专题三-第一讲-等差数列、等比数列

第1讲等差数列、等比数列专题三数列

知考情研考题析考向战考场高频考点考情解读考查方式等差、等比数列的基本运算此知识点是高考命题的重点内容，一般不单独命题，常与数列的概念，性质，前n项和等相综合.多为客观题等差、等比数列的判定与证明等差(比)数列的证明是高考命题的重点和热点，多在解答题中出现，一般用定义法直接证明.多为解答题等差、等比数列的性质等差、等比数列的性质是高考的必考内容，以小题为主，十分灵活，解题时应主动发现题目中隐含的相关性质，运算简捷.多为选择题填空题[做考题查漏补缺](2011·大纲版全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn·已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn·1．(2011·辽宁高考)Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.解析：依据已知条件，得a3＋a4＋a5＋a6＝0，而由等差数列性质得，a3＋a6＝a4＋a5，所以，a4＋a5＝0，又a4＝1，所以a5＝－1.答案：－1[悟方法触类旁通]在等差或等比数列中，已知五个元素a1，an，n，d(或q)，Sn中的随意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”．本着化多为少的原则，解题时需抓住首项a1和公差d(或公比q)．[做考题查漏补缺]

[解](1)证明：当m＝1时，a1＝1，a2＝λ＋1，a3＝λ(λ＋1)＋2＝λ2＋λ＋2.假设数列{an}是等差数列，由a1＋a3＝2a2，得λ2＋λ＋3＝2(λ＋1)，即λ2－λ＋1＝0，Δ＝－3<0，∴方程无实根．故对于随意的实数λ，数列{an}确定不是等差数列．3．(2011·四川高考)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝ (

)A．3×44

B．3×44＋1C．43 D．43＋1解析：由an＋1＝3Sn⇒Sn＋1－Sn＝3Sn，即Sn＋1＝4Sn，又S1＝a1＝1，可知Sn＝4n－1.于是a6＝S6－S5＝45－44＝3×44.答案：A[悟方法触类旁通]推断或证明某数列是等差(比)数列有两种方法:一、定义法．二、中项法．定义法要紧扣定义，留意n的范围．若要否定某数列是等差(比)数列，只需举一组反例即可．对于探究性问题，由前三项成等差(比)确定参数后，要用定义证明．在客观题中也可通过通项公式，前n项和公式推断数列是否为等差(比)数列.等差数列等比数列性质(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(2)an＝am＋(n－m)d(3)Sm，S－Sm，S－S，…仍成等差数列(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq(2)an＝amqn－m(3)Sm，S－Sm，S－S，…仍成等比数列(Sn≠0)[联学问串点成面][做考题查漏补缺](2011·大连模拟)等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则“d>|a1|”是“Sn的最小值为S1，且Sn无最大值”的 (

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]依题意，当d>|a1|时，数列{an}是递增的数列，无论a1的取值如何，Sn的最小值为S1，且Sn无最大值；反过来，当Sn的最小值为S1，且Sn无最大值时，如当a1＝1，d＝0时，此时Sn的最小值为S1，且Sn无最大值，但不满足d>|a1|.综上所述，“d>|a1|”是“Sn的最小值为S1，且Sn无最大值”的充分不必要条件．[答案]

A5．(2011·济南模拟)已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为100，则a7·a14的最大值是 (

)A．25 B．50C．100 D．不存在[答案]

A答案：B解析：由等比数列的性质易得a4a5，a6a7，a8a9三项也成等比数列，由等比中项可得(a6a7)2＝(a4a5)·(a8a9)，解得a6a7＝±4.又a6a7＝a4a5·q4＝q4>0，故a6a7＝4.答案：2解析：由题意得2q2－2q＝4，解得q＝2或q＝－1.又{an}单调递增，得q＞1，∴q＝2.7．(2011·广东高考)已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.[悟方法触类旁通]等差数列与等比数列有很多类似的性质，抓住这些性质可以简化运算过程，在学习时要对比记忆，熟知它们的异同点，灵敏应用性质解题．