第一章 误差与精度的基本概念

误差理论与数据处理【院系】

光电工程学院目录第一章误差和精度的基本概念

1第二章误差分布

2第三章随机误差3第四章系统误差4第七章测量结果的不确定度评定75第六章误差传播与误差合成6第五章粗大误差5第八章最小二乘法与组合测量8【院系】

光电工程学院第一章误差和精度的基本概念本章教学目标与重点难点重点与难点§误差的定义和表示方法§误差的分类§精度的含义§测量与测量过程§测量的要素教学目标通过学习，应该掌握：§误差的定义、分类和误差的表示方法§精度的一般含义和具体意义§测量及测量的要素第一节

研究误差理论的意义研究误差的重要意义探索和揭示客观世界的规律性的方法，有两种：①理论分析②实验测量对于实验测量的方法，常常需要极其精确的实验测定，以希望得到没有误差的测量结果，因为误差会在一定的程度上歪曲客观事物的规律性。研究误差的来源及其规律性，减小和尽可能地消除误差，以得到精确的实验结果，对于科学技术的产生及进展是非常重要的。例如：研究误差的重要意义英国物理学家瑞利（Rayleigh）在测定氮的密度时，发现大气中分离的氮的密度为1.2572g/L，而化学方法提取的氮的密度1.2508g/L,两者相差0.0064g/L。分析结果证明，空气中分离的氮含有其他成分，由此导致了后来雷塞姆（化学家雷莱）发现了空气中的惰性气体。

发射人造卫星的控制和遥测系统，如果测量不够准确，最后一级运载火箭的速度若有2/1000的相对误差，则卫星就会偏离预定轨道100km，真可谓“失之毫厘，差之千里”。在日常生活中，也是如此。如使用γ射线治疗疾病时，若对剂量测量不准，过少则达不到治病的目的，延误治疗；过多则会对人体造成损害。误差理论的基本任务研究误差的来源和特性，对误差做出科学的分类；研究误差的评定和估计的合理方法，研究误差的传递、转化和相互作用的规律性，以及误差的合成和分配的原则；研究在各种测量方式及测量条件下，降低误差、提高精度的途径，以最经济简便的方法得到最优的测量结果。误差理论的实际应用对测量结果进行判断和统计处理，如对测量数据的合理性、可靠性、相关性及其分布规律的判断和估计，通过一系列的计算和处理，得到测量结果的数学表示及其精度评定；综合评定某实验方法或测量仪器的精确性和可靠性；产品设计时，进行误差的分析和分配，预估产品的精度；确定最有利的实验条件；根据被测参数或被检仪器的精度，合理选择测量仪器或检定仪器的精度；根据测量精度，合理选择测量方法、测量方程式及必要的测量次数。判断旧产品的精度是否蜕化降低，或技术革新和改进后的效果。误差理论的发展历程经典误差理论的萌芽期（十八世纪）1794年，德国数学家高斯首次提出了最小二乘法原理，并于1809年在其著作《天体沿圆锥截面围绕太阳运动的理论》中发表，被称为高斯最小二乘法。同一时期法国数学家勒让德尔也于1805年在其著作《决定彗星轨道的新方法》中应用最小二乘法处理观察结果，为测量数据处理奠定了理论基础。经典误差理论的成熟期（二十世纪前后）苏联科学家契比雪夫、克雷洛夫、马利柯夫等发表了许多卓有成效的研究成果。其中最著名的是马利柯夫在1949年出版的《计量学基础》一书，它全面系统地介绍了误差理论，成为经典误差理论的科学总结。经典误差理论的特点：①以统计学理论为基础②以静态测量误差为研究对象

