第四章 轴向拉伸与压缩2012(3系3-6班)

第四章轴向拉伸与压缩本章重点

1、应力与应变的概念

2、拉压正应力及强度计算

3、金属材料拉伸和压缩时的力学性能

4、温度和时间对材料力学性能的影响

5、拉压变形计算

6、拉压超静定问题分析§4-1应力、应变及其关系

为何要讨论应力？杆件的强度取决于横截面上内力的分布集度应力一、应力

是一点处内力的集度，即单位面积上的内力应力的单位即帕斯卡Pa

应力是矢量，反映内力系在某一点的强弱程度。1GPa=103MPa=109Pa平均应力应力正应力：垂直于截面的应力分量剪应力：平行于截面的应力分量(切应力)应力具有以下三个特征：1、应力是在受力构件的某一截面上某一点处定义的，因此，讨论应力必须明确是在哪一个截面上的哪一点处；2、应力是矢量,可分为正应力和剪应力；3、整个截面上各点处的应力与微面积dA之乘积的合成，即为该截面上的内力。自物体内某一点的原位置到新位置所连线段的距离物体上的某一直线段旋转的角度线位移：角位移：二、应变线应变:平均线应变：剪应变大小剪应变（角应变）：正交线段夹角的变化在后面课程的学习中可知：线应变由正应力产生剪应变由剪应力产生线应变和剪应变是描述一点处变形程度的两个基本量，它们的量纲均为一。线应变没有单位，剪应变单位为rad三、剪应力互等定理

在相互垂直的两个平面上,剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同时指向或背离两平面的交线。证明：微元体单元体四、胡克定理线弹性：应力小于某一极限值时，材料的变形是弹性的，且应力与应变之间常呈线性关系。胡克定理：

=E

·

E:弹性模量剪切胡克定理:=G

·

G:剪切弹性模量轴力主线：强度、刚度、稳定性

分析方法：几何、物理、静力学正应力弯矩正应力扭矩剪应力剪力剪应力§4-2轴向拉伸与压缩正应力及其强度条件一、轴向拉伸与压缩正应力平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面。PPP圣维南(SaintVenant)原理：

作用于物体某一局部区域内的外力系，可以用一个与之静力等效的力系来代替。而两力系所产生的应力分布只在力系作用区域附近有显著的影响，在离开力系作用区域较远处，应力分布几乎相同。FFFFFF注意1、细长压杆易被压弯，属于稳定性问题；2、上述公式是由等截面直杆推得，对变截面直杆而言，若截面变化缓慢，可用上式计算，误差不大，为工程中所允许；3、由于截面尺寸突变而引起局部应力骤増的现象，称作应力集中。例1

悬臂吊车，斜杆AB为直径d=20mm的钢杆，起吊重物W=15kN，求AB的最大工作应力。AWBC0.8m1.9m解：1、分析AB受力、并求其内力:当W移到A点时AB杆受力最大，取结点A研究B0.8mACW1.9mAFNFNFNQFNABFNAC2、求AB杆的最大工作应力：

其最大工作应力为横截面上的应力

请思考：B0.8mACW1.9m1、W位于A点时，AB、AC为何种变形？2、W移至AC中任一位置时，有何变化？例2长为b，内径d=200mm，壁厚t=5mm的薄壁圆环，承受p=2MPa的内压力作用，试求圆环径向截面上的拉应力。2005p解：圆环在内压力作用下要均匀涨大，故在包括圆环轴线的任何径向截面上，作用有相同的法向拉力FNmmnnFNFN此半环上的内压力沿y方向的合力R为：RydR=∫л

0

(p·b·d·d/2)·sin=p·b·dFN=R/2=p·b·d/2=FN

/A=p·b·d/(2·b·t)=p·d/(2·t)=2·106·0.2/(2·0.005)Pa=40MPa壁厚远小于内径，可近似认为m-m、n-n上各点处正应力相等。当t

d/20时，这种近似足够精确。二、强度条件等直轴轴向拉压杆内的最大正应力:强度条件：式中： 称为最大工作应力 称为材料的许用应力

根据上述强度条件，可以进行三种类型的强度计算：一、校核杆的强度 已知FNmax、A、[σ]，验算构件是否满足强度条件二、设计截面 已知FNmax、[σ],根据强度条件，求A三、确定许可载荷 已知A、[σ]，根据强度条件,求FNmax解：满足强度条件例3：一直径d=14mm的圆杆，许用应力

[σ]=170MPa，受轴向拉力P=2.5kN作用，

试校核此杆是否满足强度条件。例4：图示三角形托架,其杆AB是由两根

等边角钢组成。已知P=75kN,[σ]=160MPa,

试选择等边角钢的型号。BACP45°45°解：BACP45°45°FNFN例5：简易起重设备中，AC杆由两根80×80×7等边角钢组成，AB杆由两根10号工字钢组成，许用应力[]=170MPa。求许可荷载[P]。解：研究节点A30。

