学科前沿专题

学科前沿专题第一页，共二十四页，2022年，8月28日金融数学一、金融数学学科介绍金融数学是指运用数学理论和方法,研究金融运行规律的一门新型交叉学科。核心问题是证券组合理论与资产定价理论。在现代金融数学理论中现代证券组合理论,资本资产定价模型、套利定价、期权定价理论和资产结构理论占据重要地位。第二页，共二十四页，2022年，8月28日二、数学理论与方法主要有随机分析,随机控制,数学规划,微分对策,非线性分析,泛函分析,鞅理论等。也有人在证券价格分析中引进了新型的非线性分析工具,如分形几何,混沌学,子波理论,模式识别等。在金融计算方法与仿真技术中也逐渐引入神经网络方法,人工智能方法,模拟退火法和遗传算法等。三、金融数学的几个重要理论1、马尔柯维茨现代证券组合理论把投资组合中的股票价格作为随机变量,以均值衡量收益,用方差表示风险。也就是研究当收益一定，使组合风险最小的组合投资问题。第三页，共二十四页，2022年，8月28日在数学上可以归结为求如下的二次规划的最优解的问题：V为所持组合收益的协差阵，r为投资者要求的最低收益率。为买空卖空的限制。第四页，共二十四页，2022年，8月28日马尔柯维茨证明了多个证券的投资组合比投资单个证券可以降低风险，这一直成为风险投资的指导原则。2、资本资产定价模型（CAMP模型）由于马尔柯维茨模型涉及到股票之间协差阵的计算，运算量太大，在马尔柯维茨理论的基础上,在一系列假设条件下建立了资本资产定价模型

CAMP模型的理论表明证券的预期收益可以用资产风险系数β来度量。一方面为潜在的投资提供了一种估计其收益率的方法，另一方面也可为不在市场上交易的资产同样作出合理的估价。第五页，共二十四页，2022年，8月28日3、期权定价理论（Black-Scholes模型）

期权是一纸合约，规定了合约的购买者在规定的时间以规定的价格购买或出售某项金融资产的权利。

相应的可将之划分为看涨期权（买权）与看跌期权（卖权），投资者如果认为这项金融资产会涨价，那么他可以购买对应这项金融资产的看涨期权，反之可以购买看跌期权。

按照期权合约执行方式的不同又可以分为欧式期权和美式期权。欧式期权规定合约的持有人只能在到期日行权，而美式期权则可以在购买后的任意时刻行权。

对期权合约的定价一直是金融数学中的一项重要的课题，因为期权这种功能强大的金融衍生产品在国外金融市场上所占的比重越来越大。第六页，共二十四页，2022年，8月28日

Black与Scholes假设股票的价格服从对数正态分布,无套利机会,没有交易费用等一系列理想假设下推导出了股票不付红利欧式期权在任意时刻t的价格C(t)所满足的微分方程：边界条件为：通过求解上面的带边值问题的微分方程得出了著名的B-S公式第七页，共二十四页，2022年，8月28日由于公式中的若干参数，关键是无风险利率r都与投资者偏好无关，故也将B-S定价方法称之为风险中性定价方法，在金融资产的定价中起着非常重要的作用。四、金融数学中的未解问题与探索1、美式期权问题

B—S公式解决的是欧式期权定价问题,而市场上交易的期权大部分是美式期权，由于美式期权对投资者的执行时机不加限制所以也造成了它的定价的巨大困难。一般情况下,美式期权没有精确的解析定价公式,只能用数值算法和解析近似解,如蒙特卡罗模拟法、数图法（二叉树）、有限差方法等，对计算机能力要求较高。2、标的资产价格波动率问题一般常假设股票价格的波动服从某一随机过程,象几何布朗运动。但是金融市场多数情况下并不满足稳定的假设,时常出现异常的波动,第八页，共二十四页，2022年，8月28日在B—S模型中,假设股票价格的波动率为常数,也不符合实际情况。实务中常用的方法比如随机最优控制，随机微分方程，自回归条件异方差等方法。3、标的资产价格收益率的准确分布问题

