第三章 随机向量

第三章随机向量

二维随机向量及其分布函数

随机向量的数字特征大数定律与中心极限定理实际生活中，我们发现有些随机现象仅仅用一个随机变量很难描述清楚，因此我们引入多维随机变量或随即向量的概念。与一维随机变量的研究类似，我们也把随机向量分成离散型、连续型及混合型，主要研究离散型和连续型的随机向量，本章讨论n=2时的情形。如在研究儿童的发育时，涉及到身高和体重两方面的问题，在研究家庭的收支时则涉及更多个方面的因素。

一、二维随机向量及其联合分布函数注:(1)联合分布函数表示两个事件同时发生的概率。3.1二维随机向量的分布2）二维联合分布函数的性质单调性:有界性:右连续性:非负性:注意：上述四条性质是联合分布函数的充要条件.关于非负性的补充说明：例1设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为解：由联合分布函数的性质可以得到二、二维离散型随机向量及联合分布律对于二维随机向量(X,Y),如果X和Y都是离散型随机变量，则称(X,Y)是二维离散型随机向量。

联合分布律的基本性质非负性：正则性：例2一口袋装有3个球，分别标有数字1，2，2。从袋中任取一球，不放回袋中，再从袋中任取一球。记X、Y分别表示第一、二次取出的球上的数字.分析：与求一维分布律一样，确定取值，计算概率.练习：一口袋装有3个球，分别标有数字1，2，2，从袋中任取一球；放回袋中，再从袋中任取一球。记X、Y分别表示第一、二次取出的球上的数字.1、定义：如果存在二元非负函数p(x,y)，使得二维随机向量（X,Y）的分布函数F(x,y)满足注：在F(x,y)偏导存在的点处有：2、基本性质非负性：正则性：则称(X,Y)为二维连续型随机向量,p(x,y)称为(X,Y)的联合密度函数(或联合密度或密度函数)。三、二维连续型随机向量及联合密度即密度函数在指定平面区域G上的二重积分。3、概率计算4、举例11G1G25、常用二维分布二维正态分布求(X,Y)的联合密度函数。解：区域G如图所示，故(X,Y)的联合密度函数为例

设二维随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布，四、边缘分布1、由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布。2、由联合分布还可以还可以反映X和Y的关系，这也是研究多维分布的原因所在。3、对联合分布与边缘分布关系的研究，同样就离散型和连续型两种随机向量分别说明。补充说明2、边缘分布律对二维离散型随机向量(X,Y)，联合分布律为则(X,Y)关于X的边缘分布律为(X,Y)关于Y的边缘分布律为注:(X,Y)的联合分布律与边缘分布律的关系，通常可以用下面的表格来反映。各行概率相加各列概率相加例2设（X,Y）的联合分布律如下，求其边缘分布律。练习：设（X,Y）的联合分布律如下，求其边缘分布律。（1）（2）（1）（2）注：由联合分布律可以确定边缘分布律，反之则不一定成立！3、边缘密度函数一般地，练习：设随机变量(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）两个边缘密度。解：(1)（2）附：条件密度函数五、随机变量的独立性随机变量的相互独立性，是事件相互独立性的推广，在概率论与数理统计的实际应用中是一个重要的概念。1.独立性的定义说明：定义中的条件是独立性的充要条件，对各种类型的随机变量都能成立。而对于离散和连续型的随机变量来说，又可以分别利用分布律和密度函数来反映随机变量的独立性。2.离散型随机变量的独立性例1设(X,Y)的联合分布律为n个连续型随机变量相互独立的充要条件是：简单判别方法：3.连续型随机变量的独立性例2设（X,Y）的联合密度函数为问X、Y是否独立？011例3从（0，1）中任取两个数，求下列事件的概率：①两数之和小于1.2；②两数之积小于1/4.解：记这两个数分别为X、Y，则X、Y独立，且都服从（0，1）上的均匀分布。从而（X,Y）的联合密度函数为所求的概率，即是在指定的区域内计算联合密度函数的二重积分。六、二维随机向量函数的分布如果(X,Y)是二维随机变量，且分布函数已知，Z=g(X,Y)是关于X和Y的二元函数，则Z是一个一维随机变量，当然也存在着分布问题，而且与(X,Y)的分布有着必然的联系。(1)和的分布——连续场合下的卷积公式2.连续型随机向量函数的分布例3设X～U(0,1),Y～Exp(1),且X,Y相互独立,求Z＝X+Y的密度函数。解：X和Y的密度函数分别是2、分布函数法注：分布函数法是普遍适用的一种重要方法.（万能法）例3设X～U(0,1),Y～Exp(1),且X,Y相互独立,求Z＝X+Y的密度函数。补充说明：分布函数法求随机变量函数的分布具有普遍性，对任意的Z=g(X,Y)都适用，且不需要X,Y相互独立的条件。而利用其他方法或公式求随机变量函数的分布时，必须注意定理或公式应满足的条件。因此，该方法是最重要的一种方法，应熟练掌握。同时也是数（三）常考的内容。补充：随机变量的可加性3.2随机向量的数字特征

一、二维随机向量的数学期望和方差1x2y0

二、数字期望与方差的性质

三、二维随机向量的协方差与相关系数——联合分布中分量间的关系协方差也称为相关中心矩。1、协方差协方差的常用计算公式:协方差的性质:补充说明：2、相关系数(Correlationcoefficient)在表示随机变量的关系时，为了消除量纲的影响，引入了相关系数的概念。相关系数的性质：

完全正线性相关YX完全负线性相关YX补充说明相关系数ρ(X,Y)刻画了随机变量X、Y间线性相关的程度。ρ=±1时，表示X、Y几乎处处具有线性关系；ρ=0时，表示X、Y不具有线性关系，但可以具有其他（如曲线）关系。独立性是指两个随机变量不具有任何关系。对二元正态分布来说，独立性与不相关〔ρ=0〕是等价的。与协方差相比较，相关系数是一个不带单位的系数，消除了量纲的影响，可以更准确地反映随机变量间的关系；同时，也方便不同类型随机变量的比较。00.511y=x注：协方差虽然很小，但相关系数却比较大。所以协方差反映随机变量的相关程度不是很准确的。3.4大数定律与中心极限定理事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数。这就充分说明事件的概率是客观存在的。频率的稳定性，便是这一客观存在的反映。人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性。这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景。在概率论中，用来阐明大量平均结果稳定性的一系列定理统称为大数定律。由大数定律，大量随机因素的总和，必然导致某种不依赖于个别随机事件的结果。一、大数定律补充说明切比雪夫不等式注：对于离散型随机变量可以类似证明。定理2（切比雪夫大数定律）定理3(贝努里大数定律)注：贝努里定理是切比雪夫定理的特例，它从理论上证明了频率的稳定性。只要试验次数n足够大，事件A出现的频率与事件A的概率有较大偏差的可能性很小。即可以用事件发生的频率来代替事件发生的概率。二、独立同分布下的中心极限定理例1

为了测量一台机床的质量,把它分成75个部件来称量。假定每个部件的称量误差X服从(-1,1)上的均匀分布,且各个部件的称量误差是相互独立的,求机床质量的误差的绝对值不超过10kg的概率。所求概率为总的称量误差定理2〔棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理〕由于每台机器开、停与否相互独立，且开动的概率都是相同的，故开动的机器台数服从二项分布。例2设一个车间里有400台同类型的机器，每台机器需要用电为Q瓦。由于工艺关系，每台机器不连续开动，开动的时间只占总工作时间的3/4。问应该供应多少瓦电力才