第7讲 时间序列分析

第7讲时间序列分析与灰色系统华中农业大学教材说明

以下内容均在《数学建模与数学实验（第二版）》（汪晓银，周保平主编，科学出版社）第2章。

7.1时间序列数据的预处理7.2平稳时间序列分析7.3非平稳时间序列分析7.4灰色系统预测概率分布的意义随机变量族的统计特性完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定时间序列概率分布族的定义几个重要数字特征：均值、方差、自协方差、自相关系数7.1时间序列数据的预处理特征统计量均值方差自协方差自相关系数7.1时间序列数据的预处理平稳时间序列的定义

宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证序列的主要性质近似稳定。

满足如下条件的序列称为宽平稳序列7.1时间序列数据的预处理常数均值和方差自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移长度，而与时间的起止点无关延迟k自协方差函数延迟k自相关系数平稳时间序列的统计性质7.1时间序列数据的预处理平稳时间序列的意义时间序列数据结构的特殊性可列多个随机变量，而每个变量只有一个样本观察值平稳性的重大意义极大地减少了随机变量的个数，并增加了待估变量的样本容量极大地简化了时序分析的难度，同时也提高了对特征统计量的估计精度7.1时间序列数据的预处理平稳性的检验（图检验方法）时序图检验

根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征。自相关图检验平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零。7.1时间序列数据的预处理例1检验1964年——1999年中国纱年产量序列的平稳性例2检验1962年1月——1975年12月平均每头奶牛月产奶量序列的平稳性例3检验1949年——1998年北京市每年最高气温序列的平稳性平稳性检验7.1时间序列数据的预处理dataa;inputsha@@;year=_n_;dif=dif(sha);cards;97130156.5135.2137.7180.5205.2190188.6196.7180.3210.8196223238.2263.5292.6317335.4327321.9353.5397.8436.8465.7476.7462.6460.8501.8501.5489.5542.3512.2559.8542567;procgplot;plotsha*year=1dif*year=2;symbol1v=circlei=joinc=black;symbol2v=stari=joinc=red;procarimadata=a;identifyvar=shanlag=22;run;7.1时间序列数据的预处理例1平稳性检验7.1时间序列数据的预处理平稳性检验7.1时间序列数据的预处理平稳性检验7.1时间序列数据的预处理例2自相关图7.1时间序列数据的预处理例3时序图7.1时间序列数据的预处理例3自相关图7.1时间序列数据的预处理纯随机性检验纯随机序列的定义纯随机性的性质纯随机性检验7.1时间序列数据的预处理纯随机序列的定义纯随机序列也称为白噪声序列，它满足如下两条性质7.1时间序列数据的预处理标准正态白噪声序列时序图7.1时间序列数据的预处理白噪声序列的性质

纯随机性

各序列值之间没有任何相关关系，即为“没有记忆”的序列方差齐性根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，用最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、有效的线性无偏估计7.1时间序列数据的预处理纯随机性检验检验原理假设条件检验统计量判别原则7.1时间序列数据的预处理Barlett定理如果一个时间序列是纯随机的，得到一个观察期数为的观察序列，那么该序列的延迟非零期的样本自相关系数将近似服从均值为零，方差为序列观察期数倒数的正态分布7.1时间序列数据的预处理假设条件原假设：延迟期数小于或等于期的序列值之间相互独立备择假设：延迟期数小于或等于期的序列值之间有相关性7.1时间序列数据的预处理检验统计量Q统计量LB统计量7.1时间序列数据的预处理判别原则拒绝原假设当检验统计量大于分位点，或该统计量的P值小于时，则可以以的置信水平拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列接受原假设当检验统计量小于分位点，或该统计量的P值大于时，则认为在的置信水平下无法拒绝原假设，即不能显著拒绝序列为纯随机序列的假定7.1时间序列数据的预处理样本自相关图例4

