第8章数字PID及其算法

第8章数字PID及其算法第8章数字PID及其算法主要内容PID算法的数字实现2PID控制1PID算法的改进3PID参数的整定方法4闭环控制结构概述

1、PID（ProportionalIntegralDifferential）控制

PID意为比例、积分、微分，PID控制是自动控制中一种重要的控制方法。

2、PID控制实现的方式

模拟方式：用电子电路调节器，在调节器中，将被测信号与给定值比较，然后把比较出的差值经PID电路运算后送到执行机构，改变给进量，达到调节之目的。

数字方式：用计算机进行PID运算，将计算结果转换成模拟量，输出去控制执行机构。

3、计算机控制系统的优点

一机多用；控制算法灵活；可靠性高；可改变调节品质、提高产品产量和质量；安全生产、改善工人劳动条件等。

概述（2）

4、计算机控制的任务就是设计一个数字调节器，常用以下控制方法：

程序和顺序控制比例—积分—微分控制（简称PID控制）直接数字控制最优控制

生产管理及生产过程始终处于最佳工作状态，亦叫自适应控制。模糊控制 把设计者的控制决策（目标）用模糊规则加以描述，即可实现模糊控制。连续化设计的基本思想

把整个控制系统看成是模拟系统，利用模拟系统的理论和方法进行分析和设计，得到模拟控制器后再通过某种近似，将模拟控制器离散化为数字控制器，并由计算机来实现。

D(s)模拟化设计步骤

按照对数频率特性法、根轨迹法等连续系统的校正方法，设计假想的模拟控制器D(S)。正确地选择采样周期T。将D(S)离散化为D(Z)求出与D(S)对应的差分方程根据差分方程编制相应程序。PID控制器结构图8.1PID调节

8.1.1PID调节器的优点

8.1.2PID调节器的作用

8.1.1PID调节器的优点

PID调节器之所以经久不衰，主要有以下优点。1.技术成熟2.易被人们熟悉和掌握3.不需要建立数学模型4.控制效果好8.1.2PID调节器的作用

1.比例调节器2.比例积分调节器3.比例微分调节器4.比例积分微分调节器

1.比例调节器

比例调节器的微分方程为：u(t)=KPe(t)式中：U(t)为调节器输出；Kp为比例系数；e(t)为调节器输入偏差e(t)=R-y(t)y(t)为被控变量R为y(t)的设定值。由上式可以看出，调节器的输出与输入偏差成正比。因此，只要偏差出现，就能及时地产生与之成比例的调节作用，具有调节及时的特点。比例调节器的特性曲线，如图8-1所示。图8-1阶跃响应特性曲线比例作用Kp增大，系统振荡增强，稳定性下降Kp增大，系统静差减小，但不能消除静差Kp无延时环节，快速性好，响应快比例调节的优缺点优点:调节及时调节作用强缺点:存在静差。∴对于扰动较大，惯性也较大的系统，纯比例调节就难以兼顾动态和静态特性，因此，需要比较复杂的调节器。2.比例积分调节器所谓积分作用是指调节器的输出与输入偏差的积分成比例的作用。积分方程为：式中：TI是积分时间常数，它表示积分速度的大小，TI越大，积分速度越慢，积分作用越弱。积分作用的响应特性曲线，如图8-2所示。图8-2积分作用响应曲线积分作用特点

⑴调节作用的输出与偏差存在的时间有关，只要偏差存在调节器的输出就会随时间增长，直至偏差消除。所以，积分作用能消除静差。（2）积分作用缓慢，且在偏差刚刚出现时，调节作用很弱，不能及时克服扰动的影响，致使被调参数的动听偏差增大，因此，很少单独使用。若将比例和积分两种作用结合起来，就构成PI调节器，调节规律为：PI调节器的输出特性曲线如图所示。图PI调节器的输出特性曲线