B-S模型中假定标的资产价格收益率服从正态分布，也即价格服从对数正态分布，但是经过大量的实务研究发现，价格收益率并不是严格的正态分布，而是比正态分布具有更尖的峰与更厚的尾部，也成为尖峰厚尾性。而选择怎样的分布来描述金融资产收益率这样的特性却并没有特定的标准，所谓的仁者见仁。4、突发事件问题突发事件是小概率事件。一般的随机分析不能解释重大的金融震荡，如股市崩盘，次贷危机等金融危机。虽然说从统计上来说是小概率事件，但是一旦发生将是灾难性的。所以这也是金融数学研究的一个重要领域。返回第九页，共二十四页，2022年，8月28日统计金融一、介绍

顾名思义，所谓的统计金融也即用统计方法来研究金融问题的一门新兴学科。二、主要用的统计方法总体说来，不外乎参数统计方法与非参数统计方法两大类。1、参数统计方法参数统计方法也即基于具体的随机变量（金融中主要是随机过程）的分布而进行的统计，至多分布中含有未知的参数，但都可以通过抽取的样本进行估计。

如基于正态分布的回归分析，方差分析或一些特定的时间序列分析等。但必须对总体的分布有所把握。第十页，共二十四页，2022年，8月28日也就是说参数统计方法有弱点，如要解决以股票价格作为标的的期权价格，则必须知道股票收益率的分布，但是现实中的股票的收益率的分布并不是已知的，所以必须进行假设，而这就对解决问题带来了人为假定的隐患。正是基于参数统计分析方法的这一先天缺陷，所以实务中很多问题所用的是非参数统计的方法。如解决股票价格的波动率的问题，实务中并不是假定波动率为常数，而是通过某一段时期的样本数据得出样本波动率并在稳定的条件下以此来对波动率进行估计，而这样的估计是与分布无关的，这也正是一种最简单的非参数的统计方法。2、非参数统计方法简单来说，非参数统计方法是一种不依赖于分布而最大限度地挖掘样本数据中所包含的信息来进行统计诊断的一种重要的统计方法。第十一页，共二十四页，2022年，8月28日这里我们不全面探讨非参数统计方法的方方面面，而是选择几种在金融分析中常用的统计诊断方法来进行简单阐述，它们就是多元统计分析中的判别分析、聚类分析、主成分分析等，这里我们介绍一下判别分析，其它的可参见相关统计参考书。(1)判别分析-距离判别马氏距离：判别分析第十二页，共二十四页，2022年，8月28日应用原理判别准则为：应用举例我们知道一般来说，投资者会把某一段时期的股市成为牛市，而把另一段时期的股票市场成为熊市。问题是怎样根据某一段时期的股市走势来较准确地判断牛熊市却并不是一个容易把握的问题。第十三页，共二十四页，2022年，8月28日我们可以按照这样的步骤来考虑这个问题。首先可以选取几个可以反映股市形势的重要指标，然后自我们公认的牛市及熊市的总体中选取两组不同的样本，用这些样本分别估计牛熊市的样本均值向量与样本协差阵；最后对于给定的一组新的样本，计算并比较此样本与牛熊市两总体的距离，进而从统计上判别分析的角度来判断牛熊市，从而为投资者进入或退出股票市场提供一定的理论支持。(2)判别分析-Bayesian判别

