【全套解析】高三数学一轮复习 67 数学归纳法课件 （理） 新人教A

第七节 数学归纳法1.了解数学归纳法的原因，掌握用数学归纳法证明问题的基本步骤．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1．归纳法由一系列有限的特殊事例得出

的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为

归纳法和

归纳法．2．数学归纳法设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题

(或

)成立；(2)在假设

成立的前提下，推出

也成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立．一般结论完全不完全P1P0PkPk＋13．数学归纳法证题的步骤(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值

时，命题成立；(2)(归纳递推)假设

(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当

时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．n＝n0n＝kn＝k＋11．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证(

)A．n＝1

B．n＝2C．n＝3 D．n＝4答案：C2．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋1＝2n＋2－1(n∈N*)的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为(

)A．1 B．1＋2C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23解析：当n＝1时，左边有n＋2项，即有3项和，∴为1＋2＋22.答案：C5．在在数数列列{an}中，，a1＝1，且且Sn，Sn＋1,2S1成等等差差数数列列(Sn表示示数数列列{an}的前前n项和和)，则则S2，S3，S4分别别为为________；由由此此猜猜想想Sn＝________.解析析：：由Sn，Sn＋1,2S1成等等差差数数列列，，得得2Sn＋1＝Sn＋2S1，∵S1＝a1＝1，∴∴2Sn＋1＝Sn＋2.热点点之之一一数学学归归纳纳法法的的基基本本原原理理数学学归归纳纳法法是是一一种种只只适适用用于于与与自自然然数数有有关关的的命命题题的的证证明明方方法法，，它它的的表表述述严严格格而而且且规规范范，，两两个个步步骤骤缺缺一一不不可可.第一一步步是是递递推推的的基基础础，，第第二二步步是是递递推推的的依依据据，，第第二二步步中中，，归归纳纳假假设设起起着着“已知知条条件件”的作作用用，，在在第第二二步步的的证证明明中中一一定定要要运运用用它它，，否否则则就就不不是是数数学学归归纳纳法法.第二二步步的的关关键键是是“一凑凑假假设设，，二二凑凑结结论论”.即时训训练用用数数学归归纳法法证明明“当n为正奇奇数时时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二二步归归纳假假设应应写成成()A．假设设n＝2k＋1(k∈N*)正确，，再推推n＝2k＋3正确B．假设设n＝2k－1(k∈N*)正确，，再推推n＝2k＋1正确C．假设设n＝k(k∈N*)正确，，再推推n＝k＋1正确D．假设设n＝k(k≥1)正确，，再推推n＝k＋2正确解析：：首先要要注意意n为奇数数，其其次还还要使使“n＝k”能取到到1，故选选B.答案：：B热点之之二用数学学归纳纳法证证明有有关问问题用数学学归纳纳法可可以证证明与与正整整数有有关的的恒等等式、、不等等式、、整除除性问问题和和几何何问题题等，，应用用数学学归纳纳法要要注意意其基基本步步骤.热点之之三归纳、、猜想想与证证明“归纳——猜想——证明”的模式式，是是不完完全归归纳法法与数数学归归纳法法综合合应用用的解解题模模式.其一般般思路路是：：通过过观察察有限限个特特例，，猜想想出一一般性性的结结论，，然后后用数数学归归纳法法证明明.这种方方法在在解决决探索索性问问题、、存在在性问问题或或与正正整数数有关关的命命题中中有着着广泛泛的应应用.其关键键是归归纳、、猜想想出公公式.即时训训练设数列列{an}满足an＋1＝an2－nan＋1，n＝1,2,3，…(1)当a1＝2时，求求a2，a3，a4，并由由此猜猜想出出an的一个个通项项公式式；(2)当a1≥3时，证证明对对所有有的n≥1，有an≥n＋2.解：(1)由a1＝2，得a2＝a12－a1＋1＝3，由a2＝3，得a3＝a22－2a2＋1＝4，由a3＝4，得a4＝a32－3a3＋1＝5，由此猜想an的一个通项项公式：an＝n＋1(n≥1)．(2)证明：用数数学归纳法法证明：①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成成立．②假设当n＝k时不等式成成立，即ak≥k＋2，那么，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3，也就是说，，当n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2.根据①和②②，对于所所有n≥1，都有an≥n＋2.通过分析近近年的高考考试题可以以看出，不不但考查用用数学归纳纳法去证明明现成的结结论，还考考查用数学学归纳法证证明新发现现的结论的的正确性．．数学归纳纳法的应用用主要出现现在数列解解答题中，，一般是先先根据递推推公式写出出数列的前前几项，通通过观察项项与项数的的关系，猜猜想出数列列的通项公公式，再