《走向清华北大》高考总复习 三角函数的性质课件

第二十一讲三角函数的性质回归课本1.正､余弦曲线的定义正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.2.周期函数对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.正弦函数､余弦函数都是周期函数,2kπ,k∈Z都是它们的周期,最小正周期是2π.3.正弦函数､余弦函数的图象和性质如下表4.y=tanx的性质(1)定义域是{x|x≠kπ+,k∈Z}.(2)值域是R,即正切函数既无最大值,也无最小值.(3)周期性:正切函数是周期函数,最小正周期是π.(4)奇偶性:正切函数是奇函数.(5)单调性:正切函数在开区间k∈Z内都是增函数.(6)对称性:正切函数的图象关于原点对称,正切曲线是中心对称图形,其对称中心坐标是

(k∈Z).正切函数无对称轴.5.y=tanx(x≠kπ+k∈Z)的图象考点陪练1.函数的的定义义域是()A.{x|2kπ-≤≤x≤2kπ+,k∈Z}B.{x|2kπ≤≤x≤2kπ+,k∈Z}C.{x|2kπ-≤x≤2kπ,k∈∈Z}D.x∈R答案:D2.若的的最最小正周期期为T,且T∈(1,3),则正整数ω的最大值是是()A.5B.6C.7 D.8答案:B答案:C答案:C5.函数x∈R是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数数又是偶函函数D.非奇非偶函函数答案:B类型一三三角函数的的定义域解题准备:求函数定义义域的题型型,关键是求使使式子有意意义的x的取值范围围,将问题转化化为解不等等式,此题是解三三角不等式式,常用的方法法有:①利用单位圆圆中的三角角函数线;②利用三角函函数的图象象;③利用函数单单调性,一定要与相相应三角函函数的周期期联系起来来.[分析]先写出使函函数有意义义的不等式式或不等式式组,再利用三角角函数图象象或单位圆圆求解集.[反思感悟]①求三角函数数的定义域域,既要注意一一般函数的的定义域的的规律,又要注意三三角函数本本身的特有有属性,如题中出现现tanx,则一定有x≠kπ+,k∈Z.②求三角函数数的定义域域通常使用用三角函数数线､三角函数图图象或单位位圆.类型二三三角函数的的值域及最最值问题解题准备:三角函数的的值域及最最值问题,实质上大多多是含有三三角函数的的复合函数数的值域问问题,常用的方法法有:化为代数函函数的值域域或化为关关于sinx(或cosx)的二次函数数式,再利用换元元､配方等方法法求解.【典例2】求下列函数数的值域:(1)y=2cos2x+2cosx;(2)y=3cosx-sinx;(3)y=sinx+cosx+sinxcosx.[分析]先将原函数数式进行等等价变形,利用|sinx|≤1,|cosx|≤1,但要注意自自变量的[反思感悟](1)将原函数式式化为y=Asin(ωx+φ)+B,y=Acos(ωx+φ)+B型或化为关关于sinx(或cosx)的二次函数数式,利用换元法法进行配方方可解决问问题.(2)关于y=acos2x+bcosx+c,a≠0(或y=asin2x+bsinx+c,a≠0)型或可化为为此型的函函数求值域域,一般可化为为二次函数数在闭区间间上的值域域问题,切忌忽视函函数的定义义域.(3)换元法,旨在三角问问题代数化化,要防止破坏坏等价性.类型三三三角函数的的单调性解题准备:与三角函数数单调性有有关的问题题1.单调区间的的求法函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间间的确定,基本思想是是把ωx+φ看作一个整整体,比如:由2kπ-≤≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)解出x的范围,所得区间即即为增区间间,由2kπ+≤ωx+φφ≤2kππ+ππ(k∈Z)解出x的范围,所得区间即即为减区间间.2.如何比较两两个三角函函数值的大大小比较三角函函数值的大大小,往往是利用用奇偶性或或周期性转转化为同一一单调区间间上的两个个同名函数数值,再利用单调调性比较.[反思感悟](1)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的函数的单单调区间,可以通过解解不等式的的方法去解解答,列不等式的的原则是:①把“ωx+φ(ω>0)”视为一个“整体”;②A>0(A<0)时,所列不等式式的方向与与y=sinx(x∈R)､y=cosx(x∈R)的单调区间间对应的不不等式方向向相同(反).(2)对于f(v),v=φ(x),其单调性的判定方法是:若y=f(v)和v=φ(x)同为增(减)函数时,y=f(φ(x))为增函数;若y=f(v)和v=φ(x)一增一减时,y=f(φ(x))为减函数.