Mg。代入m1和m2的数值，得