随机生成的100个服从标准正态的白噪声序列纯随机性检验7.1时间序列数据的预处理检验结果延迟统计量检验统计量值P值延迟6期2.360.8838延迟12期5.350.9454由于P值显著大于显著性水平，所以该序列不能拒绝纯随机的原假设。7.1时间序列数据的预处理方法性工具差分运算延迟算子线性差分方程一阶差分阶差分步差分7.2平稳时间序列分析延迟算子延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻记B为延迟算子，有7.2平稳时间序列分析延迟算子的性质7.2平稳时间序列分析AR模型的定义具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为特别当时，称为中心化模型7.2平稳时间序列分析AR(P)序列中心化变换称为的中心化序列，令7.2平稳时间序列分析自回归系数多项式引进延迟算子，中心化模型又可以简记为自回归系数多项式7.2平稳时间序列分析均值如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有根据平稳序列均值为常数，且为白噪声序列，有推导出7.2平稳时间序列分析AR模型自相关系数的性质拖尾性呈负指数衰减7.2平稳时间序列分析例5

考察如下AR模型的自相关图7.2平稳时间序列分析自相关系数按复指数单调收敛到零7.2平稳时间序列分析自相关系数正负相间的衰减7.2平稳时间序列分析自相关系数呈现出“伪周期”性7.2平稳时间序列分析自相关系数不规则衰减7.2平稳时间序列分析偏自相关系数定义对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后，对影响的相关度量。用数学语言描述就是7.2平稳时间序列分析偏自相关系数的截尾性AR(p)模型偏自相关系数P阶截尾7.2平稳时间序列分析例5续考察如下AR模型的偏自相关图7.2平稳时间序列分析理论偏自相关系数样本偏自相关图7.2平稳时间序列分析理论偏自相关系数样本偏自相关图7.2平稳时间序列分析理论偏自相关系数样本偏自相关图7.2平稳时间序列分析理论偏自相关系数样本偏自相关系数图7.2平稳时间序列分析MA模型的定义具有如下结构的模型称为阶移动平均模型，简记为特别当时，称为中心化模型7.2平稳时间序列分析移动平均系数多项式引进延迟算子，中心化模型又可以简记为阶移动平均系数多项式7.2平稳时间序列分析MA模型的统计性质常数均值常数方差7.2平稳时间序列分析MA模型的统计性质MA模型的偏自相关系数拖尾7.2平稳时间序列分析例6

考察如下MA模型的相关性质7.2平稳时间序列分析MA模型的自相关系数截尾7.2平稳时间序列分析MA模型的自相关系数截尾7.2平稳时间序列分析MA模型的偏自相关系数拖尾7.2平稳时间序列分析MA模型的偏自相关系数拖尾7.2平稳时间序列分析ARMA模型的定义具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为特别当时，称为中心化模型7.2平稳时间序列分析系数多项式引进延迟算子，中心化模型又可以简记为阶自回归系数多项式阶移动平均系数多项式7.2平稳时间序列分析ARMA(p,q)模型的统计性质均值协方差自相关系数7.2平稳时间序列分析ARMA模型的相关性自相关系数拖尾偏自相关系数拖尾7.2平稳时间序列分析例7

考察ARMA模型的相关性

拟合模型ARMA(1,1):并直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系数的性质。

7.2平稳时间序列分析自相关系数和偏自相关系数拖尾性样本自相关图样本偏自相关图7.2平稳时间序列分析ARMA模型相关性特征模型自相关系数偏自相关系数AR(P)拖尾P阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾7.2平稳时间序列分析平稳序列建模建模步骤模型识别参数估计模型检验模型优化序列预测7.2平稳时间序列分析建模步骤平稳非白噪声序列计算样本相关系数模型识别参数估计模型检验模型优化序列预测YN7.2平稳时间序列分析计算样本相关系数样本自相关系数样本偏自相关系数7.2平稳时间序列分析模型定阶的困难因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾的或仍会呈现出小值振荡的情况由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随着延迟阶数，与都会衰减至零值附近作小值波动当或在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，什么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作为相关系数在延迟若干阶之后正常衰减到零值附近作拖尾波动呢？7.2平稳时间序列分析样本相关系数的近似分布BarlettQuenouille7.2平稳时间序列分析模型定阶经验方法95％的置信区间模型定阶的经验方法如果样本(偏)自相关系数在最初的d阶明显大于两倍标准差范围，而后几乎95％的自相关系数都落在2倍标准差的范围以内，而且通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常突然。这时，通常视为(偏)自相关系数截尾。截尾阶数为d。7.2平稳时间序列分析例8

