攸县第三中学2021届高三数学上学期第五次月考试题

湖南省攸县第三中学2021届高三数学上学期第五次月考试题湖南省攸县第三中学2021届高三数学上学期第五次月考试题PAGE25-湖南省攸县第三中学2021届高三数学上学期第五次月考试题湖南省攸县第三中学2021届高三数学上学期第五次月考试题考试时间:120分钟；命题人：攸县三中高三数学备课组注意事项:1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合，，则()A． B． C． D．2．已知复数,满足,则（）A．1 B． C． D．53．下列命题中，正确的是()A．的最小值是4 B．的最小值是2C．如果，，那么 D．如果，那么4．已知平面向量，若，则（）A． B． C．1 D．5．若,则三个数的大小关系是(）A． B． C． D．6．函数的部分图像大致是（)A． B．C． D．7．惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件,生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为a,中位数为b，众数为c,则（）A．a〉b〉c B．b〉c>a C．c>a>b D．c>b>a8．已知函数f(x)，则下列结论正确的是()A．f（x）是周期函数 B．f（x）是奇函数C．f(x)在(0，+∞）是增函数 D．f(x)的值域为[﹣1,+∞)二、多选题（共4小题,每小题5分，共20分）9．对于函数，下列结论正确的是（）A．为偶函数 B．的一个周期为C．的值域为 D．在单调递增10．下列说法正确的是（)A．命题,的否定为，B．已知随机变量X服从正态分布，若，则C．“”是“”的充要条件D．若二项式的展开式中的常数项为，则11．已知函数，则下列说法正确的有（）A．函数的图象在点处的切线方程是B．函数有两个零点C．D．函数有极大值，且极大值点12．棱长为的正四面体中，以下说法正确的是（）A．异面直线与所成的角是B．侧棱与底面所成的角的余弦为C．二面角大小的余弦值为D．二面角大小的余弦值为第II卷(非选择题）三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．下列函数中：①;②；③，其图象仅通过向左或向右平移就能与函数的图象重合的是______填上符合要求的函数对应的序号14．有三个球和一个正方体,第一个球与正方体的各个面相切，第二个球与正方体的各条棱相切，第三个球过正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为____________．15．已知数列满足,且，则__________．16．已知,l为过点的动直线，若l与圆O相交于A、B两点，则当的面积最大时，的弦长为______．四、解答题(共6题，共70分)17．(10分）的角的对边分别为，.（1）求；（2）若外接圆的半径，求面积的最大值。18．(12分）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC．（1)设为中点，证明：（2）若，与平面所成角的正弦值19．（12分)已知数列满足，,设.（1)求,,;(2)证明:数列是等比数列，并求数列和的通项公式.20．(12分)已知向量，，，，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在区间上的值域。21．(12分）已知圆的方程:。(1）求的取值范围;（2)当圆过A（1，1）时，求直线被圆所截得的弦的长。22．(12分)（1）已知,，若，且图象在点处的切线方程为，求的值.(2)求函数在上的极值.参考答案1．A【解析】，,，故选A.2．A【分析】首先根据复数代数形式的除法运算求出，求出的模即可．【详解】解：，，故选：A【点睛】本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题．3．D【分析】利用基本不等式和对勾函数的性质,以及不等式的性质，分别对四个选项进行判断,得到答案.【详解】选项A中,若,则无最小值，所以错误;选项B中，，则函数转化为函数,在上单调递增，所以最小值为，所以错误；选项C中，若，则，所以错误；选项D中，如果，则，所以，所以可得.故选D。【点睛】本题考查基本不等式，对勾函数的性质，不等式的性质，判断命题是否正确，属于简单题。4．C【分析】由已知条件，有数量积的坐标公式可得，进而求得【详解】．又，即故选：C【点睛】本题考查了向量的数量积坐标公式，利用向量的垂直关系，并应用同角三角函数关系，求正切值5．B【解析】【分析】利用指数，对数函数的单调性即可判断出大小关系.