学案直线与圆锥曲线的位置关系

学案直线与圆锥曲线的位置关系第一页，共三十页，2022年，8月28日考点一考点二考点三名师伴你行SANPINBOOK第二页，共三十页，2022年，8月28日返回目录

1.直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲线

，解决的方法是转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组

，进而转化为一元（一次或二次）方程解的情况去研究.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0..相交、相切、相离解的个数名师伴你行SANPINBOOK第三页，共三十页，2022年，8月28日Ax+By+C=0f(x,y)=0若消去y后得ax2+bx+c=0.（1）若a=0，此时圆锥曲线不会是

.当圆锥曲线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近线

.当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴

.（2）若a≠0，设Δ=b2-4ac.①Δ>0时，直线与圆锥曲线相交于

；②Δ=0时，直线与圆锥曲线

；③Δ<0时，直线与圆锥曲线

.另外，还能利用数形结合的方法，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系由消元（x或y）椭圆平行或重合平行或重合两个点相切相离名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第四页，共三十页，2022年，8月28日2.直线与圆锥曲线相交的弦长计算（1）当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用

求弦长.（2）解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，得到关于x(或y)的一元二次方程，设直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，直线斜率为k，则弦长公式为|AB|=或|AB|=

.两点间的距离公式名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第五页，共三十页，2022年，8月28日考点一直线与曲线的交点个数问题【例1】已知双曲线x2-y2=4，直线l:y=k(x-1)，讨论直线l与双曲线公共点个数.【分析】将直线l的方程与双曲线方程联立消元后转化为关于x（或y）的一元二次方程，利用“Δ”求解.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第六页，共三十页，2022年，8月28日y=k(x-1)x2-y2=4(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0(*)（1）当1-k2=0，即k=±1时,方程（*）化为2x=5,方程组有一解.故直线与双曲线有一个公共点，此时直线与渐近线平行.（2）当1-k2≠0，即k≠±1时,由Δ=4(4-3k2)>0得-<k<，且k≠±1时，方程（*）有两解，方程组有两解.故直线与双曲线有两个交点.【解析】联立方程组消去y，得名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第七页，共三十页，2022年，8月28日（3）当1-k2≠0，由Δ=4(4-3k2)=0得k=±时，方程组有一解，故直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相切.（4）当1-k2≠0，由Δ=4(4-3k2)<0得k<-或k>时，方程组无解，故直线与双曲线无交点.综上所述，当k=±1或k=±时，直线与双曲线有一个公共点；当-<k<-1或-1<k<1或1<k<时，直线与双曲线有两个公共点；当k<-或k>时，直线与双曲线无公共点.【评析】研究直线与双曲线位置关系时，应注意讨论二次项系数为0和不为0两种情况.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第八页，共三十页，2022年，8月28日＊对应演练＊在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q.（1）求k的取值范围；（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OP+OQ与AB共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第九页，共三十页，2022年，8月28日(1)由已知，得直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程，得+(kx+)2=1,整理，得(+k2)x2+2kx+1=0.①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4(+k2)=4k2-2>0,解得k<-或k>.即k的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞).名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第十页，共三十页，2022年，8月28日（2）设P(x1,y1),Q(x2,y2),则OP+OQ=(x1+x2,y1+y2),由方程①，得x1+x2=.②又y1+y2=k(x1+x2)+2，③而A(2,0),B(0,1),AB=(-,1).所以OP+OQ与AB共线等价于x1+x2=-(y1+y2),将②③代入上式，解得k=.由（1）知k<-或k>.故没有符合题意的常数k.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第十一页，共三十页，2022年，8月28日考点二弦长问题【例2】已知双曲线C1:=1,抛物线C2的顶点是坐标原点O，焦点是双曲线C1的左焦点F.（1）求抛物线C2的方程；（2）过F作直线（不垂直x轴）交抛物线C2于P，Q两点，使△POQ的面积为6（O为原点），这样的直线是否存在？若存在，求出直线的倾斜角；若不存在，请说明理由.【分析】（1）求出点F从而确定P，求出C2的方程.（2）利用弦长公式求|PQ|的长度，从而计算S△POQ.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第十二页，共三十页，2022年，8月28日【解析】（1）C1：=1,c2=a2+2a2=3a2,故c=|a|，依题意，抛物线C2的方程为y2=-4|a|·x.（2）设存在满足题意的直线PQ，其方程为y=k(x+|a|)(k≠0),即x=-|a|(k≠0),又设点P，Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),把x=-|a|代入抛物线C2的方程，化简并整理得ky2+4|a|y-12ka2=0,于是y1+y2=,y1y2=-12a2,∵(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=+48a2=,名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第十三页，共三十页，2022年，8月28日又原点O到直线PQ的距离为且S△POQ=6,故,化简得，即k2(1-a4)=a4.