说明：

当阶跃作用时，首先有一个比例作用输出，随后在同一方向上不，在y1的基础上，输出不断增加，这便是积分作用。如此，即克服了单纯比例调节存在静差的缺点，又克服了积分作用调节慢的缺点，即静态和动态特性都得到了改善，因此得到了广泛的应用。3.比例微分调节器微分调节器的微分方程为：微分作用响应曲线如图所示。比例―微分调节器图中，当偏差刚一出现，PD调节器输出一个大的阶跃信号，然后微分输出按指数下降，最后，微分作用完全消失，成为比例调节。可通过改变TD来改变微分作用的强弱。此种调节速度快（动态特性好），但仍有静差存在。

图8.5PD调节作用的阶跃响应曲线微分作用的特点其输出只能反映偏差出入变化的速度，对于一个固定的偏差，不论其数值多大，都不会引起微分作用，因此，它不能消除静差，而只是在偏差刚刚出现时产生一个大的调节作用。

微机控制技术4.比例积分微分调节器为了进一步改善调节品质，往往把比例、积分、微分三种作用组合起来，形成PID调节器。理想的PID微分方程为：图PID调节器对阶跃响应特性曲线返回本节返回本节由图中可以看出，P、I、D三作用调节器，在阶跃信号的作用下，首先产生的是比例―微分作用使调节作用加强。而后进入积分，直到最后消除静差。因此，PID调节从动态、静态都有所改善，他是应用最广的调节器。值得说明的是，并非所有的调节器都需要PID调节器，某些系统也采用PI调节器或PD调节器，这需要根据系统的具体情况，通过实验来决定。8.2PID算法的数字实现概述PID调节是连续系统中技术最成熟、应用最广泛的一种调节方式。PID调节的实质是根据输入的偏差值，按比例、积分、微分的函数关系进行运算，其运算结果用于输出控制。在实际应用中，根据具体情况，可以灵活地改变PID的结构，取其一部分进行控制。8.2PID算法的数字实现（2）8.2.1PID算法的数字化

1、模拟系统的PID算法表达式

在模拟系统中，PID算法的表达式为：

(8-1)

式中u(t)----调节器的输出信号e(t)----调节器的偏差信号，它等于测量值与给定值之差KP—调节器的比例系数TI---调节器的积分时间TD---调节器的微分时间8.2PID算法的数字实现（3）2、离散系统的PID算法表达式对式（8-1）进行离散化处理，用数字形式的差分方程代替连续系统的微分方程，则积分项和微分项可用求和及增量式表示：（8-2）（8-3）

（1）位置型PID控制算式将式（8-2）和式（8-3）代入式（8-1），则可得离散的PID表达式（8-4）式中Δt=T----采样周期，必须使T足够小；k----采样序号，k=0，1，2…. E（k）、E(k-1)----第k次和第（k-1）次采样时的偏差值u（k）----第k次采样时调节器的输出8.2PID算法的数字实现（4）由于式（8-4）的输出值与阀门开度的位置一一对应，因此，通常把式（8-4）称为位置型PID控制算式。

（2）增量型PID控制算式式（8-4）不仅计算繁琐，而且为保存E（j）要占用很多内存。因此，用该式直接进行控制很不方便。做如下改动，根据递推原理，可写出（k-1）次的PID输出表达式：用式（8-4）减去式（8-5），可得：（8-6）式中KI=KPT/TI----积分系数KD=KPTD/T----微分系数8.2PID算法的数字实现（5）由（8-6）可知，要计算k次输出值u（k），只需知道u（k-1），E（k-1），E（k-2）即可。在很多控制系统中，控制机构采用的是步进电机或多圈电位器，所以只要给出一个增量信号即可。式（8-4）与式（8-5）相减得：（8-7）式中KP、KD同式（8-6）。

式（8-7）叫增量型PID控制算式。8.2PID算法的数字实现（6）（3）计算机实现PID控制原理图8.2PID算法的数字实现（8）

（4）增量型PID控制的优点与不足：优点：

１）增量算法控制误动作影响小２）增量算法控制易于实现手动／自动无扰动切换３）不产生积分失控，易获得较好的调节品质

缺点：１）积分截断效应大，有静态误差２）溢出影响大在实际应用中，应根据被控对象的实际情况加以选择。一般认为，在以闸管或伺服电机作为执行器件，或对控制精度要求较高的系统中，应当采用位置型算法；而在以步进电机或多圈电位器作执行器件的系统中，则应采用增量式算法。

