《走向清华北大》高考总复习 同角三角函数的基本关系课件

第十七讲同角三角函数的基本关系式及诱导公式回归课本1.同角三角函数基本关系式平方关系:sin2α+cos2α=1;商数关系:tanα=2.α相关角的表示(1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α;(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角可以表示为-α(或2π-α);(3)终边与角α的终边关于y轴对称的角可以表示为π-α;(4)终边与角α的终边关于直线y=x对称的角可以表示为-α.3.诱导公式(1)公式一sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα,tan(α+k·2π)=tanα,其中k∈Z.(2)公式二sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.(3)公式三sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.(4)公式四sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.(5)公式五(6)公式六即α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号;

±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇､偶”是指“k·±α(k∈Z)”中k的奇偶性;“符号”是把任意角α看作锐角时原函数值的符号.考点陪练1.(2010·全国Ⅰ)cos300°=()解析:cos300°=cos(360°-60°°)=cos60°=,故选C.答案:C答案:A答案:B4.点P(tan2008°,cos2008°)位于()A.第二象限B.第一象限C.第四象限D.第三象限解析:∵2008°=6×360°-152°,∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0,cos2008°=cos152°°<0,∴点P在第四象限.答案:C答案:B类型一利利用同角三角角函数基本关关系式化简求求值解题准备:本考点的试题题难度不大,而对公式的应应用要求准确确､灵活,尤其是利用平平方关系sin2α+cos2α=1及其变形形式式sin2α=1-cos2α或cos2α=1-sin2α进行开方运算算时,特别注意符号号的判断.如果所给的三三角函数值是是字母给出的的,且没有指定角角在哪个象限,那么就需要结结合分类讨论论的思想来确确定其他角的的三角函数值值.【典例1】(1)已知sinα=,且α为第二象限角角,求tanα;(2)已知sinα=,求tanα;(3)已知sinα=m(m≠0,m≠±1),求tanα.(3)∵sinα=m(m≠0,m≠±1),∴cosα=±=±(当α为第一､四象限角时取取正号,当α为第二､三象限角时取取负号),所以当α为第一､四象限角时,tanα=;当α为第二､三象限角时,tanα=[反思感悟]本例属同角三三角函数关系系式的基本题题,关键是掌握住住“先平方,后作商”的原则,先求与sinα的平方关系相相联系的cosα,再由公式求tanα.在(3)中,α为第四象限角角,但tanα=,原因是m此时小于0,所以形式上tanα的表达式前面面仍不带负号号.类型二 诱导导公式及其应应用解题准备:诱导公式起着着变名､变角､变号的作用,应用诱导公式式,着眼点应放在在“角”上,重点是“函数名称”和“正负号”的判断.求任意角的三三角函数值问问题,都可以利用诱诱导公式最终终化为锐角三三角函数的求求值问题,具体步骤是:“化负为正—化大为小—锐角求值”.[分析]显然应用到诱诱导公式,既可以直接从从诱导公式中中合理选用,也可以直接运运用十字诀,一般来说用后后一方法记忆忆负担较轻.(3)∵-1860°=-21×90°+30°,∴f(-1860°)=-cos(-1860°)=-cos(-21×90°+30°)=-sin30°=.[反思感悟]如何运用十字字诀,可通过下例来来体会:设β=α-且α为锐角,则如图所示,可知β可看成是第二二象限角,而在第二象限限中余弦取负负号,且k=-3为奇数.∴cosβ=cos(-3•+α)=-sinα.类型三sinα±cosα与sinα·cosα关系的应用解题准备:利用sin2α+cos2α=1,可以得出如下下结论:(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα;(sinα+cosα)2+(sinαα-cosαα)2=2;(sinα+cosα)2-(sinαα-cosαα)2=4sinααcosα.对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个个式子的值,可求其余二式式的值.【典例3】已知sinx+cosx=,求下列各式的的值:(1)sin3x+cos3x;(2)sin4x+cos4x;(3)tan2x+cot2x.[反思感悟]平方关系sin2x+cos2x=1把sinx+cosx,sinxcosx联系起来,要灵活运用它它们之间的变变换,熟记立方和公公式及和的立立方公式.类型四关关于sinα与cosα的二次齐次式式的求值问题题解题准备:这类已知某个个三角函数值值,求其余三角函函数值的问题题的常规思路路是:利用同角间的的三角函数关关系,求出其余三角角函数值,这就需要根据据m的取值符号,确定α角所在的象限限,再对它进行讨讨论.这样计算相当当繁琐,而在这里灵活活地运用“1”的代换,将所求值的式式子的分子､分母同除以cosnα,用tannα表示出来,从而简化了解解题过程,我们应熟练掌掌握这种解法法.更主要的是由由此进一步领领悟具体问题题具体分析的的辩证思想方方法.[反思感悟]形如asinα+bcosαα和asin2α+bsinαcosαα+ccos2α的式子分别称称为关于sinα､cosα的一次齐次式式和二次齐次次式,对涉及它们的的三角式的变变换常有如上上的整体代入入方法可供使使用.错源一忽忽视隐含的平平方关系,扩大解的范围围而致错A.m∈[3,9]B.m∈(-∞,5)∪∪[3,+∞∞)C.m=0,或m=8D.m=8[错解]由已知有解得m<-5或m≥3,选B.[剖析]条件给出了含含有参数的正正余弦的函数数值,而参数值要受受到正余弦的的平方关系“sin2θ+cos2θ=1”的限制,而上述解法就就忽视了这个个制约关系,以致扩大了解解的范围而错错.[答案]D[评析]如果在题设条条件中出现了了正余弦,则要注意利用用它们之间的的平方关系.错源二 忽视视角的范围,造成多解而致致错[评析]解答关于含有有“sinθ±cosθ,sinθcosθ”的问题时,一般都要利用用平方关系sin2θ+cos2θ=1,但必须注意对对所求得的结结果进行检验验,否则会造成多多解.技法一 整体体换元【典例1】已知sinα+3cosα=2,求的的值.技法二 快速速解法(求根法)【典例2】已知θ∈(0,ππ),且sinθ,cosθ是方程25x2-5x-12=0的两个根,求sin3θ+cos3θ和tanθ-cotθ的值.[解题切入点]由根与系数的的关系入手,sinθ+cosθ=,sinθcosθθ=,将sin3θ+cos3θ与tanθ-cotθ用sinθ+cosθ,sinθcosθ表示.[分析思维过程程]欲求sin3θ+cos3θ的值需先分解解因式,出现sinθ+cosθ和sinθcosθ的形式后,即可代入和和求求出值来.而tanθ-cotθ化为正弦、余余弦之比后,同样可求出值值来.[方法与技巧]由题目的形式式得知,很明确要利用用根与系数的的关系,将所求式表示示成sinθ+cosθ､sinθcosθ的形式,求tanθ-cotθ时,必须化为“弦”,否则用不上已已求得的值.由于sinθ,cosθ是方程的根,一般地,很自然的想到到根与系数的的关系.其实此题直接接求出两根更更简单.[得分主要步骤骤]只要求出两根根的和与积,分解因式后代代