第一章 解直角三角形复习 1-

解直角三角形

（复习课）

三边之间的关系a2＋b2＝c2（勾股定理）；锐角之间的关系∠A＋∠B＝90º边角之间的关系（锐角三角函数）tanA=absinA=ac1、12在△ABC中，S△ABC=absinα2、cosA＝bcＡＣＢabc解直角三角形的依据是a，b的夹角tanαcosαsinα60°45°30°角度三角函数锐角三角函数(复习)三、特殊角三角函数值1角度逐渐增大正弦值如何变化?正弦值也增大余弦值如何变化?余弦值逐渐减小正切值如何变化?正切值也随之增大思考锐角A的正弦值、余弦值有无变化范围？0<sinA<10<cosA<1锐角三角函数(复习)☆

应用练习1.已知角，求值求锐角A的值2.已知值，求角1.已知tanA=，求锐角A.∠A=60°锐角三角函数(复习)☆

应用练习1.已知角，求值2.已知值，求角3.确定值的范围当∠A为锐角，且cosA=那么（）4.确定角的范围(A)0°＜∠A＜30°(B)30°＜∠A≤45°(C)45°＜∠A≤60°(D)60°＜∠A＜90°

确定角的范围DsinA=cos（90°-A）=cosBcosA=sin（90°-A）=sinBcABCba同角的正

弦余弦与正切和余切之间的关系互余两个角的三角函数关系同角的正弦余弦平方和等于1同角的正切余切互为倒数练习2二、几个重要关系式锐角三角函数(复习)tanA·tanB=1sin2A+cos2A=1⑴已知:Rt△ABC中，∠C=90°∠A为锐角，且tanA=0.6，tanB=().⑵sin2A+tanAtanB-2+cos2A=(

)0⑶tan44°tan46°=().1(4)tan29°tan60°tan61°=().(5)sin53°cos37°+cos53°sin37°=（）1tanA=同角公式余角公式锐角三角函数(复习)☆

应用练习1.已知角，求值确定值的范围2.已知值，求角1.在Rt△ABC中∠C=90°，当锐角A>45°时，sinA的值（）(A)0＜sinA＜(B)＜sinA＜1(C)0＜sinA＜(D)＜sinA＜13.确定值的范围B(A)0＜cosA＜(B)＜cosA＜1(C)0＜cosA＜(D)＜cosA＜12.当锐角A>30°时，cosA的值（）C做一做（1）计算：

sin60°·cot30°+cos²45°=（2）如果tanA·tan60°=1,A=_________。

课后练习3.已A是锐角且tanA=3,则2.若tan(β+20°）=β为锐角则β=________在Rt△ABC中，∠C=90°cosB=,则sinB的值为_______40°

5、已知锐角A的顶点在原点,始边为X轴的正半轴,终边经过点(3,4),则sinA=,cosA=,tanA=.

当堂训练二1，在Rt△ABC中，如果各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值（）A，都不变B，都扩大2倍C，都缩小2倍D，不确定。√222，在△ABC中，若sinA=,tanB=√3，则∠C=4，如果α和β都是锐角，且sinα=cosβ，则α与β的关系是（）A，相等B，互余C，互补D，不确定。5，已知在Rt△ABC中,∠C=90°，sinA=,则cosB=()12√32√2221√3A，B，C，D，A75°BA

思考在Rt△ABC中，∠C=90°斜边AB=2，直角边AC=1，∠ABC=30°,延长CB到D，连接AD使∠D=15°求tan15°的值。DACB坡度i与坡角α之间具有什么关系？

一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；______，坡角α______度．创设情景：

同学们，如果你是加固水库大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，AD23BCi=1:2.5i=1:3则斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？(精确到0.1m)．4、仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角5、方向角如图：点A在O的北偏东30°点B在点O的南偏西45°（西南方向）30°45°BOA东西北南sin160=sin16°′″0.275635355=按键的顺序tanA=2(A为锐角）tan-12=63.43494882解直角三角形

（复习课）

2．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）如图是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB的中点N的最短路线是（）若sin28°=cosα，则α=____如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是________厘米．

1在下列直角三角形中，不能解的是（）

A已知一直角边和所对的角B已知两个锐角

C已知斜边和一个锐角D已知两直角边2在△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解这个直角三角形。(6)∠A=300，斜边上的高CD=,则AB=

