第9章 点的合成运动速度和加速度

第三节牵连运动为平动时点的加速度合成定理第九章点的合成运动第一节点的合成运动的概念第二节点的速度合成定理

运动是绝对的，但运动的描述则是相对的。同一物体的运动在不同的参考系中是不一样的。对于不同的参考系，物体运动的结果不一样。例如:车轮上的点P的运动，如果以地面作为参考系，点的轨迹是旋轮线(复杂运动)，而如果以小车作为参考系，点的轨迹则是一个圆(相对简单运动)。前章中我们研究点和刚体的运动，都是以地面为参考系的。然而，实际问题中，为了研究问题的方便，例如，将一个复杂的运动分解为几个较为简单的运动或将几个运动合成为一个复杂的运动，都需要在不同的参考系中来研究物体的运动，分析物体相对不同参考系运动之间的关系。本章提出一种运动的分解和合成的方法。研究点的合成运动,分析点的速度合成和加速度合成的规律。

应用运动的分解和合成的方法把点的复杂运动分解为某些简单的运动,对各简单的运动加以分析之后,再合起来就可以解决复杂的运动问题。这称为点的合成运动(点的复合运动)。例如:车床上车刀刀尖P的运动，很显然车刀刀尖相对于地面是直线运动，但如果相对于旋转的工件而言，轨迹则是圆柱面上的螺旋线。第一节点的合成运动的概念下面介绍点的合成运动中的基本概念：“一点两系三运动”一点：即动点，所研究的点。两系：定参考系和动参考系。定参考系

—固结于地面上的坐标系，简称静系。动参考系

—

固结于相对于地面运动物体上的坐标系，简称动系。例如行驶的汽车。三运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。绝对运动：动点相对静系的运动。相对运动：动点相对动系的运动。例如：人在行驶的汽车里走动。牵连运动：动系相对于静系的运动。例如：行驶的汽车相对于地面的运动。牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度和牵连加速度动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度称为动点的绝对轨迹、绝对速度

和绝对加速度。动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度称为动点的相对轨迹、相对速度和相对加速度。

特别需要强调的是，由于动参考系的运动是刚体的运动而不是一个点的运动，因此定义在任意瞬时，动参考系上与动点重合的那一点称为牵连点，该点应该是动系上在该瞬时与动点关系最紧密的。显然牵连点不是动系上的一个固定点。有了牵连点的概念，可以定义牵连速度和牵连加速度如下：绝对轨迹,牵连轨迹,相对轨迹;绝对速度,牵连速度,相对速度;()绝对加速度,牵连加速度,相对加速度.()若记动点相对于动坐标系的坐标为:x'=f1(t),y'=f2(t),z'=f3(t).则则在某一瞬时与动点M重合的点M‘相对于静坐标系的速度和加速度,称为动点M在这一瞬时的牵连速度和牵连加速度。M‘称为牵连点。牵连运动:在某一瞬时与动点M重合而与动坐标系固结在一起的点M‘对于静坐标系的轨迹为牵连运动的轨迹。下面通过例子来说明以上的各个概念静坐标系与物体固结

动坐标系

与运动车厢固结以速度v1向东行驶的车厢内，地板上有一南北向的槽AB，一小球M沿槽以不变的速度u向北运动，而站在地面的人看到小球往东偏北方向运动。v=(u2+v12)1/2。例9-1

O

yxo'x'y'ABv1

uM一点两系三运动这里：M称为动点，车厢相对地面的运动为牵连运动（牵连速度，牵连加速度）；小球M相对车厢的运动是相对运动（相对速度，相对加速度）；小球相对于地面的运动为绝对运动（绝对速度，绝对加速度）。

O

yxo'x'y'ABv1

uM也即

动点静系

绝对运动动点动系相对运动动系静系牵连运动

Link1问：绝对运动是什么？相对运动是什么？牵连运动是什么？静坐标系

与地面固结动坐标系与直管OA固结

=例9-2直管OA作定轴转动，小球M沿OA管向外运动。veMy'x'u=vrxy例9-3说明动点、动系及绝对运动、牵连运动和相对运动。(b)M

v(a)Mvavrve动点：动系：静系：偏心凸轮C上A1点固结于杆AB上固结在地面上动点：动系：静系：AB杆上A点固结于偏心凸轮C上固结在地面上从以上例子可以得出，如果动点和动系选择的恰当，则相对轨迹较为简单，反之则较复杂。因此，动点动系的选择是分析点的合成运动的关键之一。点的复合运动—速度分析例子思考：如果动点是顶杆上的A点，动系与凸轮固结，试对动点进行速度分析，画出速度图。本节主要研究点的绝对速度、牵连速度、相对速度三者之间的关系■速度合成定理：任一瞬时，动点的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和。第二节点的速度合成定理现推导点的速度合成定理。动点M沿着曲线AB运动；曲线AB固结于动坐标系上且随同动坐标系相对静坐标系运动∆t后：(1)动曲线，动点M1的绝对轨迹。(2)在动坐标体系上观察M点的运动，则它沿曲线运动到M2，该弧称为相对轨迹。

