【三维设计】高考数学 第四章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件 新人教A

第二节平面向量的基本定理及坐标表示抓基础明考向提能力教你一招我来演练第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入

[备考方向要明了]考

什

么1.了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题．2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

怎

么

考1.平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的

应用是重点．2.向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点

交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见．3.常以选择题、填空题的形式出现，难度为中、低档.一、平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个

向量，那么对于这一平面内的任意向量a，

一对实数λ1，λ2，使a＝

.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组

．不共线有且只有基底λ1e1＋λ2e22．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个

的向量，叫做把向量正交分解．互相垂直3．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使a＝xi＋yj，把有序数对

叫做向量a的坐标，记作a＝

，其中

叫做a在x轴上的坐标，

叫做a在y轴上的坐标．(x，y)(x，y)xy(2)设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是

的坐标，即若

＝(x，y)，则A点坐标为

，反之亦成立．(O是坐标原点)

终点A(x，y)二、平面向量坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝

，a－b＝

，λa＝

．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

＝

，

|

|＝.(x2－x1，y2－y1)三、平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.若a∥b⇔

.x1y2－x2y1＝0解析：：②中e2＝2e1，③中中e1＝4e2，故②②③中中e1，e2共线，，不能能作为为表示示它们们所在在平面面内所所有向向量的的基底底．答案：：A2．已知知向量量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，c＝(x，－2)且b∥c，则x的值为为()A．4B．－4C．2D．－2答案：：B解析：：由2a＝(2,2)及2a＋b＝(4,3)得b＝(2,1)．由b∥c得x＋4＝0得x＝－4.答案：：A答案：：(1,2)(0，－1)答案：：－41．平面面向量量基本本定理理的理理解(1)平面内内任意意两个个不共共线的的向量量都可可以作作为这这个平平面的的基底．．单位位正交交基底底是进进行向向量运运算最最简单单的一一组基基底．．(2)平面内内任一一向量量都可可以表表示为为给定定基底底的线线性组组合，，并且表表示方方法是是唯一一的．．但不不同的的基底底表示示形式式是不同的的．(3)用基底底表示示向量量的实实质是是向量量的线线性运运算．．2．共线线向量量充要要条件件的应应用技技巧两个向向量共共线的的充要要条件件在解解题中中应用用非常常广泛泛：已已知坐坐标，，判定定平行行；已已知平平行，，可求求参数数．但但要注注意与与共线线向量量定理理结合合应用用，如如果求求与一一个已已知向向量共共线的的向量量时，，用后后者更更简单单．[巧练模拟拟]————————(课堂突破破保分题题，分分分必保！！)答案：B[冲关锦囊囊]用向量基基本定理理解决问问题的一一般思路路是：先先选择一一组基底底，并运运用该基基底将条条件和结结论表示示成向量量的形式式，再通通过向量量的运算算来解决决．在基基底未给给出的情情况下，，合理地地选取基基底会给给解题带带来方便便，另外外，要熟熟练运用用平面几几何的一一些性质质定理.[答案]C[冲关锦囊囊]1．向量的的坐标运运算实现现了向量量运算代代数化，，将数与与形结合起来，，从而使使几何问问题可转转化为数数量运算算．2．两个向向量相等等当且仅仅当它们们的坐标标对应相相同．此此时注意方程(组)思想的应应用．提醒：向量的坐坐标与点点的坐标标不同：：向量平平移后，，其起点点和终点点的坐标标都变了了，但向向量的坐坐标不变变.[答案]B在本例条条件下，，问是否否存在非非零常数数λ，使a＋λb和a－λc平行？是是同向还还是反向向？解：因为a＋λb＝(1＋λ，2)，a－λc＝(1－3λ，2－4λ)，若(a＋λb)∥(a－λc)，∴(1＋λ)(2－4λ)－2(1－3λ)＝0.∴λ＝1.∴a＋λb＝(2,2)与a－λc＝(－2，－2)反向．即即存在λ＝1使a＋λb与a－λc平行且反反向．[巧练模拟拟]——————(课堂突破破保分题题，分分分必保！！)答案：C答案：1[冲关锦囊囊]向量平行行(共线)的充要条条件的两两种表达达形式是是：a∥b(b≠0)⇔a＝λb，或x1y2－x2y1＝0，至于使使用哪种种形式，，应视题题目的具具体条件件而定．．利用两两个向量量共线的的条件列列方程(组)，还可求求未知数数的值．．数学思想想转转化化与化归归思想在在解决新新定义型型信息题题中的应应用[考题范例例](2010·山东高考考)定义平面面向量之之间的一一种运算算“⊙”如下：对对任意的的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法法错误的的是()A．若a与b共线，则则a⊙b＝0B．a⊙b＝b⊙aC．对任意意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2[巧妙运用用]若a与b共线，则则有a⊙b＝mq－np＝0，故A正确；因因为b⊙a＝pn－qm，而a⊙b＝mq－np，所以只只有当mq－np＝0时，a⊙b＝b⊙a，故B错误；(λa)⊙b＝λmq－λnp＝λ(mq－np)＝λ(a⊙b)，故C正确；(a⊙b)2＋(a·b)2＝(mq－np)2＋(mp＋nq)2＝m2q2＋n2p2＋m2p2＋n2q2＝(m2＋n2)