；B(2)若∠A=300，b=10,则a=

,c=

;(5)若sinA=，c=x+2,a=x,则b=

cosA=

;7、已知cosA=0.6,求sinA,tanA.真知在实践中诞生3.图中的螺旋形由一系列直角三角形组成.每个三角形都以点O为一顶点.(1)求∠A0OA1,∠A1OA2,∠A2OA3,的大小.(2)已知∠An-1OAn,是一个小于200的角,求n的值.探究活动：同角之间的三角函数关系:sin2A+cos2A=1.探索下列关系式是否成立（00〈α〈900）？（1）sinα+cos

α≤1（2）sin2α=2sinα（3）当00〈α〈β〈900时，0〈sinα〈sinβ〈1如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？22．如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C处架桥．经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）1、本节例题学习以后，我们可以得到解直角三角形的两种基本图形：小结：AABBCCDD当堂训练二解（2）：设点E、F是以A为圆心，150km为半径的圆与BM的交点，由题意得：∴CE=AE2–AC2=90√∴EF=2CE=2x90=180∴A城受到沙尘暴影响的时间为180÷12=15小时答：A城将受到这次沙尘暴影响，影响的时间为15小时。３，由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正南方向240km的B处，以每小时12km的速度向北偏东30°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域。（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？（2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？EFABCM24030°当堂训练二解（2）：设点E、F是以A为圆心，150km为半径的圆与BM的交点，由题意得：∴CE=AE2–AC2=90√∴EF=2CE=2x90=180∴A城受到沙尘暴影响的时间为180÷12=15小时答：A城将受到这次沙尘暴影响，影响的时间为15小时。３，由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正南方向240km的B处，以每小时12km的速度向北偏东30°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域。（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？（2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？EFABCM24030°10.如图,为了测量山坡的护坡石坝与地面的倾斜角α,把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁,量出竹竿长1m处，它离地面的高度为0.6m,又量得竿顶与坝脚的距离BC=2.8m.这样∠α求就可以算出来了.请你算一算.(2006新疆）如图，是某市幸福大道上一座人行天桥示意图，天桥的高CO为6米，坡道倾斜角∠CBO=45°，在距B点5米处有一建筑物DE.为了更加方便行人上、下天桥，市政部门决定减少坡道的倾斜角，但离新坡角A处要留出不少于3米宽的人行道。（1）若将坡道倾斜角改建为30°（∠CAO=30°），那么建筑物DE是否会被拆除？为什么？（2）若改建坡道后，使人行道的宽恰好为3米，又不拆除建筑物DE，那么坡道的倾斜角应为多少度（精确到1度）？建筑物CABDEO（2006辽宁）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°

，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°

，已知OA=100米，山坡坡度为，（即tan∠PAB=）且O、A、B在同一条直线上。求电视塔OC的高度以及所在位置点P的铅直高度.（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）AB水平地面CO山坡60°45°PE例：（2006天津）如图，在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角为60°，铁塔底部B的仰角为45°。已知塔高AB＝20m，观察点E到地面的距离EF＝35cm，求小山BD的高（精确到0.1m,≈1.732）。练习：（2006苏州）如图，在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，高为AB．当太阳光与水平线成500时．测得该树在斜坡上的树影BC的长为7m,求树高．(精确到0.1m)24．（附加题10分）如图所示，学校在楼顶平台上安装地面接收设备，为了防雷击，在离接收设备3米远的地方安装避雷针，接收设备必须在避雷针顶点45°夹角范围内，才能有效避免雷击（α≤45°），已知接收设备高80厘米，那么避雷针至少应安装多高？如图,某货船以20海里/时的速度将一批重要物资有A处运往正西方向的B处,经16小时的航行到达,到达后必须立即卸货.此时,接到气象部门通知,一台风正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动.距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.(1)问:B处是否受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的影响,该船应在多少小时内卸完货物?ABC北60°

3、在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°

∠ADC＝45°，AD=2,求BD的长。变式：在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°

∠ADC＝45°，BD=2,求AD的长。

3、在△ABC中，∠ACB=90°∠ABC=30°

∠ADC＝45°，AD=2,求BD的长。变式：在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°

∠ADC＝45°，BD=2,求AD的长。例题赏析例6如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚方向，航行24海里到C处，见岛A在北偏西30˚方向，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？ABDCNN130˚60˚解过点A作AD⊥BC于D,设AD=x∵∠NBA=60˚，∠N1BA=30˚，∴

