线段的垂直平分线的性质 课件 人教版八年级数学上册

第十三章轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质【学习目标】1、掌握线段的垂直平分线的概念及性质。2、会利用线段垂直平分线的性质及判定解决有关问题。3、能用尺规作已知线段的垂直平分线．【课前预习】1．已知下列说法，其中结论正确的个数是（）①等腰三角形一边上的高就是这条边上的中线；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，则这条直线是这条线段的垂直平分线；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列说法错误的是（）A．三角形的三条高的交点一定在三角形内部B．三角形的三条中线的交点一定在三角形内部C．三角形的三条角平分线的交点一定在三角形内部D．三角形的三条边的垂直平分线的交点可能在三角形内部，也可能在三角形外部3．直线l是线段AB的垂直平分线，点M，N是直线l上的两个点，若∠NBA=15°，∠MBA=45°，则∠MAN等于（）A．15° B．30° C．60° D．30°或60°4．下列结论正确的个数有（）①有两边和一角对应相等的两个三角形全等；②三角形三边的垂直平分线相交于一点；③有两边及夹角对应相等的两个三角形全等；④三角形三个内角的角平分线有可能相交于三角形的外部．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．已知△ABC，找一个点P使PA=PB=PC，则这个点应该是这个三角形（）A．三边中线的交点B．三内角平分线的交点C．三条高线的交点D．三边中垂线的交点【课前预习】答案1．A2．A3．D4．C5．D

如果一个平面图形沿一条直线

，直线两旁的部分能够

，这个图形就叫做轴对称图形.

折痕所在的这条直线叫做_________.对称轴折叠互相重合

复习回顾

把一个图形沿着某一条直线

,如果它能够

,那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做

.A′ABCB′C′折叠与另一个图形重合对称点你能用不同的方法验证这一结论吗？探索并证明线段垂直平分线的性质如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，请猜想点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离之间的数量关系．相等．ABlP1P2P3

请在图中的直线l上任取一点，那么这一点与线段AB两个端点的距离相等吗？线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．ABlP1P2P3已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上．求证：PA=PB．证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．”ABPCl证明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．ABPCl线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．用几何语言表示为：∵CA=CB，l⊥AB

或∵点P在线段AB的垂直平分线上∴PA=PB．∴PA=PB．

ABPCl解：AB=AC=CE

,AB+BD=DE

.

∵AD⊥BC，BD=DC∴AB=AC∵点C在AE的垂直平分线上∴AC=CE．∴AB=AC=CE例题例1如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ABCDE∵

AB=CE，BD=DC∴AB+BD=CD+CE

即AB+BD=DE．例2如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.ABCED探索并证明线段垂直平分线的判定反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？点P在线段AB的垂直平分线上．已知：如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．PABC证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C．则∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．线段垂直平分线的判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．用数学符号表示为：∵

PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．PABC这些点能组成什么几何图形？

你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？

在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合．ABPCl解：直线AM

是线段BC

的垂直平分线.∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上．∵MB=MC，∴

点M在BC的垂直平分线上∴直线AM是线段BC的垂直平分线．例3

如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ABCDM例1尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB外一点C（如图）.求作：AB的垂线，使它经过点C.探索经过已知直线外一点作这条直线的垂线ABC作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.（4）作直线CF.

直线CF就是所求作的垂线.CABDEFK如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？AB线段垂直平分线的画法不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？ABCA′B′C′尺规作图

如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？AB分析：我们只要连接点A和点B,作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A,B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ABCD作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于

AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.（2）作直线CD.CD即为所求.特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.例如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？AB分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点便是.公共汽车站课堂小结线段的垂直平分的性质和判定性质到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上内容判定内容作用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等作用见垂直平分线，得线段相等判断一个点是否在线段的垂直平分线上线段的垂直平分线的有关作图尺规作图作对称轴的常见方法属于基本作图之一，必须熟熟练掌握(1)将图形对折；(2)用尺规作图；(3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后作垂线【课后练习】1．下列定理中，没有逆定理的是（）A．同角的余角相等B．等腰三角形两个底角相等C．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等D．两直线平行，同旁内角互补2．下列说法错误的是（）A．E,D是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD=BD，AE=BEB．若AD=BD，AE=BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线C．若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上D．若PA=PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线3．下列说法中，不正确的有（）①不在角的平分线上的点到这个角的两边的距离不相等；②三角形两内角的平分线的交点到各边的距离相等；③到三角形三边距离相等的点有1个④线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等，⑤到三角形三个顶点距离相等的点有1个A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．下列命题是假命题的是（）A．三角形的外角和是360°B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形D．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等5．在下列命题中，真命题是（）A．同位角相等B．到线段距离相等的点在线段垂直平分线上\C．三角形的外角和是360°D．角平分线上的点到角的两边相等6．∠AOB内部有一点P，OP=5，点P关于OA的对称点为M，点P关于OB的对称点为N，若∠AOB=45°，则△MON的面积为_______．