选择合适的模型ARMA拟合1950年—1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列。7.2平稳时间序列分析序列偏自相关图7.2平稳时间序列分析拟合模型识别自相关图显示延迟3阶之后，自相关系数全部衰减到2倍标准差范围内波动，这表明序列明显地短期相关。但序列由显著非零的相关系数衰减为小值波动的过程相当连续，相当缓慢，该自相关系数可视为不截尾偏自相关图显示除了延迟1阶的偏自相关系数显著大于2倍标准差之外，其它的偏自相关系数都在2倍标准差范围内作小值随机波动，而且由非零相关系数衰减为小值波动的过程非常突然，所以该偏自相关系数可视为一阶截尾所以可以考虑拟合模型为AR(1)7.2平稳时间序列分析例9

美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORT序列7.2平稳时间序列分析序列自相关图7.2平稳时间序列分析序列偏自相关图7.2平稳时间序列分析拟合模型识别自相关图显示除了延迟1阶的自相关系数在2倍标准差范围之外，其它阶数的自相关系数都在2倍标准差范围内波动。根据这个特点可以判断该序列具有短期相关性，进一步确定序列平稳。同时，可以认为该序列自相关系数1阶截尾偏自相关系数显示出典型非截尾的性质。综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，为拟合模型定阶为MA(1)7.2平稳时间序列分析例101880-1985年全球气表平均温度改变值差分序列7.2平稳时间序列分析序列自相关图7.2平稳时间序列分析序列偏自相关图7.2平稳时间序列分析拟合模型识别自相关系数显示出不截尾的性质偏自相关系数也显示出不截尾的性质综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，可以尝试使用ARMA(1,1)模型拟合该序列7.2平稳时间序列分析参数估计待估参数个未知参数常用估计方法矩估计极大似然估计最小二乘估计7.2平稳时间序列分析例8续确定1950年——1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的口径拟合模型：AR(1)估计方法：极大似然估计模型口径7.2平稳时间序列分析例9续确定美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORTS序列拟合模型的口径拟合模型：MA(1)估计方法：条件最小二乘估计模型口径7.2平稳时间序列分析例10续确定1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列拟合模型的口径拟合模型：ARMA(1,1)估计方法：条件最小二乘估计模型口径7.2平稳时间序列分析模型检验模型的显著性检验整个模型对信息的提取是否充分参数的显著性检验模型结构是否最简7.2平稳时间序列分析模型的显著性检验目的检验模型的有效性（对信息的提取是否充分）检验对象残差序列判定原则一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合模型不够有效.7.2平稳时间序列分析假设条件原假设：残差序列为白噪声序列备择假设：残差序列为非白噪声序列7.2平稳时间序列分析检验统计量LB统计量7.2平稳时间序列分析例8续检验1950年—1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的显著性残差白噪声序列检验结果延迟阶数LB统计量P值检验结论65.830.3229拟合模型显著有效1210.280.50501811.380.83617.2平稳时间序列分析参数显著性检验目的检验每一个未知参数是否显著非零。删除不显著参数使模型结构最精简假设条件检验统计量7.2平稳时间序列分析例8续检验1950年—1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列极大似然估计模型的参数是否显著参数检验结果检验参数t统计量P值结论均值46.12<0.0001显著6.72<0.0001显著7.2平稳时间序列分析模型优化问题提出当一个拟合模型通过了检验，说明在一定的置信水平下，该模型能有效地拟合观察值序列的波动，但这种有效模型并不是唯一的。优化的目的选择相对最优模型7.2平稳时间序列分析AIC准则最小信息量准则（AnInformationCriterion）指导思想似然函数值越大越好未知参数的个数越少越好AIC统计量7.2平稳时间序列分析SBC准则AIC准则的缺陷在样本容量趋于无穷大时，由AIC准则选择的模型不收敛于真实模型，它通常比真实模型所含的未知参数个数要多SBC统计量7.2平稳时间序列分析例11