Bayesian判别的基础核心部分是在距离判别的基础上增加了先验信息这一项，也就是说在判别之前人们已经根据经验有了“先验”的认识，如主观上可能认为现在是牛市的概率比熊市的概率要大些，那这个先验的概率考虑进去后可能对由数据得出的距离判别产生主观上的影响。正是因为Bayesian判别的主观性以及它仍然是以距离判别为基础的，所以这里略。第十四页，共二十四页，2022年，8月28日(3)判别分析-Fisher判别返回第十五页，共二十四页，2022年，8月28日精算理论一、什么是精算精算是一门基于概率统计、金融、保险理论的一门新兴学科。主要任务是进行风险分析、产品（金融、保险产品）设计与定价、资产和债务管理等。进行精算工作的人员称为精算师，精算师职业是一种专业性非常强的职业，需要从业者具有扎实的数学、概率统计学、金融学及精算学的理论基础并通过相关专业协会组织的统一的职业资格认定考试。随着国内特别是上海的精算业的发展，精算师正成为真正的金牌职业。在保险公司甚至是银行、证券公司等金融行业中，精算工作已成为公司必不可少的甚至是关乎公司发展规划大计的重要工作，而在保险公司中取得相关专业协会认定的精算师人数的多少已直接成为衡量保险公司实力的最重要的指标。第十六页，共二十四页，2022年，8月28日二、精算学科的主要理论构成主要包括利息理论（复利数学）、寿险精算数学、寿险精算实务、非寿险精算实务、生命表理论等主要部分。其中利息理论是精算数学的理论基础，所有的其它理论部分都是建立在严格的复利数学的基础之上的；寿险精算与生命表理论是基于投保人的剩余寿命这一随机变量而进行的保单定价或准备金计算、风险评估等工作；而非寿险精算是对事物而不是对人的保险精算，如财产险，房产险，车险，火灾险，气象灾害险等等。由于内容太多而大家也没有系统学习过，所以我们特意挑选了利息理论中的确定型年金这一重要理论简单讨论。至于与投保人的剩余寿命相联系的不确定型年金的讨论，是寿险精算中一个非常重要的课题，有兴趣的可参见相关教材三、确定型年金(Annuity-Certain)1、什么是确定型年金第十七页，共二十四页，2022年，8月28日所谓确定型年金就是指确定数额的资金在确定的有规律的时间点（多为以年或月等）支付给投资人，这样的合约就是确定型年金。2、确定型年金的分类(1)等额确定型年金即每年初（或年末）支付相同数额的一系列的资金的支付。不失此种年金的现值为：此理论直接导致了分期付款支付方式的产生，如：购买一辆价值100000元的汽车，购车人可选择分期付款，五年付清，若年利率i=0.06，则我们可求得每期付款额第十八页，共二十四页，2022年，8月28日显然，若在这个利率下5年等额分期付款额超过R，则可以放弃此种还款方式。当然，如果分期付款额每期低于R，则马上选择这种支付方式。当然，商家不会傻成这样。反过来，如果让我们去卖汽车的话，让购车人选择分期付款，那么让他每期支付的金额不要低于R.现在购买汽车一般来说可以选择首付款占总款的某个比例，如果首付50%的话，那么五年分期的付款额就要发生变化了。可以求得：第十九页，共二十四页，2022年，8月28日下面我们从这两种方式利息的支付数额的角度来分析这两种支付方式的所谓优劣。对于这个问题的无首付款的购车者来说，5年之内共支付的利息数额为而对于首付款五成的购车者来说，5年内共需支付的利息数额为显然，支付的首付款的比例越大，则需支付的利息金额就越少，极限的情况如一次付清的情形则并不需要支付利息，但是如果要省利息当然要考研消费者的一次消费能力。第二十页，共二十四页，2022年，8月28日另外，如果还款间隔不是以年为单位，现在大多是按月还款，此时只要考虑月利率就可以了。事实上，按年金的方式来进行还款已经是大大的降低了利息的支付金额了，为说明这一个问题我们可以参考下面的一个例子。例：在上面的购车的例子中，分别计算按照下面三种还款方式所总共支付的利息金额。(1)本金与利息在5年后一次性支付；(2)每年末仅支付利息，本金在5年后支付；(3)按年金方式每年初支付一部分金额。解

第二十一页，共二十四页，2022年，8月28日(2)变额确定型年金

递增型年金则此年金的现值为

此种年金的还款方式对应着投资者在每年的还款额随着时间的推移而逐渐增多。也就是说如果投资者觉得自己的还款能力会随着时间的后移而有大幅度的提高的话，那么他可以选择这种还款方式。当然，这是一种按照还款额等差递增的方式进行的还款方式，也可以选择按照等比的原则，如下一期比上一期