【详解】解：，,，所以，故选：B.【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.6．A【解析】分析：利用函数的奇偶性，排除选项，再由函数在内的函数值为正实数，从而得出结论。详解：，，为偶函数，故排除B、D，又当，函数值为正实数,故选：A。点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域，判断图象的上下位置；(2）从函数的单调性,判断图象的变化趋势；（3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的周期性,判断图象的循环往复；（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象．7．D【分析】根据分段函数的表达式即可判断函数的性质,注意运用定义和常见函数的性质．【详解】当时，函数具备周期性，当时,函数单调递减，函数不具备周期性,故A错误；若，,则，且，即函数为非奇非偶函数，故B错误;当时，函数单调递减，故C错误；当时，，当时，时，，时，，综上,，即的值域为,故D正确。故选：D.【点睛】本题主要考查函数的性质：奇偶性和单调性、周期性及函数的值域，属于基础题．8．D【分析】根据平均数的求法,所有数据的和除以总个数即可，中位数求法是从大到小排列后，最中间一个或两数的平均数，众数是在一组数据中出现次数最多的即是众数，根据以上方法可以确定出众数与中位数．【详解】平均数，中位数,众数，则,故选：D．9．ABC【分析】利用奇偶性的定义以及周期的定义判断A,B选项;利用换元法以及正弦函数的单调性判断C选项；利用复合函数的单调性判断方法判断D选项.【详解】函数的定义域为，关于原点对称，则函数为偶函数，故A正确；，则函数的一个周期为，故B正确；令,则，由于函数在上单调递增，则，故C正确；当时，函数为减函数，由于，则函数在上为增函数，所以函数在单调递减，故D错误；故选：ABC【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性，周期性,求函数值域，复合函数的单调性,属于中档题。10．BD【分析】对于A,由命题的否定方法进行判断即可；对于B,由正态分布和特征进行判断；对于C，由充要条件的判断方法进行判断即可；对于D,由二项式展开式的通项公式进行计算即可【详解】解：对于A，命题，的否定为,,所以A错误；对于B，由于随机变量X服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称，所以当，可得，所以B正确；对于C，由可得，而当时，不成立，当可得，从而可得,所以“"是“”的必要不充分条件,所以C错误；对于D，的通项公式为，令,得，所以，得，所以D正确故选:BD【点睛】此题考查命题的否定、正态分布、不等式的性质的应用、二项式定理等知识，属于中档题11．AD【分析】利用导数求出函数的图象在点处的切线方程判定A；令，由单调性及函数零点的判定可得存在，使得，即，从而得到函数的单调性与极值判定D；由在区间上单调递减，结合判断C；由函数零点判定定理得到当时，有一个零点，在上无零点判断B．【详解】由，得，则，∴函数的图象在点处的切线方程是，即函数的图象在点处的切线方程是，故A正确；令,，则在上是单调递减的，又,由零点存在性定理可得：∴存在,使得,即，则在上单调递增，在上单调递减,∴函数有极大值，且极大值点，故D正确；由在上单调递减，∴，故C错误；∴当时，单调递增，又,利用零点存在性定理可知：在有一个零点，当时,，则在上无零点，即只有一个零点,故B错误．故选：AD．【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的零点，极值以及切线方程问题，考查了零点存在性定理.属于中档题.12．ABC【分析】对于A：取的中点，连接、，作于点，即可证得平面，可得，即可判断选项A；对于B:因为平面，可得，结合，可得平面,即可知即为直线与底面所成的角，求出的长，即可判断选项B；对于C:取中点，连接、，则，，所以即为二面角的平面角，在中利用余弦定理即可判断选项C；对于D：由选项C可知，二面角大小的余弦值为，即可判断选项D；【详解】设正四面体的棱长为，对于A：取的中点，连接、，作于点,因为，所以，，因为，所以平面，又平面，所以，所以异面直线与所成的角是，故选项A正确;对于B:因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面，所以即为直线与底面所成的角，，所以故选项B正确；对于C:取中点，连接、,因为,所以，，所以即为二面角的平面角，在中，，所以，故选项C正确；对于D:由于正四面体的对称性可知二面角大小的余弦值等于二面角大小的余弦值,所以二面角大小的余弦值为,故选项D不正确;故答案为：【点睛】本题主要考查了求异面直线所成的角，考查了线面角以及二面角，属于中档题。