连续读取70个某次化学反应的过程数据，构成一时间序列。对该序列进行两个模型拟合，并用AIC准则和SBC准则评判例两个拟合模型的相对优劣。结果AR(1)优于MA(2)模型AICSBCMA(2)536.4556542.2011AR(1)535.7896540.28667.2平稳时间序列分析序列预测线性预测函数预测方差最小原则7.2平稳时间序列分析例8续北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合与预测图7.2平稳时间序列分析差分运算差分运算的实质差分方式的选择过差分7.3非平稳时间序列分析差分运算的实质差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息7.3非平稳时间序列分析差分方式的选择序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息7.3非平稳时间序列分析例121964年—1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用7.3非平稳时间序列分析差分前后时序图原序列时序图差分后序列时序图7.3非平稳时间序列分析例13

尝试提取1950年—1999年北京市民用车辆拥有量序列的确定性信息7.3非平稳时间序列分析差分后序列时序图一阶差分二阶差分7.3非平稳时间序列分析例14

差分运算提取1962年1月—1975年12月平均每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息7.3非平稳时间序列分析差分后序列时序图一阶差分1阶－12步差分7.3非平稳时间序列分析过差分足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息但过度的差分会造成有用信息的浪费假设序列如下

考察一阶差分后序列和二阶差分序列的平稳性与方差7.3非平稳时间序列分析比较一阶差分平稳方差小二阶差分（过差分）平稳方差大7.3非平稳时间序列分析ARIMA模型ARIMA模型结构ARIMA模型建模ARIMA模型预测疏系数模型季节模型7.3非平稳时间序列分析ARIMA模型结构使用场合差分平稳序列拟合模型结构7.3非平稳时间序列分析ARIMA模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=randomwalkmodel7.3非平稳时间序列分析ARIMA模型建模步骤获得观察值序列平稳性检验差分运算YN白噪声检验Y分析结束N拟合ARMA模型7.3非平稳时间序列分析例15

对1952年—1988年中国农业实际国民收入指数序列建模7.3非平稳时间序列分析一阶差分序列时序图7.3非平稳时间序列分析一阶差分序列自相关图7.3非平稳时间序列分析一阶差分后序列白噪声检验延迟阶数

统计量P值613.330.01781218.330.10601824.660.13447.3非平稳时间序列分析拟合ARMA模型偏自相关图7.3非平稳时间序列分析建模定阶ARIMA(0,1,1)参数估计模型检验模型显著参数显著7.3非平稳时间序列分析ARIMA模型预测原则最小均方误差预测原理Green函数递推公式7.3非平稳时间序列分析例15续对中国农业实际国民收入指数序列做为期10年的预测7.3非平稳时间序列分析疏系数模型ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数：如果该模型中有部分自相关系数或部分移动平滑系数为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。7.3非平稳时间序列分析疏系数模型类型如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为

为非零自相关系数的阶数如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为为非零移动平均系数的阶数如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简记为7.3非平稳时间序列分析例16

对1917年－1975年美国23岁妇女每万人生育率序列建模7.3非平稳时间序列分析一阶差分7.3非平稳时间序列分析自相关图7.3非平稳时间序列分析偏自相关图7.3非平稳时间序列分析建模定阶ARIMA((1,4),1,0)参数估计模型检验模型显著参数显著7.3非平稳时间序列分析季节模型简单季节模型乘积季节模型7.3非平稳时间序列分析简单季节模型简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是加法关系简单季节模型通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常如下7.3非平稳时间序列分析例17

拟合1962—1991年德国工人季度失业率序列7.3非平稳时间序列分析差分平稳对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效应的影响，差分后序列的时序图如下7.3非平稳时间序列分析白噪声检验延迟阶数