8.2PID算法的数字实现（8）（5）速度型PID控制算法

由式（8-8）得

T是采样周期，为常量，式（8-8）与式（8-8）没有多大区别，使用的也不多。

8.2PID算法的数字实现（9）8.2.2PID算法的程序设计1、位置型PID算法的程序设计

由式（8-4）可写出k次采样时PID的输出表达式（8-9）式中KI、KD同式（8-6）思路：将三项拆开，并应用递推进行编程设比例输出：Pp(k)=KPE(k)积分项输出：8.2PID算法的数字实现（10）微分项输出：

所以，式（8-9）可写为

（8-10）该式即为离散化的位置PID编辑公式。其流程图如右图所示，8.2PID算法的数字实现（11）2、增量型PID算法的程序设计

由式（8-8），设代入式（8-8）得（8-11）此即为离散化的增量型的PID编程表达式。增量型PID算法程序流程图如右图所示。8.3PID算法改进由于计算机控制系统的灵活性，除了按式（8-6）和式（8-8）进行标准的PID控制计算外，可根据系统的实际要求，对PID控制进行改进，以达到提高调节品质的目的。本节介绍几种非标准的PID算式。

8.3.1不完全微分的PID算式

1、问题---微分项的副作用微分项的引入，主要是提高系统的响应速度，但也有副作用。当阶跃信号输入时，微分项输出急剧增加，容易引起超调和输出振荡，导致调节品质下降。

2、解决方法----PID不完全微分为了解决这一问题，同时要保证微分作用有效，可以参照模拟调节器的方法，采用不完全微分的PID算式，其传递函数表达式为：

（8-15）

多了分母，其影响为：1）变化剧烈时影响大；2）微分增益有影响。8.3PID算法改进（2）式中P(S)——PID输出量算子形式E(S)——偏差信号算子形式------实际比例放大系数------实际积分时间------实际微分时间------实际微分增益

8.3PID算法改进（2’）完全PID算式的传递函数推导用PID算式（8-1）（8-1）作拉普拉斯变换，用第6页中的拉氏变换定理（积分、微分定理），并根据传递函数的定义，得完全PID算式对应的传递函数：3、不完全微分PID算式的推导1）比例积分项的推导完全微分传递函数，用于与式（8-15）对比8.3PID算法改进（3）将式（8-15）分成比例积分和微分两部分，则其中，（8-15A）由式（8-4）或者对式（8-15A）作拉氏反变换（8-15B）得的差分算式（8-16）2）微分项的推导的差算式较复杂些，首先将其变化成微分方程式，即比例积分项8.3PID算法改进（4）用微分代替拉氏算子（作拉氏反变换）可得：用增量代替微分项，设采样周期Δt=T，则第k次采样时有

两边乘以T，化简上式可得两边除以PD(k)的因子，整理得（8-18）式中均为常数

由微分项8.3PID算法改进（5）若将式（8-16）和式（8-17）合并，则可得到不完全微分的PID算式：（8-18）它与理想的PID算式（8-4）相比，多了一项k-1次采样的微分输出量αPD(k-1)。

在标准的PID算法中，加入一个一阶惯性环节，也可以组成不完全微分的数字控制器。

8.3PID算法改进（6）4、不完全微分PID的输出特性在单位阶跃信号作用下，完全微分与不完全微分输出的差异，如下图所示。易引起振荡和超调系统稳定8.3PID算法改进（8）8.3.2积分分离的PID算式

1、问题积分项副作用

在一般的PID调节控制中，由于系统的执行机构线性范围受到限制，当偏差E较大时，如系统在开工、停工或大幅度升、降时，由于积分项的作用，将会产生一个很大的超调量，使系统不停的振荡。

