《金新学案》高考数学总复习 9.6空间角课件 文 大纲人教

第6课时空间角1．异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的

叫做a与b所成的角．(2)范围：两异面直线所成角θ的取值范围是

.锐角(或直角)2．直线与平面所成的角(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的

所成的角．当直线和平面平行时，直线和平面所成的角为

．当直线和平面垂直时，直线和平面所成的角为

．(2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是

.0°的角90°的角射影3．二面角(1)二面角的定义二面角：从一条直线出发的两个

所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的

，每个半平面叫做二面角的面，如图所示，棱为l，两个面分别为α、β的二面角记作

，由A∈α，B∈β，二面角也记作

.半平面棱α－l－βA－l－B二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线

，

，则∠AOB叫做二面角α－l－β的平面角，如图所示．OA⊥lOB⊥l(2)二面角的取值范围：

．[0，π]4．(B)妙用空间向量求空间角(1)向量法求异面直线所成的角若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝

.(2)向量法求线面所成的角求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，a〉|＝.(3)向量法求二面角求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝；若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－.1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BC1和B1D1所成的角为(

)A．30°

B．45°C．60°D．90°答案：

C2．已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为(

)A．30°B．60°C．90°D．120°解析：由题易知m，n所成的角为两平面所成的角，故选B.答案：

B3．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(

)答案：

A4．平面α∩平面β＝CD，P为这两个平面外一点，PA⊥α于A，PB⊥β于B，若PA＝2，PB＝1，AB＝，则二面角α－CD－β的大小为________．答案：60°5．如右图所示，已知AB为平面α的一条斜线，B为斜足，AO⊥α，O为垂足，BC为α内的一条直线，∠ABC＝60°，∠OBC＝45°，则斜线AB和平面α所成的角为____________．答案：