①∵当|a|≥1时，①不成立，∴|a|≥1时，直线PQ不存在；当|a|<1时，由①得k=,此时直线PQ存在且倾斜角为arctan或π-arctan.∴|PQ|=名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第十四页，共三十页，2022年，8月28日【评析】该题已知条件中没有说明a的取值范围，这一点正是我们容易疏忽的，双曲线C1的半焦距c=|a|，在实半轴长、虚半轴长和离心率这些量中都要注意a的取值.在弦长公式中，要注意两种形式的特点.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第十五页，共三十页，2022年，8月28日＊对应演练＊如图所示,在平面直角坐标系xＯy中，过定点Ｃ（０，p）作直线与抛物线x２＝２py（p＞０）相交于Ａ，Ｂ两点.（1）若点Ｎ是点Ｃ关于坐标原点Ｏ的对称点，求△ＡＮＢ面积的最小值；（2）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以ＡＣ为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第十六页，共三十页，2022年，8月28日消去y，得x２－２pkx－２p２＝０.解法一：（１）依题意，点Ｎ的坐标为Ｎ（０，－p），可设Ａ（x1，y１），Ｂ（x２，y２），直线ＡＢ的方程为y＝kx＋p，与x２＝２pyx２＝２pyy＝kx＋p.由韦达定理，得x１＋x２＝２pk，x１x２＝－２p２.于是Ｓ△ＡＢＮ＝Ｓ△ＢＣＮ＋Ｓ△ＡＣＮ＝·２p|x１－x２|＝p|x１－x２|＝＝p＝２p２，∴当k＝０时，（Ｓ△ＡＢＮ）min＝２p２.联立，得名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第十七页，共三十页，2022年，8月28日（２）假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，ＡＣ的中点为Ｏ′，l与ＡＣ为直径的圆相交于点Ｐ，Ｑ，ＰＱ的中点为Ｈ，则Ｏ′Ｈ⊥ＰＱ，Ｏ′点的坐标为.∵|O′Ｐ|＝|ＡＣ|＝|Ｏ′Ｈ|＝＝|2a－y1－p|，∴|PH|２＝|O′Ｐ|２－|Ｏ′Ｈ|２＝（2a－y1－p）２＝(a－)y１＋a（p－a），∴|ＰＱ|２＝（２|ＰＨ|）２令a－＝0，得a＝，此时|ＰＱ|＝p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y＝，即抛物线的通径所在的直线.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第十八页，共三十页，2022年，8月28日解法二：（１）前同解法一，再由弦长公式得|ＡＢ|＝|x1－x２|＝·＝·＝２p·.又由点到直线的距离公式，得点Ｎ到直线ＡＢ的距离为d＝，从而，Ｓ△ＡＢＮ＝·|ＡＢ|·d＝·２p··＝２p２，∴当k＝０时，（Ｓ△ＡＢＮ）max＝２p２.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第十九页，共三十页，2022年，8月28日（２）假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，则以ＡＣ为直径的圆的方程为（x－０）（x－x１）＋（y－p）（y－y１）＝０，将直线方程y＝a代入，得x２－x１x＋（a－p）（a－y１）=０，则Δ＝－４（a－p）（a－y１）=４.设直线l与以ＡＣ为直径的圆的交点为Ｐ（x３，y３），Ｑ（x４，y４），则有名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第二十页，共三十页，2022年，8月28日|ＰＱ|＝|x３－x４|＝令a－＝０，得a＝，此时|ＰＱ|＝p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y＝.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第二十一页，共三十页，2022年，8月28日考点三中点弦问题【例3】已知双曲线方程2x2-y2=2.（1）求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；（2）过点(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于Q1，Q2两点，且线段QNQ2的中点为(1,1)?如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.【分析】对于“弦中点”问题，往往用“点差法”来寻求斜率与中点坐标的关系.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第二十二页，共三十页，2022年，8月28日【解析】（1）设A(2,1)是弦P1P2的中点，且P1（x1,y1）,P2(x2,y2)，则x1+x2=4,y1+y2=2,∵P1,P2在双曲线上，∴∴2(x1+x2)(x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0,∴2×4(x1-x2)=2(y1-y2)，∴∴所求弦P1P2所在直线的方程为4x-y-7=0.将直线方程代入双曲线方程，整理成以x为变量的方程，经验证Δ>0.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第二十三页，共三十页，2022年，8月28日【评析】“点差法”使用的前提是以该点为中点的弦存在，因此利用此法求出的弦所在直线方程必须验证是否与曲线相交，即要验证Δ的符号.（2）假设直线l存在，由（1）中方法可求得直线方程为2x-y-1=0.2x2-y2=22x-y-1=0∵Δ=16-4×3×2=-8<0，因此直线与双曲线无交点，∴直线l不存在.联立方程得2x2-4x+3=0.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第二十四页，共三十页，2022年，8月28日＊对应演练＊如图所示，若椭圆=1上存在两点A，B，关于l:y=4x+m对称，求m的取值范围.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第二十五页，共三十页，2022年，8月28日解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2)，AB中点M(x0,y0).∵kAB，∴.

，∴3(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0,即3·2x0+2·2y0·=0,即3x0-y0=0.∴y0=6x0①∵A,B中点在l上,∴y0=4x0+m②由①②求得M(,3m),又M必在椭圆3x2+2y2=6内部,∵A,B在椭圆上，∴∴即名师伴你行SANPINBOOK返回目录

第二十六页，共三十页，2022年，8月28日解法二：设直线AB的方程为y=-x+n,y=-x+n=125x2-8nx+16n2-48=0,∵AB与椭圆有两个公共点A，B,∴方程有两实根，∴Δ>0，即n2<,设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=,