13．：①②【分析】利用诱导公式，根据的图象的变化规律,得出结论。【详解】的图象向左平移个单位，可得到，故①符合要求.的图象向右平移个单位，可得到，故②符合要求。对于③，无论向左还是向右,纵坐标不变，故不符合条件。故答案为：①②【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换以及诱导公式的应用,还考查了理解辨析的能力，属于中档题。14．1︰2︰3．【分析】设出正方体的棱长，求出内切球的半径，与棱相切的球的半径，外接球的半径，然后求出三个球的表面积,即可得到结果．【详解】设正方体的棱长为2，则内切球的半径为棱长的一半，为1;与棱相切的球的半径就是正方体中相对棱的距离，也就是面对角线的长的一半，为；外接球的半径为体对角线的一半,为。所以这三个球的表面积之比为：故答案为【点睛】本题是基础题，考查球与正方体的关系，内切球、外接球的关系，考查空间想象能力，求出三个球的半径是解题的关键．15．【解析】由已知得，则是公比为的等比数列，，则,故答案为。16．【分析】先设直线l的方程为：，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离，再利用勾股定理得到，再利用的面积公式求出，令，利用基本不等式求出的最大值,此时，即可得出结果.【详解】由题意知，直线l的斜率一定存在，设为，又l过点，则直线l的方程为：,圆心到直线l的距离，由圆的半径为，则弦长，则的面积为：，令，则，所以，由,当且仅当时取等号;所以，此时，则的弦长为。故答案为：.【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：几何法：设圆的半径为，弦心距为，弦长为,则；代数法：设弦所在的直线与圆相交于两点，可列方程组,消去后得到关于的一元二次方程，从而求得，则弦长.17．（1）（2）【解析】【分析】(1)(方法一）由余弦定理的推论，求出,代入已知条件，即可求出的值，即可确定的度数；（方法二）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据不为0,求出的值，即可确定的度数；(2）利用由正弦定理以、三角形内角和以及两角和差公式可得,的面积,然后再根据角的范围即可求出结果.【详解】（1）(方法一）由余弦定理，,得，所以。（方法二）由正弦定理，，得，所以，所以.（2）由正弦定理，，的面积，，所以,面积的最大值为。【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．18．（1)证明见解析;（2）【分析】（1）由线面垂直可证明PA⊥CD,结合PC⊥CD,即可证明CD⊥平面PAC，再根据线面垂直的定义,即可证明结果;（2)根据题中所给数据关系和勾股定理即可求出，再根据等体积法，即可求出A到平面的距离为,再根据与平面所成角的正弦值，即可求出结果.【详解】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD．又PC⊥CD，PA∩PC=P，PA⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC．又为中点,所以平面PAC，所以；(2）设,过C作CK垂直AD于K点，因为AB=BC=1，AB⊥BC所以在直角三角形ABC中，,在直角三角形PAC中，；又AD∥BC，AB⊥BC，所以；所以在直角三角形CKD中，；在直角三角形PAD中，,由（1）可知三角形PCD为直角三角形所以，即，所以;所以设A到平面的距离为又所以所以所以所以与平面所成角的正弦值.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定定理，以及等体积法在求点到平面距离中的应用，属于中档题。19．（1)，，；(2）证明见详解,，。【分析】（1）根据递推公式，赋值求解即可；（2）利用定义，求证为定值即可，由数列通项公式即可求得和。【详解】（1）由条件可得，将代入得，，而,所以。将代入得，所以.从而，，.（2）由条件可得,即,,又,所以是首项为1,公比为3的等比数列,.因为，所以.【点睛】本题考查利用递推关系求数列某项的值,以及利用数列定义证明等比数列，及求通项公式，是数列综合基础题。20．(1）；（2）【分析】(1）利用平面向量数量积的坐标表示，及三角函数的恒等变换，可得,由图象的相邻两条对称轴之间的距离，可求出的周期