高二物理竞赛波函数课件

一、波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。1）自由粒子的波函数设一自由粒子，不受外力作用，则粒子作匀速直线运动（设沿X轴），其动量、能量保持恒定。恒定！恒定！从波动观点看来：这种波只能是单色平面波X从不确定关系来研究：沿整个X轴传播波列长为长。结论：自由粒子的DeBröglie波是单色平面波其波函数为：依德布罗意关系式其波函数为：常写成复数：r当粒子沿着方向传播时：ZXY其中：注意：波函数一般要用复数表示！P—三维自由粒子的波函数二.波函数的统计解释：概率波（1926年）单电子双缝实验玻恩获得1954年诺贝尔物理学奖7个电子在观察屏上的图像100个电子在屏上的图像屏上出现的电子说明电子的粒子性。单个电子的去向是概率性的，但随着电子数目的增多显示出统计规律性。结论：干涉实验所揭示的电子的波动性是一个电子在许多次相同实验中的统计结果，或者是许多电子在同一个实验中的统计结果。正比于该点附近感光点的数目

正比于该点附近出现的电子数目正比于单个电子出现在点附近的概率

点附近干涉图样的强度物质波的强度大光强度大光波振幅平方大光子在该处出现的概率大（微粒观点）波函数振幅平方大单个粒子在该处出现的概率大（波动观点）（微粒观点）类比光的干涉实验（波动观点）光子在某处出现的概率和该处光振幅的平方成正比粒子在某处出现的概率和该处波函数振幅的平方成正比

概率幅模的平方2概率密度概率幅波函数是描述粒子在空间概率分布的“概率振幅”

代表t时刻在处单位体积中发现一个粒子的概率t

时刻在附近dV内发现粒子的概率为：结论（一）波函数所描述的是处于相同条件下，大量粒子的一次行为和一个粒子多次性重复行为。

微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决定性规律。牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨迹是已知的，决定性的。量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只给出到达各点的统计分布；即只知道||2大的地方粒子出现的可能性大，||2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出现在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）3

在已知给定条件下，不可能精确地预知结果，只能预言某些可能的结果的概率.

只开上缝时电子通过上缝的概率

只开下缝时电子通过下缝的概率三.用电子双缝干涉实验说明概率波的含义双缝齐开时双缝齐开时总概率幅总概率密度干涉项干涉是由于概率幅的线性叠加产生的结论？物理学家问:滑雪者究竟是从哪条路过去的呢?结论2微观粒子的波动性实质上就是概率幅的相干叠加性3即使只有一个电子当双缝齐开时它的状态也要用来描述4如果实验能确定通过了哪个缝，则干涉消失。少女？老妇？两种图象不会同时出现在你的视觉中。(1)波动性“可叠加性”:有“干涉”“衍射现象不是经典的波不代表实在物理量的波动(2)粒子性

整体性

不是经典的粒子没有“轨道”概念微观粒子的波粒二象性四、波函数的性质1）波函数具有有限性在空间是有限函数2）波函数是连续的3）波函数是单值的粒子在空间出现的几率只可能是一个值4）满足归一化条件（归一化条件）因为粒子在全空间出现是必然事件（Narmulisation）五、Schröding方程设有一作匀速直线运动的自由粒子沿X轴运动。(1)适用条件v<<c，低速微观粒子（2）自由粒子的schroding方程1）一维自由粒子的schroding方程,其波函数为：（1）式对t求导：（1）式对x求二阶偏导数：自由粒子非相对论条件下总动能：（4）、（5）式比较：自由粒子一维含时薛定谔方程2）势场中的薛定谔方程若粒子处在势场中，势能为U（x、t），总能量：将（5）式看成一般情况下的特例：由（4）式：势场中的一维含时薛定谔方程势场中的一维含时薛定谔方程若为三维粒子，薛定谔方程为：引入拉普拉斯算符三维含时薛定谔方程：3）定态薛定谔方程（重点）定态，势函数不显含时间，其几率分布也不随时间变化。等式左边是t的函数，右边是坐标的函数，但两边又相等，故等式左右两边均应与x、y、z、t无关，现记为E。则：其解：指数应是无量纲的数，的单位是“焦尔秒”，故E的单位只能是能量，实际上是粒子总能量E。定态薛定谔方程若定态薛定谔方程已解出为：则粒子的波函数：注意：1）定态波函数为一空间坐标函数

与一时间函数的乘积。2）对于定态，除能量E有确定值外，其几率分布也不随时间变化。六、薛定谔方程应用举例1）一维势阱对此我们提出一个理想模型，粒子限制在一个具有理想反射壁的方匣中，方匣中粒子可自由运动但在匣壁处受到强烈的反射，越出需无限大能量0aU此称无限深势阱若是经典粒子，粒子如何运动？mE许多情况，粒子束缚在一个很小空间（束缚态）。+++mE量子力学对粒子的分析：粒子满足一维定态薛定谔方程：粒子无法越过势阱故只须考虑0<x<a区间的波函数：令：0aUmEmE其解的形式：由边界条件：B=0故波函数:波函数:由归一化条件:代入(10)(11)式:(定态波函数)能量公式：粒子出现的几率密度：2）粒子在空间不同的地方出现的几率是不同的。结论：1）能量是量子化的，且无0值。能量最小值：波粒二象性的必然结果！E1