③以服从正态分布为主的随机误差估计和数据处理方法为特征④用测量误差来表征测量结果的质量误差理论的发展历程现代误差理论的形成与发展期（二十世纪末）1993年，国际标准化组织（ISO）等颁布了《测量不确定度表示指南》，建立了在测量中评定和表达不确定度的一般规则，适用于不同准确度要求的测量领域。现代误差理论的特点：①由静态测量问题发展到动态测量、全过程的测量控制；②由简单的误差修正发展到实时的、在线的复杂误差修正、补偿、自校准；误差理论的发展历程③由简单常见误差分布发展到非正态非对称复杂误差分布；④关注测量不确定度的原理及应用的研究，解决合理评定与表示测量结果的问题；⑤在理论上突破了以统计学理论为基础的传统研究方法，在实践上力求形成统一、实用、可靠的评定准则和方法，在水平上实现了误差理论与计算机应用技术、近代数学物理方法、测量和计量实践，以及与标准化等紧密结合，正朝着现代化、科学化、实用化和高精度的目标推进。误差理论的发展历程第二节误差测量误差：是指测得值与被测量真值之差。测量误差值＝测得值－真值真误差：其大小表示每一次测得值对真值的不符合的程度。1）误差的必然性——真误差恒不等于零。2）误差的不确定性——真误差之间一般是不相等的，或者说，测得值之间是不相等的。3）误差的未知性——真误差一般是未知的。误差的定义真值：是指一个特定的物理量在一定条件下所具有的客观量值，又称理论值或定义值。1）理论真值：亦称绝对真值，一般只存在于纯理论之中。如三角形内角之和恒为180º，一个整圆周角为360º。2）约定真值：世界各国公认的一些几何量和物理量的最高基准的量值。如米基准的长度定义为：1米=1650763.73λ，λ为（）氪跃迁在真空中的辐射波长。

3）相对真值：如果标准仪器的误差比一般仪器的误差小一个数量级，则标准仪器的测定值可视为真值，即相对真值。两者误差的比值，根据使用要求可适当放宽到1/3或1/5。误差的定义为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有因素都将引入测量误差。由于仪器的设计、制造和装配校正等方面欠缺所引起的测量误差。由于测量过程中测量条件的变动所引起的测量误差。由于测量者造成的误差，如瞄准误差，读数误差，以及测量者生理感官与精神状态所引起的测量误差。误差的来源以固定形式复现标准量值的器具，如标准电阻、标准量块、标准砝码等等，他们本身体现的量值，不可避免地存在误差。一般要求标准器件的误差占总误差的1/3～1/10。

测量装置在制造过程中由于设计、制造、装配、检定等的不完善，以及在使用过程中，由于元器件的老化、机械部件磨损和疲劳等因素而使设备所产生的误差。

测量仪器所带附件和附属工具所带来的误差。误差的来源装置误差设计测量装置时，由于采用近似原理所带来的工作原理误差组成设备的主要零部件的制造误差与设备的装配误差设备出厂时校准与定度所带来的误差读数分辨力有限而造成的读数误差数字式仪器所特有的量化误差元器件老化、磨损、疲劳所造成的误差误差的来源条件误差环境温度、湿度的变化，气流及振动的影响；对野外作业的经纬仪和测距仪，受到大气扰动及阳光照射后角度的变化等；对于电子测量，电源电压和电磁干扰对其测量误差有影响。激光光波比长测量中，空气的温度、湿度、尘埃、大气压力等会影响到空气折射率，因而影响激光波长，产生测量误差。高精度的准直测量中，气流、振动也有一定的影响误差的来源1.绝对误差定义

测得值被测量的真值，常用约定真值代替绝对误差

特点①绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量。单位给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。②绝对误差不能完全说明测量的准确度。误差的表示方法

与误差绝对值相等、符号相反的值，一般用c表示。

在自动测量仪器中，可将修正值编成程序存储在仪器中，仪器输出的是经过修正的测量结果。修正结果是将测得值加上修正值后的测量结果，这样可提高测量准确度。

在测量仪器中，修正值常以表格、曲线或公式的形式给出。修正值误差的表示方法【例1-1】用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，查该表的检定证书，得知该电压表在220V附近的误差为5V，被测电压的修正值为－5V，则修正后的测量结果为226+(－5V)=221V。测得值真值绝对误差2.相对误差定义被测量的真值，常用约定真值代替，也可以近似用测量值来代替