∠ABC=30˚，∠ACD=６0˚，在Rt△ADC中，CD=AD•ctg∠ACD=x•ctg60˚,

在Rt△ADB中，BD=AD•ctg30˚=x•ctg30˚,∵BD-CD=BC,BC=24∴

x•ctg30˚-x•ctg60˚=24

=123√∴

x=24ctg30˚-ctg60˚>20答：货轮无触礁危险。3、在△ABC中，∠C=900，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若ABNCDM4、一艘船由A港沿北偏东600方向航行10km至B港，然后再沿北偏西300方向10km方向至C港，求(1)A,C两港之间的距离(结果精确到0.1km);(2)确定C港在A港什么方向.例题赏析一架25米长的梯子斜靠在墙上，梯子的底部离墙脚7米，如果梯子的顶部滑下4米，梯子的底部滑开多远？例1解如图，根据题意知AB=25，BE=7，AC=4在Rt△ABE中，AE2=AB2-BE2在Rt△CDE中，DE2=CD2-CE2AE=√252-72=24DE=√252–202=15所以BD=DE–BE=15–7=8（米）ADCBE答：梯子的底部滑开8米例题赏析例2如图，AB=3,BC=12,CD=13,AD=4,∠BAD=90°求四边形ABCD的面积。DCBA解在Rt△ABD中，连结BD，BD=√3²+4²=5又BD²+BC²=5²+12²=169,DC²=13²=169，即BD²+BC²=DC²，所以△BCD是直角三角形所以S四边形ABCD=×3×4+×5×12=361212当堂训练一1，以下列数据为三角形的边长，则不能构成直角三角形的一组是（）A，3，4，5，B，5，12，13，C，6，8，10D，7，8，93，如果直角三角形的两条直角边之和为7，斜边长为5，则三角形的面积是

。2，如果直角三角形的两条边长为3厘米、4厘米，则其周长是

。4，如图，有一张藏宝图，根据图中的数据，起点A与宝藏B的直线距离是（）A，9B，10C，11D,12AB4226121D12厘米或（7+√7）厘米6B当堂训练一5，如图，图中直角三角形的两条直角边的长分别是6和8，则图中半圆R的面积是（）PRQA,10Л

B,25

Л

C,12.5Л

D,100Л6,池塘里一枝荷花高出水面20厘米，一阵劲风吹来，荷花从根部向一边倾斜，顶端与水面平齐，如图，已知荷花被风吹动的水平距离是60厘米，求池塘中水的深度。（80厘米）C巩固练习一2，如图，房屋的人字架为等腰三角形，中拄BC=米，∠A=30度，求跨度AD的长。4√33CDBA例题赏析例4如图学校里有一块三角形形状的花圃ABC,现测得∠A=30°,AC=40m,BC=25m,请你帮助计算一下这块花圃的面积?ACBD过点C作CD⊥AB于D在Rt△ADC中，∠A=30°,AC=40,∴CD=20,AD=AC•cos30°=203√在Rt△CDB中，CD=20,CB=25,∴DB=CB2–CD2=15√∴S△ABC=AB•CD=(AD+DB)•CD1212

(2003+150)(m2)√答，这块花圃的面积为=(2003+150)(m2)√解当堂训练二ACBi=1︰27、如图为了测量小河的宽度，在河的岸边选择B、C两点，在对岸选择一个目标点A，测得∠BAC=75°,∠ACB=45°;BC=48m,

求河宽米ABCD6、植树节，某班同学决定去坡度为1︰2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6m，斜坡上相邻两树间的坡面距离为m.3√572-24√3当堂训练二解（2）：设点E、F是以A为圆心，150km为半径的圆与BM的交点，由题意得：∴CE=AE2–AC2=90√∴EF=2CE=2x90=180∴A城受到沙尘暴影响的时间为180÷12=15小时答：A城将受到这次沙尘暴影响，影响的时间为15小时。３，由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正南方向240km的B处，以每小时12km的速度向北偏东30°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域。（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？（2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？EFABCM24030°３，由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正南方向240km的B处，以每小时12km的速度向北偏东30°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域。（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？（2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？当堂训练二解（1）：过A作AC⊥BM,垂足为C,在Rt△ABC中，∠B=30°,

∴AC=AB=x240=1201212∵AC=120<150∴A城受到沙尘暴影响CABM30°24010.如图,为了测量山坡的护坡石坝与地面的倾斜角α,把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁,量出竹竿长1m处，它离地面的高度为0.6m,又量得竿顶与坝脚的距离BC=2.8m.这样∠α求就可以算出来了.请你算一算.补充1.一艘轮船在Ａ处观测到东北方向有一小岛Ｃ，已知小岛Ｃ周围４.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处,在B处测得小岛C在北偏东60°方向,这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行,这艘渔船是否有进入养殖场的危险?(2006新疆）如图，是某市幸福大道上一座人行天桥示意图，天桥的高CO为6米，坡道倾斜角∠CBO