这种现象

对于变化比较缓慢的对象，如温度、液面调节系统，其影响更为严重，而在一般模拟调节系统（电子调节仪）中也存在。

2、解决方法

积分分离

思路：在控制量开始跟踪（随控制对象变化）时，取消积分作用，直至被调量接近给定值时，才产生积分作用。8.3PID算法改进（8）

作法：设给定值为R（k），经数字滤波后的测量值为M（k），最大允许偏差值为A，则积分分离控制的算式为例如：设R（k）为本次（第k次）采样给定的转速值，M（k）为第k次采样的采集到的转速值，设最大允许偏差值为A为20转/分。8.3PID算法改进（9）3、积分分离输出特性

见下图。4、积分分离程序流程实现积分分离控制的程序流程图如右图所示。8.3PID算法改进（10）8.3.3变速积分的PID算式

1、问题在一般的PID调节算法中，由于积分系数KI是常数，所以在整个调节过中，积分增益不变。而系统对积分项的要求是，系统偏差大时，积分作用减弱以至全无，而在偏差较小时则应加强积分作用。否则，积分系数取大了会产生超调，甚至出现积分饱和；取小了又迟迟不能消除静差。

2、解决方法----变速积分

思路：改变积分项的累加速度，使其与偏差大小相对应。偏差大时，积分累加速度慢，积分作用弱；反之，偏差小时，使积分累加速度加快，积分作用增强。

8.3PID算法改进（11）

方法：设置一系数f[E(R)]，它是E(k)的函数，当|E(k)|增大时，f减小，反之则增大。每次采样后，用f[E(R)]乘以E(k)，再进行累加，则PID算式中的变积分项为

（8-20）的关系可以是线性或高阶的，如设其为(8-21)f的值在0~1区间内变化，当偏差大于所给分离区间A+B后，f=0，不再累加；|E(k)|≤(A+B)后，f随偏差的减小而增大，累加速度加快，直至偏差小于B后，累加速度达到最大值1。

8.3PID算法改进（12）

将PI’代入PID算式得（8-22）

变速积分的优点（与普通PID相比）：（1）实现了用比例作用消除大偏差，用积分作用消除小偏差的理想调节特性，从而完全消除了积分饱和现象；（2）大大减小了超调量，可以很容易地使系统稳定，改善了调节特品质；（3）适应能力强，一些用常规PID控制不理想的过程可以采用此种算法；（4）参数整定容易，各参数间的相互影响小，而且对A、B两参数的要求不精确，可作一次性确定。

8.3PID算法改进（13）

3、变速积分与积分分离的比较二者很类似，但调节方式不同。积分分离对积分项采用“开关”控制，而变速积分则是根据误差的大小改变积分项速度，属线性控制。因而，后者调节品质大为提高，是一种新型的PID控制。8.3PID算法改进（14）8.3.4带死区的PID算式

1、问题在微型机控制系统中，某些系统为了避免控制动作过于频繁，以消除由于频繁动作所引起的振荡，可采用带死区的PID控制系统，如图8-14所示。

死区的PID概念：是人为地设置一个不灵敏区域B，当偏差E(t)的绝对值B时，其控制输出乘以一个小于1的因子K，使其输出小于正常输出，弱化控制。避免频繁动作所引起的振荡。8.3PID算法改进（15）

2、解决方法带死区的PID控制算式为（8-23）式中K为死区增益，其数值可为：0、0.25、0.5、1等。

在图8-14中，死区B是一个可调的参数。其具体数值可根据实际控制对象由实验确定。B值太小，使调节动作过于频繁，不能达到稳定被调对象的目的。如果B取得太大，则系统将产生很大的滞后。当B=0（或K=1）时，则为PID控制。8.3PID算法改进（16）3、带死区的PID控制流程图带死区的PID控制程序取数字滤波后的数据M(k)求偏差E(k)=R(k)-M(k)计算ΔP(k)ΔP(k)=KΔP(k)|E(k)|≦B?NY8.3PID算法改进（18）8.3.5PID比率控制

