初一数学动点问题例题集

BPCQ文档来源为从网络收集整.word版可编辑欢下载支.初一数动点问题集BPCQ1、如图，已知中，厘米，BC厘米，D为的中点．（1）如果点P在线段BC上以米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点运动速度相等，经过秒后△BPD△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等当点

AQ的运动速度为多少时，能够△△CQP全等？

D（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点以

Q原来的运动速度从点B同时出发逆时针ABC三边

B

P

C运动，求经过多长时间点P与点Q第一次的哪条边上相遇？解）①∵t秒，∴

CQ

厘米，∵厘米，点DAB的中点，∴BD米．又∵厘米，∴

厘PCBC，BC

，∴．又∵AC∴

，∴

BPD△

．（4分）②∵

vPQ

，∴，又∵

BPD△

，

，则

，CQ

，∴点P，点运动的时间

BPt

秒，

OA文档来源为从网络收集整.word版可编辑欢下载支.OAv

5t4∴

厘米/秒．（7分）（2）设经过秒后点

P

与点第一次相遇，xx由题意，得4，解得

x

秒．∴点共运动了3厘米．∵

，∴点P、点在边上相遇，∴经过3秒点一次在边上相遇．（12分）2、直线

y

与坐标轴分别交于、B两点，动、Q时点出发，同时到达

A

点，运动停止．点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线→B→运动．（1）直接写出两点的坐标；（2）设Q的运动时间t秒，△的面积S求St之间的函数关系式；）当

S

时，求出点的坐标，并y直接写出以点

O、、Q

为顶点的平行四边形

B的第四个顶点M的坐标．解（1）A（8，0）B（0，6）1分（2）OAOB

POA

x

P，5123P，5123Q

文档来源为从网络收集整.word版可编辑欢下载支.点由O到A时间是1（秒）

点

P

的速度是

（单位/秒）1当

P

在线段OB运动（或0

t

）时，

OPtS1分当P在线段BA上运动（或

38

）时，

tt

,如图，作PDOA点D，由OQPDt2t

48tBO，得51分

1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分（3）

1分2424I，，，5

3分3如图，在平面直角坐标系中，直l：y=－2x－8分别与x轴y轴相交于A，B两点，点P（0，k是轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙Px轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？解）⊙P与x轴相切.∵直线y=－2x－8与x轴交于（4，0与y轴交于B（0，－8∴OA=4，OB=8.由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，∴⊙P与x轴相切.（2）设⊙P与直线l交于，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.3∵△PCD为正三角形，∴DE=

CD=

，PD=3，

文档来源为从网络收集整.word版可编辑欢下载支.3∴PE=2.∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB，∴

AO4,即=PB

，∴

3152

∴

BOPB

3152

，∴

3152

，∴

315k2

.315当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得－2－8)，315∴k=－

2

－8，315315∴当k=2－8k=－2－8，以⊙P直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.4如图1，在平面直角坐标系中，点O坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点从点A发，沿折线ABC方向以2单位／秒的速度向终点C匀速运动，设PMB的面积为（S≠0点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量的取值范围（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．解：

文档来源为从网络收集整.word版可编辑欢下载支.

QD图165在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向

点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q时出发，当Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t（1）当t=2时，AP=，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△的面积S与t的函数关系式不必写出t的取值范围）

，文档来源为从网络收集整.word版可编辑欢下载支.，（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．8解）1，5；（2）作QF⊥AC于点F，如图3，AQ=CP=t，∴

．由△AQF∽△ABC，

4

，QFt4QFt得5．∴5

．∴

1(3t2

，

即

2tt55

．

Q（3）能．①当DE∥QB时，如图4．∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED直角梯形．

D

图

此时∠AQP=90°．由△APQ∽△ABC，得AC

，t即3

．解得

t

98

．

②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形是直角梯形．此时∠APQ=90°．

Q15由△AQP∽△ABC，得ABtt8即5．解得．545tt（4）2或．

AP

，

DQ

图

G①点P由C向A运动，DE经过点C．连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．34(5)][4PC55

(5)]

．

D图

(E)Q

GD

图

(E)

3文档来源为从网络收集整.word版可编辑欢下载支.3345t)][4)]t由，得55，解得②点P由A向C运动，DE经过点C，如图．

．(6)