(3)在瞬时与动点M重合的那点则沿运动到称为牵连轨迹。M2（M’）由定义：方向均如图所示。另存在以∆t除两端，并令∆t→0，取lim有M2（M’）如图所示，Oxyz为定参考系，Oxyz为动参考系。动系坐标原点O

在定系中的矢径为rO，动系的三个单位矢量分别为i，j，k。动点M在定系中的矢径为rM，在动系中的矢径为r。牵连点（动系上与动点重合的点）为M，它在定系中的矢径为rM。显然动点的绝对速度va为相对速度是动点相对动参考系的速度，因此与绝对速度的计算类似，相对速度应是相对矢径r对时间的相对导数，即将i，j，k视为常矢量。从而有为与绝对导数区别，相对导数用导数符号上加“”表示。动点的牵连速度为因为牵连点是动系上的点，故它的相对坐标是常数，对时间的导数为零。由（9-1），（9-2）和（9-3）得点的速度合成定理表式提供投影方程2个，可以求解两个未知量。若要求解问题，则需分析方向√√√大小√√√Note:上面的推导过程中，动参考系并未限制作何运动，因此点的速度合成定理对任意的牵连运动都适用。刨床的急回机构如图所示，曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接，当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动摇杆O1B绕固定轴O1摆动，设曲柄长OA=r，两间距离OO1=l，求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度ω1。例题9-4相对运动轨迹解：1.选择动点，动系与定系。动系－O1x'y'，固连于摇杆O1B。2.运动分析。绝对运动－以O为圆心的圆周运动。相对运动－沿O1B的直线运动。牵连运动－摇杆绕O1轴的摆动。动点－滑块A

。定系－固连于机座。应用速度合成定理3.速度分析。绝对速度va：va＝OA·ω

＝rω

，方向垂直于OA，沿铅垂方向向上。

相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆

O1B。牵连速度ve：ve为所要求的未知量，

方向垂直于O1B

。vavevr因为所以其中所以可得vavevr例9-5【讨论】若取摇杆O1B上A点为动点，动系固连曲柄OA，则相对运动轨迹是什么曲线？【讨论】若取摇杆O1B上A点为动点，动系固连曲柄OA，则相对运动轨迹是什么曲线？例9-6

凸轮顶杆机构中半径为R的半圆形凸轮以等速度v0沿水平轨道向右运动，带动顶杆AB沿铅垂方向运动，如图所示，试求φ=60º时，顶杆AB的速度。ABv0nφR【解】1.选择动点，动系与定系。动系－Ox'y'，固连于凸轮。2.运动分析。绝对运动－直线运动。牵连运动－水平平动。动点－AB的端点A。相对运动－沿凸轮轮廓曲线运动。定系－固连于水平轨道。3.速度分析。绝对速度va：大小未知，方向沿杆AB向上。相对速度vr：大小未知，方向沿凸轮圆周的切线

。牵连速度ve：ve=

v0，方向水平向右。ABnφRvaveφv0vr此瞬时杆AB的速度方向向上。应用速度合成定理讨论：若取凸轮圆心O′点为动点，动系固连顶杆AB，则相对运动轨迹是什么曲线？讨论：若取凸轮圆心O′点为动点，动系固连顶杆AB，则相对运动轨迹是什么曲线？例9-7

已知:凸轮半径r,图示时v，＝300

杆OA靠在凸轮上。求：杆OA的角速度。【分析】相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。【解】取凸轮上C点为动点,动系固结于OA杆上,静系固结于基座。绝对运动:直线运动,绝对速度:相对运动:直线运动,相对速度:牵连运动:定轴转动,牵连速度:如图示。根据速度合成定理做出速度平行四边形（）M点沿直管运动，同时这直管又在图示固定平面内绕定轴O转动。已知r=OM和转角φ的变化规律求M点绝对速度的表达式。Oxx'y'yφM例题9-81.选择动点，动系与定系。动点－点M。动系－Ox´y´固连于直管。2.运动分析。绝对运动－平面曲线运动。牵连运动－直管绕O作定轴转动。相对运动－沿动直管的直线运动。x'y'OxyφM解：定系－固连于机座。例题9-83.速度分析。绝对速度va：大小和方向未知。Oxx'y'yφMαvavr=varve=vaφ牵连速度ve：大小，方向垂直于向直管向左上。相对速度vr：大小，方向沿直管向右上。例题9-8由点的速度合成定理M点的绝对速度va的大小角度α可由下式确定Oxx'y'yφMαvavr=varve=vaφ例题9-8如图所示，平底顶杆AB可沿导轨上下移，偏心圆盘绕轴O转动，轴O位于顶杆的轴线上。圆盘半径为R，偏心OC=e,角速度为。OC与水平线夹角用表示，求