1、问题在化工、冶金、建材等工业生产中，经常需要将两种或更多种物料以一定的比例混合或参加化学反应，所以PID比率控制是一个重要而有广泛的应用。

2、实例1----煤气加热炉控制

1）电子模拟控制系统PID算法改进

2）计算机控制系统见下图。

3）计算机控制流程图见右图。

E(k-1)Kp[E(K)-E(k-1)]8.3PID算法改进（19）8.3.6实际使用的PID算法

一般用含有比例项、不完全微分项和变速积分项的PID算式。8.4PID参数的整定方法8.4.0问题

问题1：PID控制中的参数的确定在数字控制系统中，参数的整定是十分重要的，调节系统参数整定的好坏直接影响调节品质。

问题2：采样周期T的确定一般的生产过程都具有较大的时间常数，而数字PID控制系统采样周期则要小得多，所以数字调节器的参数整定，完全可以按照模拟调节器的各种参数整定方法进行分析的综合。但是，数字控制器与模拟调节器相比，即除了比例系数积分时间和微分时间外，还有一个重要的参数——采样周期T。合理的选择周期T，也是数字控制系统的关键问题之一。

8.4PID参数的整定方法（2）8.4.1采样周期T的确定

采样频率有下限

由香农（Shannon）采样定理可知，当采样频率的下限为时，系统可真实地来的连续信号。

采样周期T小一些好从理论上讲，采样频率定理可知，采样频率越高，失真越小。但是从控制器本身而言，大都是依靠偏差信号E（k）进行调节计算的。当样周期T太小时，偏差信号E(k)也会过小，此时计算机将会失去调节作用；采样周期T过长又会引起误差。

8.4PID参数的整定方法（3）影响采样周期T的因素1）被控对象的扰动频率

扰动频率愈高，采样频率也应提高，采样周期应缩短。

2）被控对象的动态性

主要是与被控对象的纯滞后的时间θ及时间常数τ有关。当纯滞后比较显著时，采样周期T与纯滞后时间θ基本相等。3）所使用控制算法及执行机构的类型

如采用大林算法及应用气动执行机构时，其采样周期比较长，而最快无波纹系统及使用步进电机等采样周期就比较短。4）控制的回路数控制的回路越多，则T越大，否则T越小。5）对象所要求的控制质量一般来说，控制精度要求越高，采样周期越短，以减小系统的纯滞后。

8.4PID参数的整定方法（4）采样周期的确定方法有两面种方法：计算法和经验法。计算法由于比较复杂，特别是被控系统各环节时间常数难以确定，所以工程上用的比较少。工程上应用最多的还是经验法。

所谓经验法实际是一种凑试法。即根据人们在工作实践中积累的经验以及被控对象的特点、参数，先粗选一个采样周期T，送入计算机控制系统进行试验，根据对被控对象的实际控制效果，反复改T，直到满意为止。经验法所采用有采样周期，如下表所示。8.4PID参数的整定方法（5）被测参数采样周期(S)说明流量1—5优先选用1—2s压力3—10优先选用6—8s液位6—8优先选用8s温度15—20或纯滞后时间，串级系统：副环T=1/4—1/5T主环成分15—20优先选用18s表8-1采样周期的经验数据8.4PID参数的整定方法（6）8.4.2扩充临界比例度法扩充临界比例度法是一种简易工程参数整定方法。它是基于模拟调节器中使用的临界比例度法的一种PID数字调节器参数整定方法。用这种方法整定参数T、KP、TI、和TD的步骤如上：

（1）选择一个足够短的采样周期Tmin例如带有纯滞后的系统其采样周期取纯滞后时间的1/10以下。

（2）求出临界比例度δu和临界振荡周期Tu

具体方法是，将上述的采样周期Tmin输入到计算机控制系统，并只有比例控制，逐渐增大比例系数KP，直到系统产生等幅振荡。此时的比例系数即为临界比例度δu，相应的振荡周期称为临界振荡周期Tu