相对误差特点①相对误差只有大小和符号，而无量纲，一般用百分数来表示。②相对误差常用来衡量测量的相对准确程度。绝对误差误差的表示方法3.引用误差定义该标称范围（或量程）上限引用误差仪器某标称范围（或量程）内的最大绝对误差引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的，故该误差又称为引用相对误差、满度误差。误差的表示方法我国电工仪表、压力表的准确度等级（accuracyclass）就是按照引用误差进行分级的。当一个仪表的等级s选定后，用此表测量某一被测量时，所产生的最大绝对误差为最大相对误差为绝对误差的最大值与该仪表的标称范围（或量程）上限xm成正比选定仪表后，被测量的值越接近于标称范围（或量程）上限，测量的相对误差越小，测量越准确（公式2）（公式1）电工仪表、压力表的准确度等级误差的表示方法仪表准确度等级选择原则

①不应单纯追求测量仪表准确度越高越好，而应根据被测量的大小，兼顾仪表的级别和标称范围（或量程）上限合理进行选择。②选择被测量的值应大于均匀刻度测量仪表量程上限的三分之二，即测量的最大相对误差不超过即测量误差不会超过测量仪表等级的1.5倍。误差的表示方法【例1-2】

某被测电压为100伏左右，现有0.5级、量程为300伏和1.0级、量程为150伏两块电压表，问选用哪一块合适？

【解】当用0.5级、量程为300伏的电压表测量时，有

当用1.0级、量程为100伏的电表测量时，有

可见，如果量程选择适当，用1.0级电压表进行测量与用0.5级一样准确。考虑到仪表等级越高，成本越高，故应选择1.0级电压表进行测量。

【例1-3】检定一只2.5级、量程为100V的电压表，发现在50V处误差最大，其值为2V，而其他刻度处的误差均小于2V，问这只电压表是否合格？该电压表的引用误差为由于所以该电压表合格。【解】【例1-4】某1.0级电流表，满度值（标称范围上限）为100微安，求测量值分别为100，80和20微安时的绝对误差和相对误差。根据题意得最大绝对误差为他们的相对误差分别为可见，在同一标称范围内，测量值越小，其相对误差越大。【解】误差的分类按误差的性质分类

随机误差系统误差粗大误差按表示方法分类

绝对误差相对误差随机误差

定义：误差单独出现，其符号和大小没有一定的规律性，但就误差的整体来说，服从统计规律。（测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差。又称为偶然误差。）特征：在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。产生原因：实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等。性质：随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见，不可修正。虽然一次测量的随机误差没有规律，不可预定，也不能用实验的方法加以消除。但是，经过大量的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规律的。系统误差

定义：误差的大小及符号在测量过程中不变，或按一定的规律变化。（在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。）特征：在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。

例如：用天平计量物体质量时，砝码的质量偏差（保持不变）刻线尺的温度变化引起的示值误差（按某一确定规律变化）由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的技术措施，设法消除或减小；也可以在相同条件下对已知约定真值的标准器具进行多次重复测量的办法，或者通过多次变化条件下的重复测量的办法，设法找出其系统误差的规律后，对测量结果进行修正。粗大误差定义：明显超出在规定条件下测量误差的预期范围，是测量误差的统计异常值。又称为疏忽误差或简称粗差。产生原因：由于某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。例如：测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等）测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）。由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。三类误差的关系及其对测得值的影响标准差期望值

均值

某次测得值

奇异值

系统误差和随机误差的定义是科学严谨，不能混淆的。但在测量实践中，由于误差划分的人为性和条件性，使得他们并不是一成不变的，在一定条件下可以相互转化。也就是说一个具体误差究竟属于哪一类，应根据所考察的实际问题和具体条件，经分析和实验后确定。

如一块电表，它的刻度误差在制造时可能是随机的，但用此电表来校准一批其它电表时，该电表的刻度误差就会造成被校准的这一批电表的系统误差。又如，由于电表刻度不准，用它来测量某电源的电压时必带来系统误差，但如果采用很多块电表测此电压，由于每一块电表的刻度误差有大有小，有正有负，就使得这些测量误差具有随机性。误差性质的相互转化第三节精度精度的高低用误差来衡量，并且误差大，精度低。误差小，精度高。精度是误差的反义词。误差大就不准确，因此精度的高低就意味着准确的程度，即所谓的准确度，而精确度可以理解为准确度的同义词。精度的一般含义精度的具体含义