统计量P值643.84<0.00011251.71<0.00011854.48<0.00017.3非平稳时间序列分析差分后序列自相关图7.3非平稳时间序列分析差分后序列偏自相关图7.3非平稳时间序列分析模型拟合定阶ARIMA((1,4),(1,4),0)参数估计7.3非平稳时间序列分析模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数

统计量P值待估参数

统计量P值62.090.71913.48<0.00011210.990.3584-3.41<0.00017.3非平稳时间序列分析拟合效果图7.3非平稳时间序列分析乘积季节模型使用场合序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中的相关关系构造原理短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构如下

7.3非平稳时间序列分析例18

拟合1948——1981年美国女性月度失业率序列7.3非平稳时间序列分析差分平稳一阶、12步差分7.3非平稳时间序列分析差分后序列自相关图7.3非平稳时间序列分析差分后序列偏自相关图7.3非平稳时间序列分析简单季节模型拟合结果延迟阶数拟合模型残差白噪声检验AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA((1,12),(1,12)

值P值

值P值

值P值614.580.00579.50.023313.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213结果拟合模型均不显著7.3非平稳时间序列分析乘积季节模型拟合模型定阶ARIMA(1,1,1)×(0,1,1)12参数估计7.3非平稳时间序列分析模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数

统计量P值待估参数

统计量P值64.500.2120-4.66<0.0001129.420.400223.03<0.00011820.580.1507-6.81<0.0001结果模型显著参数均显著7.3非平稳时间序列分析乘积季节模型拟合效果图7.3非平稳时间序列分析程序说明dif1_4=dif4(dif(x));time=intnx('quarter','1jan1962'd,_n_-1);formattimeyear4.;procarima;identifyvar=x(1,4);estimatep=(14)noint;forecastlead=5id=timeout=out;7.3非平稳时间序列分析程序说明nlag=18minicp=(0:5)q=(0:5)plotfactory*year=2forecast*year=3l95*year=4u95*year=4/overlay;identifyvar=x(1,12);estimatep=1q=(1)(12)noint;forecastlead=0id=timeout=out;7.3非平稳时间序列分析

以下内容在《数学建模与数学实验（第二版）》（汪晓银，周保平主编）第9章第3节灰色系统内容说明灰色系统概述生成数GM(1,1)模型案例分析计算程序7.4灰色系统预测

灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述.

灰色系统模型的特点：对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的新理论，具有十分宽广的应用领域。7.4灰色系统预测

灰色系统理论经过20年的发展，已基本建立起一门新兴的结构体系，其研究内容主要包括：灰色系统建模理论、灰色系统控制理论、灰色关联分析方法、灰色预测方法、灰色规划方法、灰色决策方法等。我们主要介绍灰色GM(1,1)模型预测。即灰色生成、GM(1,1)模型建模机理、GM(1,1)模型的精度检验7.4灰色系统预测(1)累加生成数

1-AGO指一次累加生成。记原始序列为一次累加生成序列为其中，7.4灰色系统预测(2)累减生成数(IAGO)是累加生成的逆运算。记原始序列为一次累减生成序列其中规定7.4灰色系统预测1.令为GM(1,1)建模序列，为的1-AGO序列，7.4灰色系统预测令为的紧邻均值（MEAN）生成序列=0.5+0.5则GM(1,1)的灰微分方程模型为7.4灰色系统预测记则灰微分方程的最小二乘估计参数列满足其中7.4灰色系统预测称为灰色微分方程的白化方程，也叫影子方程。综上所述，有白化方程的解也称时间响应函数为7.4灰色系统预测2.GM(1,1)灰色微分方程的时间响应序列为3.于是有7.4灰色系统预测4.还原值上式即为预测方程。GM(1,1)模型的检验分为三个方面：残差检验；关联度检验；后验差检验。7.4灰色系统预测后验差检验判别参照表C模型精度<0.35优<0.5合格<0.65勉强合格>0.65不合格其中残差序列均方差原序列均方差7.4灰色系统预测7.4灰色系统预测7.4灰色系统预测7.4灰色系统预测7.4灰色系统预测7.4灰色系统预测7.