3)][4)]5

45t，

】6如图，在eq\o\ac(△,)中，ACB60O是的中点过O直线l从与AC重合

EO

l

C的位置开始，绕点O逆时针旋转，交

AB

边于点

D

．过

A

D

B点CE交直l于点E设直l的旋转角．度时，四边形是等腰（1）①当

A

O

C

B（备用图）梯形，此时AD的长为；②当

度时，边形是角时AD的为；（2）当

，判断四边EDBC是否为菱形，并说明理由．解（1）①30②60，1.5；……4分（2）当∠α=900时，四边形EDBC菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.∵CE//AB,∴四边形EDBC

是

平

行

四

边形.……6分在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,∴∠A=300.∴AB=4,AC=2.∴AO==3.……8在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2.∴BD=BC.又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形……10分

BMNDG文档来源为从网络收集整.word版可编辑欢下载支.BMNDG7如图梯形中，，DC，AB2，∠B45动点

M

从

B

点出发沿线段以每秒2个单位长度的

A速度向终点运动点N时从点发沿线段

CD以每秒1个单位长度的速度向终D运动．设运动的时间t秒．

B

M

N

C（1）求BC的长．（2）当MN时，t的值．（3）试探究：t为何值时△MNC为等腰三角形．解）如图①，D分别作K，BC于，则四边形是矩形∴

AD

1分在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)ABK中，

AKABsin．BKABcos45g4

2分在eq\o\ac(△,Rt)CDH中，由勾股定理得，

52

∴

BKKHHC

3分形

ADAD（2）如图②，过D作DG交BC于点，则四边形ADGB是平行四边N∵

MNAB

K

H

C

G

M

C∴（①）

（图②）∴∴

BGADGC

4分由题意知，当

M

、N运动t秒时，

，CM．

MC文档来源为从网络收集整.word版可编辑欢下载支.MC∵∴又∴

DGMN∠DGC∠GDC∴

CMCG

5分即

t

t解得，

t

6分（3）分三种情况讨论：①当NC时，如图③，即

t∴

t

7分AD

AD②当MNNC时，如图④，N作NEMC于N解法一：

E

NB由等腰三角形三线合一性质得

B110t2

MH

C（图③）cosc在eq\o\ac(△,Rt)CEN中，

5t

（图④）又在eq\o\ac(△,Rt)DHC中，3t5∴

c

5解得

t

8分解法二：∵

∠，

22文档来源为从网络收集整.word版可编辑欢下载支.22∴∴

△NEC△即

t

∴

t

8分③当MNMC时，如图⑤，过

M

作CN于

F

点.

1t2解法一方法同②中解法一）1t3cost5

ADt解得解法二：

B

HM

N

F

C∵∴∴即

∠MFC∽△1t10t3

（图⑤）∴

t

综上所述，当

ttt、或

时△等腰三角9分8如图1在等腰梯形ABCD中，ADBC，E是的中点，过点作EF于F．BC，∠B

.（1）求点

E

到的距离；

作交折线于点，连结，设AD△PMNAADDxFFFPP于点1分图1在中，∴2分2∴∴4分文档来作交折线于点，连结，设AD△PMNAADDxFFFPP于点1分图1在中，∴2分2∴∴4分（2）P线EF上的一个动点，PPMEF

M，M

.①当点在线段上（如图2）的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；A

②当N在线上时（如3存在P使

eq\o\ac(△,D)

为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明EEE解（1）如图1，过E

BCBE为的中点，

M

图2

CB

M图3

A

C

D∴

ABE

12

DAB

（第题）

D

E

FEERt△EBG∠B，∠BEG30

F

B

G

CB

∴

BG

CB1BE，EG22图备用）图（用）

C

图1即E的距离为分（2）①当在线段AD上运动时的形状不发生改变．∵

∵

∥BCGM

，

PM．同理

如图2，过PH，∵∠NMC，∠PMH30∴

，

A

N

D∴

PH

1PM22

．

E

P

H

F∴

MHPM

32

．

B

GM

图

C

2222则

文档来源为从网络收集整.word版可编辑欢下载支.MNMH．在△，

2

PH

2

3．∴△周长=PMMN37．

6分②当点N在线DC上运动时PMN的形状发生改变△MNC恒为等边三角形．当PMPN时，如图3作于R，则

类似①，

．∴

MNMR

7分∵是等边三角形，∴

MCMN此时，

MC．

8分A

D

A

D

A

DE

P

NF

E

P

F

E

F（）

N

NB

G

M

CB

G

M

CB

G

M

C图当MP时，如图4，这时

图4MCMNMP

图此时，

xGM．当NM时，如图5，NPMPMN则∴

∠PMN120MNC∠MNC180因此点P与重合△PMC为直角三角形．∴

MCPMtan30

此时，

文档来源为从网络收集整.word版可编辑欢下载支.综上所述，当或或时△PMN等腰三角形．10分9如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10，4点C在第一象限动点P在正方形ABCD的边上从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动当P点到达D点时两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x

