《走向清华北大》高考总复习 平面向量的应用课件

第二十六讲平面向量的应用回归课本1.向量应用的常用结论(1)两个向量垂直的充要条件符号表示:a⊥b⇔a·b=0.坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.(2)两个向量平行的充要条件符号表示:若a∥b,b≠0,则a=λb.坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b(x1,y1)=λ(x2,y2),即或x1y2-x2y1=0.(3)夹角公式cosθ=

(0°≤θ≤180°).(4)模长公式|a|=

(a=(x,y)).(5)数量积性质|a•b|≤|a|•|b|.2.向量应用的分类概述(1)应用平面向量解决函数与不等式的问题,是以函数和不等式为背景的一种向量描述,它需要掌握向量的概念及基本运算,并能根据题设条件构造合适的向量,利用向量的“数”､“形”两重性解决问题.(2)平面向量与三角函数的整合,仍然是以三角题型为背景的一种向量描述,它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数的相关知识来解答,三角知识是考查的主体.(3)平面向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述,它主要强调向量的坐标运算,将向量问题转化为坐标问题,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答,坐标的运算是考查的主体.(4)平面向量在平面几何中的应用,是以平面几何中的基本图形(三角形､平行四边形､菱形等)为背景,重点考查平面向量的几何运算(三角形法则､平行四边形法则)和几何图形的基本性质.(5)平面向量在物理力学等实际问题中的应用,是以实际问题为背景,考查学科知识的综合及向量的方法.注意:(1)在解决三角形形状问题时,回答要全面､准确,处理四边形问题时,要根据平行四边形或矩形､菱形､正方形及梯形的性质处理.(2)用向量处理物理问题时,一般情况下应画出几何图形,结合向量运算与物理实际进行解决.考点陪练答案:B答案案:D答案案:A4.若直直线线2x-y+c=0按向向量量a=(1,-1)平移移后后与与圆圆x2+y2=5相切切,则c的值值为为()A.8或-2B.6或-4C.4或-6D.2或-8解析析:直线线2x-y+c=0,按a=(1,-1)平移移后后得得直直线线2(x-1)-(y+1)+c=0,即2x-y-3+c=0,由d=r,得得得c=8或-2.答案案:A5.已知知等等差差数数列列{an}的前前n项和和为为Sn,若a2+a2009,且A､､B､､C三点点共共线线(该直线不过点点O),则S2010等于()A.1005 B.1010C.2010 D.2015解析:由题意知A､B､C三点共线,则a2+a2009=1.∴S2010==1005×1=1005.故选A.答案:A类型一 利用用向量解决平平面几何问题题解题准备:一般情况下,用向量解决平平面几何问题题,要用不共线的的向量表示题题目所涉及的的所有向量,再通过向量的的运算法则和和性质解决问问题.用向量方法解解决平面几何何问题的“三步曲”:①建立平面几何何与向量的联联系,用向量表示问问题中涉及的的几何元素,将平面几何问问题转化为向向量问题;②通过运算,研究几何元素素之间的关系系,如距离、夹角角等问题;③把运算结果“翻译”成几何关系.【典例1】如图,正方形OABC两边AB､BC的中点分别为为D和E,求∠DOE的余弦值.[分析]把∠DOE转化为向量夹夹角.解法二:如图建立直角角坐标系,设A(2,0),C(0,2),则D(2,1),E(1,2).[反思感悟]利用向量解几几何题,关键是将有关关线段设为向向量,不同的设法可可出现不同的的解法;或者建立平面面直角坐标系系,用坐标法解之之.利用向量解平平面几何有时时特别方便,但要注意一点点,不宜搞得过难难,因为高考在这这方面要求不不高.类型二 向量量在解析几何何的应用解题准备:向量与解析几几何结合的综综合题是高考考命题的热点点,解题的关键是是正确把握向向量与坐标之之间的转化和和条件的运用用.常见技巧有两两个:一是以向量的的运算为切入入口;二是结合向量量的几何意义义及曲线的有有关定义作转转化.【典例2】在平面直角坐坐标系xOy中,点P到两点的的距离之之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与C交于A,B两点.