《走向清华北大》高考总复习 指数与指数函数课件

第九讲指数与指数函数回归课本(n∈N*);3.有理指数幂的运算性质设a>0,b>0,则aras=ar+s(r,s∈Q);(ar)s=ars(r,s∈Q);(ab)r=arbr(r∈Q).4.指数函数的定义形如y=ax(a>0且a≠1,x∈R)的函数叫做指数函数.5.指数函数的图象与性质y=axa>10<a<1图象定义域(-∞,+∞)值域(0,+∞)性质过定点(0,1)当x>0时,y>1;当x>0时,0<y<1;当x<0时,0<y<1当x<0时,y>1在(-∞,+∞)上是增函数在(-∞,+∞)上是减函数[ZB)]考点陪练答案案:D答案案:D答案案:C答案案:D5.(2010·山东东青青岛岛二二模模)若y=e|x|(x∈∈[a,b])的值值域域为为[1,e2],则点点(a,b)的轨轨迹迹是是图图中中的的()A.线段段BC和OCB.线段段AB和BCC.线段段AB和OAD.线段段OA和OC解析析:据题题意意当当a=-2,0≤≤b≤≤2时,函数数的的值值域域符符合合条条件件,其轨轨迹迹为为图图中中线线段段AB,当-2≤≤a≤≤0,b=2时,函数数值值域域符符合合条条件件,此时其轨轨迹为图图中线段段BC,故选B.答案:B类型一指指数幂幂的化简简与求值值解题准备备:解决此类类问题的的关键是是利用幂幂指式的的运算性性质,将根式与与指数幂幂互化.一般地,进行指数数幂的运运算时,化负指数数为正指指数,化根式为为分数指指数幂,便于利用用幂的运运算性质质,化繁为简简.对于计算算结果,如果题目目以根式式形式给给出,则结果用用根式的的形式表表示,如果题目目以分数数指数幂幂形式给给出,则结果用用分数指指数幂的的形式表表示.①有理数指指数幂的的运算性性质中,其底数都都大于0,否则不能能用性质质来运算算.②结果不能能同时含含有根号号和分数数指数,也不能既既有分母母又含有有负指数数.类型二指指数函函数的图图象解题准备备:指数函数数图象的的特点(1)指数函数数在同一一直角坐坐标系中中的图象象的相对对位置与与底数大大小的关关系如图图所示,则0<c<d<1<a<b.在y轴右侧,图象从上上到下相相应的底底数由大大变小;在y轴左侧,图象从下下到上相相应的底底数由大大变小;即无论在在y轴的左侧侧还是右右侧,底数随逆逆时针方方向变大大.[类型三指指数函函数的性性质解题准备备:(1)复合函数数问题,应细致分分析由哪哪些基本本函数复复合而成成,讨论此类类函数的的单调性性应分层层逐一求求解;(2)换元法,通过换元元将复杂杂的问题题简单化化,求解过程程应注意意中间变变量的取取值范围围及转化化的等价价性.[分析]求定义域域与值域域时可根根据指数数函数的的概念和和性质,结合函数数自身有有意义去去求,对复合函函数的单单调区间间通常利利用复合合函数的的单调性性,“同则增,异则减””的原则则.(2)∵f(x)=4x-2x+1-5=(2x)2-2·2x-5,令t=2x,则t>0,f(t)=t2-2t-5,故f(t)=(t-1)2-6.又∵t>0,∴当t=1时,ymin=-6,故函数f(x)的值域是[-6,+∞).由于t=2x是增函数,∴要求f(x)的增区间实际上是求f(t)的增区间,求f(x)的减区间实际上是求f(t)的减区间.∵f(t)在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增.故由t=2x≥1得x≥0;由t=2x≤1得x≤0,∴f(x)的增区间间是[0,+∞),减区间是是(-∞,0].的单调区区间时易易忽视定定义域.事实上,函数的单调性性区间是其定定义域的子集集.涉及复合函数数单调性问题题,首先应弄清函函数是由哪些些基本函数复复合得到的,求出复合函数数的定义域,然后分层逐一一求解内层函函数的单调区区间和外层函函数的单调区区间.利用定义证明明时可分层比比较,对于内外层函函数,注意“同增异异减”.类型四 指数数函数的综合合问题解题准备:指数函数是一一类重要函数数,与其他知识综综合是高考考考查的热点.解决这类问题题的关键是熟熟练掌握指数数函数的图象象和性质,并注意分类讨讨论和等价转转化的数学思思想和方法.[分析]先研究函数定定义域,再依照奇偶函函数的定义判判断奇偶性;对于单调性,可结合指数函函数的单调性性进行分析;对于恒成立问问题,则可借助单调调性,求出f(x)的最值,再求解b的范围.(2)当a>1时,a2-1>0,y=ax为增函数,y=a-x为减函数,从而y=ax-a-x为增函数,所以f(x)为增函数.当0<a<1时,a2-1<0,y=ax为减函数,y=a-x为增函数,从而y=ax-a-x为减函数.所以f(x)为增函数.故当a>0,且a≠1时,f(x)在定义域内单单调递增.[反思感悟]判断函数的奇奇偶性时必须须先研究函数数的定义域,而研究函数的的单调性时,可以在已知的的常见函数的的单调性的基基础上进行讨讨论,对于恒成立问问题,一般都会与与函数的最最值有关,通过分离参参数,求出函数的的最值,从而可得到到参数的取取值范围.错源一忽忽视换元后后新元的取取值范围[剖析]上述解法错错误的原因因在于忽视视了换元后后新元t的范围.事实上,新元t∈(0,+∞).[评析]换元法不管管在什么情情况下使用用,都必须要注注意确定新新元的范围围,因为它是换换元后的新新函数的定定义域.错源二忽忽视对参数数的分类讨讨论造成漏漏解【典例2】如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值值是14,试求a的值.[剖析]本题的错解解在于忽视视了对参数数a的讨论,误认为a>1.当指数函数数和对数函函数的底数数含有参数数时,要先对参数数进行讨论论,确定单调性性,进而解决问问题.[正解]设t=ax,则y=t2+2t-1=(t+1)2-2.当a>1时,t∈[a-1,a],ymax=a2+2a-1=14,解得a=3或a=-5(舍);当0<a<1时,t∈[a,a-1],ymax=(a-1)2+2a-1-1=14,解得a=或a=(舍).故所求a的值为3或.技法一快快速解题(构造函数)【典例1】已知x,y是实数,且3x+5y>3-y+5-x,则下列式子子成立的是是( )A.x+y>0B.x+y<0C.x-y<0D.x-y>0[答案]A技法二四四种策略比比较指数大大小一､若底数相同同,则可用单调调性比较【典例2】若0<a<1,则a,aa,aaa大小顺序是是________.[解析]因为f(x)=ax(0<a<1)在x∈R上是减函数数,又0<a<1,所以a0>aa>a1,所以aa0<aaa<aa1,即a<aaa<aa.[答案]a<aaa<aa二､若指数相同同,则可用图象象比较【典例3】比较0.7a与0.8a的大小.[解]设函数y=0.7x与y=0.8x,则两个函数数的图象关关系如图.当x=a≥0时,0.8a≥0.7a;当x=a<0时,0.8a<0.7a.[方法与技巧巧]对于不同底底而同指数数的指数值值的大小的的比较,利用图象法法求解快捷捷而准确.三､若底数与指指数均不同同,则可用中间间值1【典例4】比较30.4与0.43的大小.[解]因为y=3x是增函数,所以30.4>30=1,又y=0.4x是减函数,所以