类型四三三角函数的的奇偶性解题准备:1.当φ=kπ时,y=Asin(ωωx+φ),y=Acos(ωx+φφ)(A,ω≠0)分别为奇函函数和偶函函数(k∈Z).2.当φ=kπ+时,y=Asin(ωωx+φ),y=Acos3.函数的定义义域关于原原点对称是是函数具有有奇偶性的的前提条件件,因此在判断断函数奇偶偶性时,应首先判断断函数定义义域的对称称性.4.当函数定义义域关于原原点对称时时,只需分析f(-x)与f(x)的关系即可可.【典例4】判断下列函函数的奇偶偶性(1)f(x)=|sinx|+cosx(2)y=lg(sinx+)[分析]先确定定义义域,再用函数奇奇偶性的定定义.[解](1)f(x)的定义域为为R,f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sinx|+cosx=f(x),故此函数是是偶函数.[反思感悟]判断函数奇奇偶性时应应注意“定定义域关于于原点对称称是函数为为奇函数或或偶函数的的必要条件件”的应用用.确定定义域域是研究函函数问题的的前提,因此解函数数问题的步步骤是:①先研究函数数的定义域域.②再用相关定定义加以判判断.类型五三三角函数的的周期解题准备:三角函数周周期的求法法有三种:(1)定义法:即直接利用用周期函数数的定义求求周期;(2)公式法:三角函数y=sinx,y=cosx和y=tanx的周期分别别为2π､2ππ和π.函数y=Asin(ωx+φ)的周期函函数y=Acos(ωx+φ)的周期为函函数y=Atan(ωx+φ)的周期为(A,ω,φ为常数,A≠0);(3)转化法:对于较为复复杂的三角角函数,可通过恒等等变形转化化为y=Asin(ωx+φ)+k,y=Acos(ωx+φ)+k,y=Atan(ωx+φφ)+k的类型,再利用公式式法求得.[反思感悟]求三角函数数最小正周周期的基本本方法有两两种:一是将所给给函数化为为y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的形式;二是利用图图象的基本本特征求.错源一没没注意三角角函数的有有界性出错错【典例1】求函数y=-3sin2x+9sinx+的最大值.[错解]配方得,故函数的最最大值是ymax=8.[剖析]上述解法的的错误在于于把题中函函数与通常常的二次函函数等同起起来了,它们虽有相相似之处但但也有严格格的区分.忽视了-1≤sinx≤1的隐含条件件.[正解]事实上,二次函数在在t∈[-1,1]上递增.故原函数当当sinx=1时取最大值值,即ymax=[评析]正､余弦的值域域是固定在在某一个确确定的范围围内,在解三角题题时,一定要深入入挖掘条件件中由正､余弦函数有有界性产生生的隐含因因素,否则就会扩扩大解集,造成解题的的失误.错源二确确定单调性性时不注意意复合规律律而致错【典例2】求函数的的单调递增增区间.[剖析]上述解法忽忽视了复合合函数单调调性的复合合规律.因为构成原原函数的内内层函数在在(x∈R)上为减函数数,因此所求函函数的单调调递增区间间为外层函函数y=cosu的减区间.错源三确定定函数的周周期时不注注意体现最最小而致错错【典例3】求y=|sinx|+|cosx|的周期.[错解]设f(x)=|sinx|+|cosx|,因为f(x+π)=|sin(x+π)|+|cos(x+π)|=|sinx|+|cosx|=f(x),所以f(x)最小正周周期为π.[剖析]三角函数数周期是是指最小小正周期期,而上述解解法没有有体现出出所求周周期为最最小正周周期.[正解]因为y=|sinx|+|cosx|>0,所以函数数y的周期与与函数y2=1+|sin2x|的周期相相同,而y2=1+|sin2x|的周期为为所所以函函数y=|sinx|+|cosx|的周期为为[评析]求三角函函数的最最小正周周期主要要有三种种方法:一是根据据定义,但要注意意体现最最小;二是利用用三角函函数的图图象;三是公式式法,即函数y=Asin(ωx+φ)+B,y=Acos(ωx+φ)+B,y=Atan(ωx+φ)+B(ωω≠0)的最小正正周期分分别为错源四利利用正切切函数图图象求解解方程根根作图有有误而致致错[剖析]产生错解解的原因因是对y=sinx与y=tanx的图象的的性质认认识不清清.[答案]A技法求求函数周周期的若若干策略略一､数形结合合当一个函函数的周周期不容容易求得得时,画出它的的图象是是行之有有效的好好方法.【典例1】已知函数数指指出函函数的最最小正周周期.显然函数数的最小小正周期期为T=2ππ.二､转化与化化归形如“y=tanx+cotx”、“y=tanx-cotx”类型的正正切函数数可以通通过化简简转换成成单一函函数名称称的三角角函数,然后再求求周期.【典例2】求函数y=tanx+c