(1)写出C的方程;(2)若求求k的值;(3)若点A在第一象限,证明:当k>0时,恒有[分析](1)由点P满足的条件列列出等式,化简可得C的方程;(2)由这这是解题题的突破口;(3)证明的关键是是写出再再结结合题的条件件即可求证.[解](1)设P(x,y),由椭圆定义可可知,点P的轨迹C是以为焦点,长半轴为2的椭圆.它的短半轴故曲线C的方程为x2+类型三 向量量在物理中的的应用解题准备:用向量知识研研究物理问题题的基本思想想和方法是:(1)认真分析物理理现象,深刻把握物理理量之间的相相互关系;(2)通过抽象､概括,把物理现象转转化为与之相相关的向量问问题;(3)利用向量知识识解决这个向向量问题,并获得这个向向量的解;(4)利用这个结果果,对原物理现象象作出合理解解释.即用向量知识识圆满解决物物理问题.【典例3】一条河的两岸岸平行,河宽为dkm,一艘船从A处出发航行到到对岸,已知船航行的的速度为|v1|km/h,水流速度为|v2|km/h.要使船抵达B的上游C处且BC=dkm,若取|v1|=10,|v2|=4,d=2,则用时多少?[解]作出位移平行行四边形AGCF,如图所示,则CF=AG=|tv2|,在Rt△ABF中,d2+(d+t|v2|)2=t2|v1|2,即(|v1|2-|v2|2)t2-2d|v2|t-2d2=0,把d=2,|v1|=10,|v2|=4代入上式,得84t2-16t-8=0,解得t≈0.418(h).类型四 向量量在三角形中中的应用解题准备:平面向量与解解三角形的综综合题是高考考中的一个热热点.其解题的基本本思路是:(1)在这些问题中中,平面向量实际际上主要呈现现为叙述问题题的一种语言言或者工具,其考查要求并并不高,解题时要综合合利用平面向向量的几何意意义等将题中中的条件翻译译成简单的数数学问题.(2)在解题时,既要考虑三角角形中的边角角关系性质的的应用;又要考虑向量量的工具性作作用,如利用向量的的模与数量积积转化边长与与夹角问题;还要注意三角角形中边角的的向量关系式式的表示形式式.[反思感悟]三角形的三边边可与三个向向量对应,这样就可以利利用向量的知知识来解三角角形了,解决此类问题题要注意内角角与向量的夹夹角之间的联联系与区别,还要注意向量量的数量积与与三角形面积积公式之间关关系的应用.类型五 向量量在函数不等等式中的应用用解题准备:借助向量的坐坐标表示,将已知条件实实数化并转化化为函数问题题,利用函数的性性质解之.向量主要是通通过模与不等等式联系起来来,常用的工具有有均值不等式式及|a·b|≤|a|·|b|.【典例5】设0<|a|≤≤2且函数f(x)=cos2x-|a|sinx-|b|的最大值为0,最小值为-4,且a与b的夹角为45°,求|a+b|.[分析]由于已知<a,b>=45°,故可求出|a|、|b|后再求|a+b|.[反思感悟]由于已知f(x)的最值,故可结合二次次函数的最值值确定|a|与|b|的大小,再结合<a,b>=45°,可求出|a+b|.本题充分体现现了函数与不不等式思想在在向量中的应应用.错源一 错误误地认为|a•b|=|a||b|【典例1】已知向量a,b,试比较|a•b|与|a||b|的大小.[错解]|a•b|=|a||b|.[剖析]设向量a与b的夹角为θ.则a•b=|a||b|cosθ.(1)当a⊥b时,θ=90°°,a•b=0,所以|a•b|=0,但|a||b|>0,故有|a•b|<|a||b|;(2)当a与b同向或反向时时,cos0°°=1,cos180°°=-1,有|a•b|=|a||b|;(3)当夹角θ为锐角或钝角角时,|a•b|=||a||b|cosθ|,|cosθ|<1,故有|a•b|<|a||b|.[正解]综合上述可知知,|a•b|≤|a||b|.错源二“共线”运用出错【典例2】如图,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同同于A,B的任意一点,若P为半径C上的动点,则的的最小小值是________.[剖析]本题的错误在在于忽视向量量的方向,导致了计算上上的失误.向量虽虽然共共线,但其方向相反反,所以向量运算算时,一定要看清方方向.技法一 整体体思想[解题切入点]解答本题的关关键是要结合合图形,利用向量的三三角形法则找找出向量之间间的关系;或建立适当的的坐标系,利用向量的坐坐标形式来解解答.[解]以直角顶点A为坐标原点,两直角边