=00时顶杆的速度。【解】取盘心C为动点，平顶杆AB为动系。则有：速度平行四边形如图示；图中平行于杆AB的底平面，所以：当时，顶杆的速度例9-9如图所示，半径为R，偏心距为e的凸轮，以匀角速度ω绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求在图示位置时，杆AB的速度。R例题9-10动点：动系：静系：偏心凸轮C上A1点固结于杆AB上固结在地面上动点：动系：静系：AB杆上A点固结于偏心凸轮C上固结在地面上点的复合运动—速度分析例子思考：如果动点是顶杆上的A点，动系与凸轮固结，试对动点进行速度分析，画出速度图。解：1.选择动点，动系与定系。动系－Ox´y´，固连于凸轮。2.运动分析。绝对运动－直线运动。相对运动－以C为圆心的圆周运动。牵连运动－绕O轴的定轴转动。动点－AB的端点A

。eOCθωBy'x'定系－固连于机座。应用速度合成定理3.速度分析。相对速度vr：大小未知，方向沿凸轮

圆周的切线

。牵连速度ve：ve＝OA

·

ω

，方向垂直

于OA

。eOCAθωBvevaθvr绝对速度va：va为所要求的未知量，

方向沿杆AB。前面主要讲述了点的速度合成定理，不论动参考系作任何运动，它都是成立的。但点的加速度合成定理，对牵连运动是平移和牵连运动是转动是不相同的。第三节牵连运动为平移时点的加速度合成定理为动系的正向单位矢量。同理在任意瞬时t的相对加速度由于动系作平移，在同一瞬时，动系(可视为刚体)上所有各点的速度都相同，故而动点的牵连速度必与动系原点O′的速度相同，设在图示中的动系作平移。则根据动点的运动学理论，动点M在任意瞬时t的相对速度与其相对坐标之间有下面关系：上式是任意瞬时都成立的，故可对时间t求导，注意到动系仅作平动，均为常矢，有将(2)代入，即因为动系作平移，在同一瞬时，动系上所有各点的加速度都相同，故而动点的牵连加速度必与动系原点O′的加速度相同，即代入(6)有即将(1)、(3)代入，有即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。一般式可写为因为当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。即其一般式为

一般情况下

科氏加速度的计算可以用矢积表示例9-11如图所示的曲柄滑道机构中，曲柄长OA＝100mm，当∠COA=45˚时，其角速度ω＝1rad/s，加速度ε＝1rad/s²,转向如图。求此瞬时，导杆BC的加速度及滑块A在滑道DB中滑块的加速度。【解】取滑块A为动点，动系固结于导杆BC上，定系固结于地面。动点A绝对运动是圆周运动(圆心O，半径OA)。故绝对a有两个分量，即动点的相对运动为沿槽DB轴的直线运动，故为水平，其大小和指向待求。指向暂设向左。牵连运动竖直方向、大小和指向待求，指向暂设向上。有在x、y轴上投影，则有将数据代入求解得A即解：取杆上的A点为动点，

动系与凸轮固连。例9-12

已知：凸轮半径R,j=60o，

。求：此时顶杆AB的加速度。绝对速度va=?,方向AB；绝对加速度aa=?,方向AB，待求。相对速度vr

=?,方向CA;

相对加速度art=?方向CA ,方向沿CA指向C牵连速度ve=v0,方向→;牵连加速度ae=a0,方向→【分析】由速度合成定理做出速度平行四边形,如图示。因牵连运动为平动，故有作加速度矢量图如图示，将上式投影到法线上，得n整理得[注]加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程的投影关系不同n例9-13

如图所示，已知杆以等角速度转动，；求时CD杆的速度和加速度。【解】取CD杆上的点C为动点，AB杆为动系。对动点作速度分析和加速度分析，如图所示。CDAB则故又有故：即：CDAB图示一往复式送料机，曲柄OA长l，它带动导杆BC和送料槽D作往复运动，借以运送物料。设某瞬时曲柄与铅垂线成θ角。曲柄的角速度为ω0，角加速度为α0，方向如图所示，试求此瞬时送料槽D的速度和加速度。DBCAOθω0α0例题9-14运动演示DBCAOθω0α0解：1.选择动点，动系与定系。动系－O´x´y´，固连于导杆BC。2.运动分析。绝对运动－以O为圆心的圆周运动。相对运动－沿导杆滑槽的铅垂直线运动。牵连运动－导杆BC沿水平直线的平动。动点－滑块A

。O'x'y'定系－固连于机座。例题6-11DBCAOθω0α0O'x'y'3.速度分析。绝对速度va：va=lω0，方向与OA垂直。相对速度vr：大小未知，方向沿导杆滑槽向上。牵连速度ve：所求的送料槽的速度，方向水平向右。vevaθvr应用速度合成定理求得：DBCAOθω0α0O'x'y'4.加速度分析。绝对加速度法向分量aan：aan

=lω02

，沿着AO。相对加速度ar：大小未知，方向沿O´y´

轴牵连加速度ae：大小未知，为所要求的量，

方向水平，假设向右。绝对加速度切向分量aat：aat=lα0，方向与OA垂直，指向左下方。aeaataanθarθ应用加速度合成定理投影到O´x´轴，得到于是，求得即为导杆和送料槽D的加速度aD，其中负号表示