。

（3）选择控制度

所谓控制度，就是以模拟调节器为基准，将DDC的控制效果与模拟调节器控制效果相比较，其评价函数通常采用误差平方积分表示8.4PID参数的整定方法（8）（8-24）对于模拟系统，其误差平方积分可按记录纸上的图形面积计算。而DDC系统可用计算机直接计算。通常当控制度为1.05时，表示DDC系统与模拟系统控制效果相当；当控制度为2.0时，控制质量差一倍。

（4）根据控制度，查表8-2求出参数

（5）将参数加到系统中调试运行。8.4PID参数的整定方法（8）表8-2扩充临界比例度法整定参数表

δu：临界比例度；Tu：临界振荡周期；控制度控制规律TKPTITD1.05PI0.03Tu0.53δu0.88Tu--PID0.014Tu0.63δu0.49Tu0.14Tu1.2PI0.05Tu0.49δu0.91Tu--PID0.043Tu0.48δu0.48Tu0.16Tu1.5PI0.14Tu0.42δu0.99Tu--PID0.09Tu0.34δu0.43Tu0.20Tu2.0PI0.22Tu0.36δu1.05Tu--PID0.16Tu0.28δu0.4Tu0.22Tu8.4PID参数的整定方法（9）

8.4.3扩充响应曲线法

上述参数整定方法，不需要事先知道对象的动态特性，而是直接在闭环系统中进行整定。如果已知系统的动态特性曲线，那么就可以与模拟调节方法一样，采用扩充响应曲线法进行整定。其步骤如下：（1）断开数字调节器，使系统在手动状态下工作。当系统在给定值处达到平衡以后，给一阶跃输入。如下页图（a）所示。（2）用仪表记录下被调参数在此阶跃作用下的变化过程曲线。如下页图（b）所示。（3）在曲线最大斜率处，求得滞后时间θ、被控对象时间常数τ，以及它们的比值τ/θ。（4）根据所得求τ、θ和τ/θ的值，查表8-3，即可求出控制器的。8.4PID参数的整定方法（10）8.4PID参数的整定方法（11）

表8-3扩充响应曲线法整定参数

控制度控制规律TKPTITD1.05PI0.1θ0.84τ/θ

0.34θ--PID0.05θ0.15τ/θ

2.0θ0.45θ1.2PI0.2θ0.88τ/θ

3.6θ--PID0.16θ1.0τ/θ

1.9θ0.55θ1.5PI0.5θ0.68τ/θ

3.9θ--PID0.34θ0.85τ/θ

1.62θ0.65θ2.0PI0.8θ0.58τ/θ

4.2θ--PID0.6θ0.6τ/θ

1.5θ0.82θ8.4PID参数的整定方法（12）

8.4.4归一参数整定法以上两种方法特别用于被控对象是一阶滞后环节，且麻烦。1984年，Roberts提出一种简化扩充临界比例度整定法。由于该方法只需整定一个参数即可，故称其为归一参数整定法。PID归一参数整定法的指导思想是：根据经验数据，对多变量、相互耦合较强的系数，人为地设定“约束条件”，以减少变量的个数，达到减少整定参数数目、简易、快速中档参数之目的。已知增量型PID控制的公式为

（8-25）8.4PID参数的整定方法（13）根据经验规律，可以设置各个时间参数之间的关系，即“约束条件”，设

T=0.1TuTI=0.5TuTD=0.125Tu式中Tu为纯比例下的临界振荡周期，代入上式化简得（8-25）该式此即为归一化参数的PID算式。式中只有一个参数KP，通过实验对其调整，便会达到满意的控制效果。

参数KP实验确定方法：1）给一阶跃输入，记录输出曲线，如速度、压力、温度等变化曲线，调整参数KP值，使曲线尽量接近理想曲线，如下页图所示。2）实际运行，再进一步调整参数KP值，使实际控制效果达到最佳。8.4PID参数的整定方法（14）8.4PID参数的整定方法（15）

8.4.5优选法对于PID参数的整定，目前应用最多的还是经验法。即根据具体的调节规律，不同调节对象的特证，经过闭环试验，反复凑试，找出最佳调节参数。这里所介绍的优选法，也是经验法的一种，即用优选法对自动调节参数进行整定的方法。其具体作法是根据经验，先把参