BCAPAC受拉，AB受压。FN1

FN2

FN1=2P，FN2≈1.732P分别等于AC、AB的轴力查表：AC面积为A1=2×10.86cm2

AB面积为A2=2×14.345cm2

30。

BCAPFN1

FN2

A1=2×10.86

cm2A2=2×14.345

cm2[]=170

MPa[FN1]=[]×A1=369.24kN[FN2]=[]×A2=486.2kN[P1]=[FN1]/2=184.62kN[P2]=[FN2]/1.732=280.7kN[P]=[P1]=184.62kN§4-3

材料拉伸和压缩时的力学性能

材料在外力作用下表现出的变形和破坏方面的特性，称为材料的力学性能。§4-3-1

金属材料在常温静载下的力学性能一、低碳钢的拉伸实验实验条件：常温、缓慢平稳加载（静载）标准试件：标距，通常取或夹头夹头dl液压式万能试验机底座活动测试台活塞油管低碳钢——含碳量在0.3%以下的碳素钢。PA3钢试件的拉伸图：1、弹性阶段oab

这一阶段可分为：斜直线Oa和微弯曲线ab，该段范围内，试件变形是弹性的，卸载后变形可完全恢复。Oa段：变形是线弹性的，应力与应变成正比。直线Oa为线弹性区，其应力与应变之比称材料的弹性模量（杨氏模量）E，几何意义为应力--应变曲线上直线段的斜率。比例极限弹性极限2、屈服阶段bc屈服极限上屈服极限下屈服极限为下屈服极限

表面磨光的试件，屈服时可在试件表面看见与轴线大致成45°倾角的条纹。这是由于材料内部晶格之间相对滑移而形成的，称为滑移线。因为在45°的斜截面上剪应力最大。

强化阶段的变形绝大部分是塑性变形。强度极限3、强化阶段cd4、颈缩阶段de比例极限屈服极限强度极限其中和是衡量材料强度的重要指标延伸率:ll1截面收缩率:dd1材料力学性质的综合评述塑性材料：延伸率＞5%脆性材料：延伸率＜5%卸载定律冷作硬化现象经过退火后可消除冷作硬化常温下把材料预拉到塑性变形阶段，然后卸载，再次加载时，材料的线弹性范围将增大，使材料比例极限提高，而塑性降低。材料在卸载时应力与应变成直线关系冷作时效：拉伸至强化阶段后卸载，过一段时间后再拉，则其线弹性范围的比例极限还会有所提高残余应变（塑性应变）二、其它材料的拉伸实验

对于在拉伸过程中没有明显屈服阶段的材料，通常规定以产生0.2％的塑性应变所对应的应力作为屈服极限，并称为名义屈服极限，用0.2来表示。灰口铸铁的拉伸实验

没有屈服现象和颈缩现象,只能测出其拉伸强度极限切线模量：曲线在任意应变处的斜率，用割线模量：由原点至曲线上对应于任意应变点连线的斜率，用显然切线、割线模量是变量弹性模量割线切线三、金属材料压缩时的力学性能一般金属材料的压缩试件都做成圆柱形状。低碳钢压缩时的σ-ε曲线拉伸压缩测不出铸铁压缩时的σ-ε曲线拉伸压缩宜作受压构件§4-3-2

非金属材料在常温静载下的力学性能1、混凝土天然石料

脆性材料，一般只适用于作受压构件。受拉部分用钢筋加强岩石的单向压缩二、木材

各向异性材料，在工程中广泛用作柱、斜撑等承压构件。三、复合材料1、比强度和比刚度高2、具有可设计性

纤维复合材料的力学性能与纤维的铺设方向有很大关系，属于各向异性材料。§4-3-3

温度对材料力学性能的影响

一般来说，金属材料随着温度的降低，强度提高而塑性降低。

固体材料在保持应力不变的情况下，应变随时间缓慢增长的现象称为蠕变。粘弹性材料在总应变不变的条件下,变形恢复力（回弹应力）随时间逐渐降低的现象称为应力松弛。综上所述，衡量材料力学性能的主要指标有：

比例极限(或弹性极限)、屈服极限、强度极限、弹性模量、延伸率、断面收缩率等。

对于塑性材料来说，抵抗拉断的能力较好，常用的强度指标是屈服极限。而且，一般来说，拉伸和压缩时的屈服极限相同。

对于脆性材料来说，抗拉强度远低于抗压强度，强度指标是强度极限，一般用于受压构件。许用应力安全系数的选择n>1——安全系数

许用应力就是杆件被人为规定的实际应力允许达到的最高限度。对于塑性材料对于脆性材料例6

在低碳钢的实验中，测得弹性模量E=200GPa。若超过屈服极限后继续加载，当试样横截面的应力为=310MPa时，轴向线应变为=0.0215。试问相应的弹性线应变和残余线应变各为多少？