1、正确度：由系统误差引起的测得值与真值的偏离程度，偏离越小，正确度越高。系统误差越小，测量结果越正确。2、精密度：由随机误差引起的测得值与真值的偏离程度，偏离越小，精密度越高。随机误差越小，测量结果越精密。3、准确度：由系统误差和随机误差共同引起的测得值与真值的偏离程度，偏离越小，准确度越高。综合误差越小，测量结果越准确。准确度、正确度和精密度三者之间的关系弹着点全部在靶上，但分散。相当于系统误差小而随机误差大，即精密度低，正确度高。弹着点集中，但偏向一方，命中率不高。相当于系统误差大而随机误差小，即精密度高，正确度低。弹着点集中靶心。相当于系统误差与随机误差均小，即精密度、正确度都高，从而准确度亦高。精度的其他含义1、测量的重复性：用同一测量方法，同一观察者，同一测量仪器，在同一实验室，用很短的时间间隔对同一量作连续测量时，其测量结果间相一致的接近程度。一般用测量结果的分散性来定量表示。2、测量的复现性：用不同的测量方法，不同的观察者，不同的测量仪器，在不同的实验室内，用较长的时间间隔对同一量作多次测量时，其测量结果间相一致的接近程度。一般用测量结果的分散性来定量表示。分辨力、精密度和准确度的关系1、要想提高仪器的测量精密度，必须相应地提高仪器的分辨力。若分辨力很低，而测得值的一致性很好，很可能是一种假象。例如，若数字式测角仪的分辨力为0.5arc，则小于0.5arc的变化量，仪器是无法分辨的。2、分辨力和准确度有时是紧密联系的，提高仪器的分辨力能提高测量的准确度，但有时是完全独立的。例如测量放射性“衰减”试验中的损耗，可以采用放射性示踪技术和天平来测定。放射性示踪技术有很好的分辨力，能检测到的微量损耗可以小到10-10，但准确度不高。比如当损耗量达到1g，放射性示踪技术的准确度不高于3×10-2；天平测定时，分辨力为10-4g，而测量准确度为10-4。第四节

测量的基本问题测量与测量过程测量：以确定量值为目的的一组操作，该操作可以通过手动的或自动的方式来进行。从计量学的角度上讲，测量就是利用实验手段，把待测量与已知的同类量进行直接或间接的比较，将已知量作为计量单位，求得比值的过程。测量范畴举例能够做到准确定量的实验，都属于测量的范畴。在实验室对各种机械工件、光学材料以及电子器件等反映他们特定的物理化学属性的量值进行的精密测量在工厂车间对产品性能的检验，在商贸部门对商品的检验在部队靶场对武器系统的性能进行的试验和测试在计量部门对测量量具与仪器的检定、校准、比对，对标准物质和标准器具的定值，乃至对整个测量设备的计量确认活动，以及对整个实验室的认可活动只是为了定性确定某对象的物理或化学属性的实验活动，则不宜称为测量。非测量举例在化学实验室用分析滤纸观察溶液的化学反应，以确定溶液的酸碱性等化学性能，通常称为定性的化学实验，而不叫化学测量。与实施该测量有关的一组相互关联的资源、活动和影响量统称为测量过程（measurementprocess）测量过程包括实施测量中用到的测量设备、测量程序和操作者，也包括准备测量所需的资金、技术和其他设施等

实施测量是一种操作的活动

在实施测量的整个活动中，不是被测量但对测量结果有影响的量

测量可以视为一种通过实验手段来获得对某客观事物取得定量信息的过程。

测量的分类测量直接测量间接测量工程测量精密测量电量测量非电量测量等权测量非等权测量静态测量动态测量直接测量

指通过直接测量与被测量有函数关系的量，通过函数关系求得被测量值的测量方法。按测量结果的获取方式分类指被测量与该标准量直接进行比较的测量，指该被测量的测量结果可以直接由测量仪器输出得到，而不再需要经过量值的变换与计算。用游标卡尺测量小尺寸轴工件的直径时，游标卡尺的读数即是被测工件的直径间接测量用游标卡尺测大尺寸轴工件的直径，因量程不够，采用测量弦长与矢高的方法，间接得到工件直径