（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点沿A→B→C→D匀速运动时，OPPQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t值；若不能，请说明理由．解）（1）1分点P运动速度每秒钟1个单位长度．2分（2）过点作⊥y轴于点F，⊥x轴于＝8，BE

．∴

AF

．在Rt△AFB中，

AB

10

3分

D过点

C

作

CG

⊥

轴于点

G

，与FB的延长线交于点．

C∵

90AB

∴△ABF≌△BCH．

M

∴

BF

．

F

H∴

CG

．

NQ

∴所求C点的坐标为（14，124分（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PNx则△APM∽△ABF．

轴于点N，AMMP∴ABAFBF

．

tAMMP108

．∴

34AM，PMtPN10tPMt5．∴55

．设△OPQ的面积为S（平方单位）133(10t)(1)tt∴2（0t≤10）5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．

10文档来源为从网络收集整.word版可编辑欢下载支.4710∵

<0∴当

t32)10

476

时，△OPQ的面积最大．分94此时P的坐标为（，10）．7分（4）

当

t

5295t3或13

时，OP与PQ相等．9分10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．

o

，且EF交正方形外角的平行线CF点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB中点，连接，则AM=EC，易证

△AME△

，所以AEEF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确出证明过程如果不正确请说明理由；（2）小华提出：如图3，点EBC的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．ADA

D

A

D

FF

FB

EC图

G

B

E图

GB

图

CG

文档来源为从网络收集整.word版可编辑欢下载支.解）正确．（1分）证明：在AB上取一点，使AM，连ME（2分）BE

．BME45135

A

DCF

是外角平分线，

M

FDCF

B

EC

GECFECF

．BAE90

90

CEF

．eq\o\ac(△,)AME△BCF（ASA分）AE．（6分）（2）正确．（7分）证明：在BA的延长线上取一点N．使ANCE连接．（8分）BNBE．

NAD

FNPCE45Q四边形ABCD正方形，AD∥．CEF．eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)ANEECF（ASA（10分）AE．（11分）

B

CEG11已知一个直角三角形纸，其

．如

OCy，C文档来源为从网络收集整.word版可编辑欢OCy，C图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于，D与边交于点．（Ⅰ）若折叠后使点

B

与点

A

重合，求点的坐标；

y（Ⅱ若折叠后点

B

落在上的点为

设

OB

B，试写出

关于的函数解析式，并确定的取值范围；

B

y

O

x（Ⅲ若折叠后点

B

落在边上的点为

且使

BOB求此时的坐标．

O

y

A

x解（Ⅰ）如图①，折叠后点△ACDBCD则.

B

与点

A

重合设的坐标为

.

O

x则

OB

.于是

BC

.在Rt△AOC中，由勾股定理，得

AC

OC

OA

，即

2

2

，解得

m

.

点的坐标为.分（Ⅱ）如图②，折叠后点OA边上的点为则

eq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)≌△

.由题设

y

，则

OBy

，在

eq\o\ac(△,Rt)

中，由勾股定理，得

OC

.

，

y00C0，ABCDCD文档来源为从网络收集整.word版可编辑欢下载支.y00C0，ABCDCDy2即6分由点

在OA，x

，

解析式

y2

2

为所求.Q

当

x

时，随的增大而减小，≤y≤y的取值范围为2.7分（Ⅲ）如图③，折叠后点OA边上的点为B

.则

.又CBeq\o\ac(△,Rt)COB.

.有

OBOA，OC

.9分在设

eq\o\ac(△,Rt)B中，

，则

.x2由（Ⅱ）的结论，得8，解得

xx

.

点的坐标为

.10分12问题解决如图（1将正方形纸片折叠，使点

B

落在边

A

M

F

D上一点E（不与，D重