3100.0215解：弹性应变塑性应变=0.0215-0.00155=0.01995例7一根钢筋试件，E=210GPa，比例极限=210MPa，在轴力作用下，测得轴向线应变为0.001，试求此时的正应力。如果继续增加拉力，使试样的轴向线应变达到0.08，然后再逐渐卸除荷载，测得残余线应变为0.075，试问未卸载时钢筋横截面上的正应力为多大？解：为线弹性区加载装置拉伸装置压缩装置示力表盘§4-4

拉（压）变形计算一、纵向线应变与横向线应变纵向线应变横向线应变PP二、胡克定理当构件工作应力时，应力与应变成正比即考虑到即其中：E为弹性模量，EA称为抗拉（压）刚度或横向变形：单向应力状态下

时

称为横向变形系数或泊松(Poisson)比公式的应用范围与注意事项：2、构件的工作应力（线弹性范围内）；3、轴力、横截面面积A为常量——等直杆两端受轴向力。讨论：1、轴力变化时：1、l为“+”时伸长，为“-”时缩短。符号规定与轴力一致；拉为“+”，压为“-”；2、横截面变化时：CAB阶梯状杆BCA3、变截面杆：锥角较小，如≤10度PP例8：图示杆，1段为直径d1=20mm的圆杆，2段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。已知2段杆内的应力

2=-30MPa，E=210GPa，求整个杆的伸长△l。（不考虑应力集中）PP1230.2m0.4m0.2m解:（缩短）PP1230.2m0.4m0.2m例9：求图示结构结点A的垂直位移。

②①PABCEAlEAl②①P解:小变形条件下切线替代圆弧FFPN1N22==cosaDDllFlEAPlEA12N12===cosaN2FN1FBDC4m3m一、分析构件受力：取B点研究PPB例10：简单托架，BC杆为圆钢，直径d=20mm，BD杆为8号槽钢。[]=160MPa，E=200GPa，P=60kN。试求B点的位移。解:N1FN2FkNPFkNPF75454543N2N1-=-===（“-”表示与图示方向相反，为压力）N2F二、分析计算B点的位移假想把B节点松开受力后B点移到其位移BDC3mP4mFNFNBPN1FN2FBDC3mP4m水平位移（）铅垂位移=3.9mm（）FNFN例11：求图示结构结点A的位移。AEAEA21PlAEAEA21Pl解:取A点研究PA铅垂位移水平位移（）（）FPFN1N20==,N1FN2F例12：图示变截面杆左右两端直径分别为D、d,作用有轴向压力P，不计杆件自重，材料弹性模量为E，杆长l。试求杆件的变形。DdPP解:取微段dx研究xdx设距左端为x处横截面的直径为对微段来说（缩短）三、拉（压）杆超静定问题的解法引例:

在日常生活中乃至在工程中我们常常遇到仅靠静力平衡方程无法求得约束反力的例子。“两个和尚抬水吃，三个和尚没水吃”，恐怕是最早说到超静定问题的例子了。静定问题：若未知力（外力或内力）的个数等于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程即可解出全部未知力，这类问题称为静定问题，相应的结构称静定结构。超静定问题：若未知力（外力或内力）的个数多于独立的平衡方程的个数，仅用静力平衡方程便无法确定全部未知力，这类问题称为超静定问题或静不定问题.相应的结构称超静定结构或静不定结构多余约束：在静定结构上加上的一个或几个约束，对于维持平衡来说是不必要的约束（对于特定地工程要求是必要的）称多余约束。对应的约束力称多余约束反力（B—固定端约束）

由于超静定结构能有效降低结构的内力及变形，在工程上（如桥梁等）应用非常广泛。超静定次数：未知力个数与平衡方程数之差，也等于多余约束数PACRABRB

把超静定问题转化为静定问题解，但必须满足原结构的变形约束条件。1、选取基本静定结构（静定基如图），B端解除多余约束，代之以约束反力解：FCBA例13

杆上段为铜，下段为钢杆，杆的两端为固支,求两段的轴力。3、比较两次计算的变形量，其值应该满足变形相容条件，建立方程求解。2、求静定基仅在原有外力作用下和仅在代替约束的约束反力作用下于解除约束处的位移FCBA

拉（压）杆超静定问题的解法

——几何变形法

解超静定问题必须找出求解所有未知约束反力所缺少的补充方程。结构变形后各部分间必须象原来一样完整、连续、满足约束条件----即满足变形相容条件（变形协调条件）。关键：变形协调条件注意：力与变形一致例14：图示结构1、2杆抗拉刚度为解:

1、画A结点受力图，建立平衡方程F未知力个数3个，平衡方程数2个，故为一次超静定。①A123Axy在F力作用下，求各杆内力。FFN1FN2FN3FA2133、代入物理关系，建立补充方程②③2、如图三杆铰结，画A结点位移图,列出变形相容条件。要注意所设的变形性质必须和受力分析中设定的力的性质一致。由对称性知4、联立