指在测量过程中被测量可以认为是固定不变的。因此，不需要考虑时间因素对测量的影响

指被测量在测量期间随时间（或其他影响量）发生变化根据被测量对象在测量过程中所处的状态分类静态测量在日常测量中，大多接触的是静态测量。对于这种测量，被测量和测量误差可以当作一种随机变量来处理动态测量弹道轨迹的测量、环境噪声的测量等。对这类被测量的测量，需要当作一种随机过程的问题来处理。

指在测量过程中，测量仪器、测量方法、测量条件和操作人员都保持不变。因此，对同一被测量进行的多次测量结果可认为具有相同的信赖程度，应按同等原则对待。

指测量过程中测量仪器、测量方法、测量条件或操作人员某一因素或某几因素发生变化，使得测量结果的信赖程度不同。对不等权测量的数据应按不等权原则进行处理。

根据测量条件是否发生变化分类等权测量不等权测量指电子学中有关量的测量。包括表征电磁能的量，信号特征的量，元件和电路参数的量，网络特性的量。

指非电子学中量的测量。根据被测量的属性分类电量测量电流、电压、功率、电场强度、噪声等如频率、相位、波形参数等如电阻、电容、电感、介电常数等如带宽、增益、带内波动、带外衰减等非电量测量温度、湿度、压力、气体浓度、机械力、材料光折射率等非电学参数的测量

指对测量误差要求不高的测量。用于这种测量的设备和仪器的灵敏度和准确度比较低，对测量环境没有严格要求。因此，对测量结果只需给出测量值。

指对测量误差要求比较高的测量。根据对测量结果的要求不同分类工程测量精密测量用于这种测量的设备和仪器应具有一定的灵敏度和准确度，其示值误差的大小一般需经计量检定或校准。在相同条件下对同一个被测量进行多次测量，其测得的数据一般不会完全一致。对于这种测量往往需要基于测量误差的理论和方法，合理地估计其测量结果，包括最佳估计值及其分散性大小。测量要素对象与被测量测量资源测量环境计量单位测量结果测量设备测量人员测量方法测量要素测量某个圆形工件的直径测量环境测量资源测量结果测量单位和量纲测量对象和被测量mm立式测长仪、测量人员、按规程接触测量重复测量五次（90.001±0.002）mm恒温防震的实验室某个圆形工件及其直径第五节有效数字与数据运算有效数字含有误差的任何数，如果其绝对误差界是最末尾数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不管是零或非零的数字，都叫有效数字。数字有效数字位数3.1430.002722.7×10-322.70×10-33保留有效数字位数的原则对于直接测量来说，是由测量精度来决定的，即代表被测量取值的算术平均值的最末一位有效数字应与测量精度是同一量级的。例如用测量精度为0.01mm的千分尺测量长度时，若测出长度

，显然小数点后第二位数字已不可靠，而第三位数字更不可靠，此时只应保留小数点后第二位数字，即写成，为四位有效位数。由此可知，测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可取的。测量误差一般取l～2位有效数字，因此上述用千分尺测量结果可表示为。2.对于间接测量来说，算术平均值的最末一位有效数字应与不确定度或极限误差的末位数对齐。换句话说，测量不确定度的大小决定了有效数字的位数。例如，测量某物体的体积，测量不确定度的大小为0.006，而计算所得物体的体积为2.85324，由于测量不确定度发生在千分之一位上，所以体积的千分之一位及以后的数位都是存疑位，最终结果应表示为:(2.853±0.006)。测量不确定度的有效位数与修约原则测量不确定度有效位数的选择根据规范，测量结果的不确定度的有效位数可以是1～2位。但是，在保留１位时，有些情况下会产生较大的修约误差，特别是保留下的这位数值较小时更是如此。例如，经计算某个被测量的测量结果不确定度0.13m，若将其修约成0.1m，因修约引起的误差为-0.03m，是测量结果不确定度的30%，对评价测量质量影响很大。因此本教材规定，当测量不确定度在修约前第１位非零数字小于或等于３时，有效位数应取2位；第１位非零数字大于或等于4时，有效位数取1位、2位均可。2．测量不确定度有效位数的修约：（３舍4进）

在保留测量不确定度的有效位数时，需要对数值进行进位或舍位处理。为了避免因舍位而过多地降低测量不确定度的可靠性又便于操作，可以采取３舍4进的处