45°1．求两条异异面直线所所成的角的的具体步骤骤(1)利用定义构构造角，可可固定一条条，平移另另一条，或或两条同时时平移到某某个特殊的的位置．(2)说明作出的的角即为所所求角．(3)通过解三角角形来求角角．2．利用向量量的夹角来来求异面直直线的夹角角时，注意意区别：当当异面直线线的向量的的夹角为锐锐角或直角角时，就是是该异面直直线的夹角角；当异面面直线的向向量的夹角角为钝角时时，其补角角才是异面面直线的夹夹角．如图，已知知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点．(1)求直线B1C与DE所成角的余余弦值；(2)求证：平面面EB1D⊥平面B1CD.解析：方法一：(1)连结A1D，则由A1D∥B1C知，B1C与DE所成角即为为A1D与DE所成成角角．．连结结A1E，由由正正方方体体ABCD－A1B1C1D1，可可设设其其棱棱长长为为a，(9B)方法法二二：：如如图图所所示示建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系D－xyz，设设D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，则则E(2,1,0)．[变式式训训练练]1.矩形形ABCD与矩矩形形ABEF的公公共共边边为为AB，且且平平面面ABCD⊥平面面ABEF，如如图图所所示示，，FD＝2，AD＝1，EF＝(1)证明明AE⊥平面面FCB；(2)求异异面面直直线线BD与AE所成成角角的的余余弦弦值值．．解析析：(1)∵平面面ABCD⊥平面面ABEF，且且四四边边形形ABCD与ABEF是矩矩形形，，∴AD⊥平面面ABEF.∴AD⊥AE.∵BC∥AD，∴BC⊥AE.又FD＝2，AD＝1，1．求求一一条条直直线线与与平平面面所所成成的的角角，，具具体体步步骤骤如如下下：：(1)作图图：：作作(或找找)出斜斜线线在在平平面面内内的的射射影影，，将将空空间间角角(斜线线与与平平面面所所成成的的角角)转化化为为平平面面角角(两条条相相交交直直线线所所成成的的锐锐角角)，作作射射影影要要过过斜斜线线上上一一点点作作平平面面的的垂垂线线，，再再过过垂垂足足和和斜斜足足(有时时可可以以是是两两垂垂足足)作直直线线．．(2)证明明：：说说明明某某平平面面角角就就是是斜斜线线与与平平面面所所成成的的角角．．(3)计算：：通常常在垂垂线段段，斜斜线段段和射射影所所组成成的直直角三三角形形中计计算．．2．利用用向量量法求求线面面角的的方法法．一是分分别求求出斜斜线和和它在在平面面内的的射影影直线线的方方向向向量，，转化化为求求两个个方向向向量量的夹夹角(或其补补角)；二是通通过平平面的的法向向量来来求，，即求求出斜斜线的的方向向向量量与平平面的的法向向量所所夹的的锐角角，取取其余余角就就是斜斜线和和平面面所成成的角角．如图，，四棱棱锥P－ABCD的底面面是正正方形形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：：平面面AEC⊥平面PDB；(2)当PD＝AB且E为PB的中点点时，，求AE与平面面PDB所成的的角的的大小小．解析：：方法一一(1)证明：：∵四边形形ABCD是正方方形，，∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.∴AC⊥平面面PDB.又AC平面面AEC∴平面面AEC⊥平面面PDB.(2)如图图，，设设AC∩BD＝O，连连结结OE.由(1)知AC⊥平面面PDB于O.∴∠∠AEO为AE与平平面面PDB所成成的的角角．．又O，E分别别为为DB，PB的中中点点，，方法法二二：：如如图图，，以以D为原原点点建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系D－xyz.设AB＝a，PD＝h，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)．[变式式训训练练]2.如图图，，在在正正三三棱棱柱柱ABC－A1B1C1中，，AB＝4，AA1＝，，点点D是BC的中中点点，，点点E在AC上，，且且DE⊥A1E.(1)证明明：：平平面面A1DE⊥平面面ACC1A1；(2)求直直线线AD和平平面面A1DE所成成角角的的正正弦弦值值．．解析析：(1)证明明：：如如图图所所示示，，由由正正三三棱棱柱柱ABC－A1B1C1的性性质质知知AA1⊥平面面ABC.(2)方法法一一：：过过点点A作AF垂直直A1E于点点F，连连结结DF.由(1)知，，平平面面A1DE⊥平面面ACC1A1，所以以AF⊥平面面A1DE.故∠ADF即为为直直线线AD和平平面面A1DE所成成的的角角．．因为为DE⊥平面面ACC1A1，所所以以DE⊥AC.而△ABC是边边长长为为4的正正三三角角形形，，确定定二二面面角角的的平平面面角角的的常常用用方方法法(1)定义义法法：：在在棱棱上上任任取取一一点点，，过过这这点点在在两两个个半半平平面面内内分分别别引引棱棱的的垂垂线线，，这这两两条条射射线线所所成成的的角角，，就就是是二二面面角角的的平平面面角角．．(2)三垂垂线线定定理理及及逆逆定定理理法法：：自自二二面面角角的的一一个个半半平平面面上上一一点点A(不在在棱棱上上)向另另一一半半平平面面所所在在平平面面引引垂垂线线，，再再由由垂垂足足B(垂足足在在棱棱上上则则二二面面角角为为直直二二面面角角)向棱棱作作垂垂线线得得到到棱棱上上的的点点C，连连结结AC则∠ACB(或其其补补角角)即为为二二面面角角的的平平面面角角．．(3)作棱棱的的垂垂面面法法：：自自空空间间一一点点作作与与棱棱垂垂直直的的平平面面，，截截二二面面角角得得两两条条射射线线，，这这两两条条射射线线所所成成的的角角就就是是二二面面角角的的平平面面角角．．(4)向量法：：利用空间间向量方方法求二二面角，，可以有有两种办办法：一一是分别别在二面面角的两两个面内内找到一一个与棱棱垂直且且从垂足足出发的的两个向向量，则则这两个个向量的的夹角的的大小就就是二面面角的平平面角的的大小；；二是通通过平面面的法向向量来求求：设二二面角的的两个面面的法向向量分别别为n1和n2，则二面面角的大大小等于于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．(2010·北京东城城区模拟拟)如图，在在直三棱棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，D为AB的中点．．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1；(3)求二面角角C1－AB－C的正切值值．解析：方法法一：(1)在直三棱棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，BC1在底面上上的射影影为BC.由AC＝3，BC＝4，AB＝5，可得AC⊥CB，∴AC⊥BC1.(2)设BC1与CB1交于点O，则O为BC1的中点，，连接OD.在△ABC1中，D、O分别为AB，BC1的中点，，故OD为△ABC1的中位线线，∴OD∥AC1，又AC1平面CDB1，OD平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.(3)过C作CE⊥AB于E，连接C1E，由CC1⊥底面ABC，可得C1E⊥AB.故∠CEC1为二面角角C1－AB－C的平面角角．方法二：：∵在直三棱棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC，BC，CC1两两垂直直，如图图，以C为坐标原原点，建建立空间间直角坐坐标系C－xyz，则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)．(2)同方法一一．(3)由题易知知平面ABC的一个法法向量为为m＝(0,0,1)，设平面C1AB的一个法法向量为为n＝(x0，y0，z0)，[变式训练练]3.(2010·平顶山第第一次调调研)如图，在在四棱锥锥V－ABCD中，底面面ABCD是正方形形，侧面面VAD是正三角角形，侧侧面VAD⊥底面ABCD.(1)证明：AB⊥平面VAD；(2)求平面VAD与平面VDB所成二面面角的大大小．解析：方法一：：(1)因为平面面VAD⊥平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD＝AD，又AB在平面ABCD内，AB⊥AD，所以AB⊥平面VAD.(2)由(1)知AD⊥AB，AB⊥AV，依题意，设设AB＝AD＝AV＝1，所以BV＝BD＝，，如图图，设VD的中点为E，连接AE、BE，则AE⊥VD，BE⊥VD，所以∠AEB是平面VDA与平面VDB所成二面角角的平面角角．方法二：(1)同证法一．．(2)设AD的中点为O，连接VO，则VO⊥底面ABCD.又设正方形形的边长为为1，建立空间间直角坐标标系如图所所示．1．构造异面面直线所成成角常用方方法：(1)过一条异面面直线上的的已知点，，作另一条条直线的平平行线，或或同时平移移两条直线线使异面直直线所成的的角成为相相交直线的的交角；(2)当直接过异异面直线上上的点平移移直线有困困难时，可可利用题设设中的特殊殊点(如中点等)将异面直线线分别平移移至该点或或考虑两异异面直线是是否垂直；；(3)通过构造辅辅助平面、、辅助几何何体来平移移直线．2．“线线角抓平平移，线面面角定射影影，二面角角求平面角角”，也就是说说求异面直直线所成角角一般要通通过平移构构建三角形形来完成，，常用中位位线法、平平行四边形形法、补形形法等转化化为可解三三角形去完完成．直线线与平面所所成的角，，关键是找找到直线在在此平面上上的射影，，为此，必必须在这条条直线上的的某一点处处作(或找)平面的一条条垂线．求求二面角时时要先证后后用，不加加论证就断断言所作(或找)的角就是所所求二面角角的平面角角是常犯的的知识性错错误，而在在证明平面面角时，往往往会用到到线面垂直直．如果不不作出这些些角就转化化为求向量量的夹角．．通过对近三三年高考试试题的统计计分析，有有以下的命命题规律：：1．考查热点点：空间角角的求解．．2．考查形式式：选择、、填空、解解答题均可可出现．3．考查角度度：一是对线面面角的考查查，解题时时要明确线线面角的范范围．二是对二面面角的考查查，充分理理解掌握二二面角的定定义．三是对线线线角的考查查，是证明明直线与直直线垂直的的一种方法法．4．命题趋势势：改变设设问方式，，已知空间间角，然后后求解其他他的量．(12分)(2010·山东卷)如图，在五五棱锥P－ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角角形．(1)求证：平面面PCD⊥平面PAC；(2)求直线PB与平面PCD所成角的大大小；(3)求四棱锥P－ACDE的体积．规范解答：(1)证明明：：∵∠∠ABC＝45°°，AB＝2，BC＝4，∴在△ABC中，，由由余余弦弦