第二章导数的概念(1.2)

引言从15世纪初文艺复兴时期起,欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展,形成了一个新的经济时代.而十六世纪的欧洲,正处在资本主义萌芽时期,生产力得到了很大的发展.生产实践的发展对自然科学提出了新的课题,力学、天文学等基础科学的发展,而这些学科都是深刻依赖于数学的,因而也推动了数学的发展.在各类学科对数学提出的种种要求中,下列三类问题导迫切要求引言类学科对数学提出的种种要求中,下列三类问题导致了微分学的产生:(1)(2)(3)这三类实际问题的现实原型谓函数的变化率问题.牛顿从第一个问题出发,尼茨从第二个问题出发,为莱布完在数学上都可归结函数相对于自变量变化而变化的快慢程度,即所分别给出了导数的概念.求变速运动的瞬时速度;求曲线上一点处的切线;求最大值和最小值.瞬时速度

已知物体作变速直线运动,其运动方程为s＝s(t)(ｓ表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度．

如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0,在时刻t0+Δt的位置是s(t0+Δt)=OA1,则从t0

到t0+Δt这段时间内,物体的位移是:在时间段(t0+Dt)－t0=Dt

内，物体的平均速度为:

平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也即需要通过瞬时速度来反映.

如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t+Δt这段时间内，当Δt0

时的平均速度:PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.

求曲线y=f(x)在点M(x0

y0)处的切线的斜率

在曲线上另取一点N(x0+x

y0+y)作割线MN

设其倾角为j

观察切线的形成

引例2.平面曲线的切线问题

当x0时动点N将沿曲线趋向于定点M从而割线MN也将随之变动而趋向于切线MT

此时割线MN的斜率趋向于切线MT的斜率

.产品总成本的变化率当产量由变到时,总成本相应的改变量为故当产量由变到时,总成本的平均变化率为当时,如果极限存在,则称此极限是产量为时的总成本的变化率.完

上面三个例子分别属于不同领域,一为运动问题，一为几何问题,一为经济问题，但都要求计算函数值的改变量与自变量的改变量之比,在当自变量的改变量无限趋于零时比值的极限.此外,很多理论或实际问题,也要求计算这种类型的极限,脱离这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性,便得出函数导数的概念.二、导数的定义定义设函数在点的某个领域内有定义,当自变量在处取得增量(点仍在该领域内)时,相应地函数取得增量若与之比当时的极限存在,处可导,并称这个极限为函数在点处的导数,记为则称函数在点或即导数定义的其它形式:令令完

如果上述极限不存在则称函数f(x)在点x0处不可导

关于导数的几点说明它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度;(1)(2)就称函数在开区间内可导;(3)且及都存在,就称在闭区间上可导;导,点导数是因变量在点处的变化率,如果函数在开区间内的每点处都可如果在开区间内可导,

函数f(x)在开区间(a

b)内可导是指函数在区间内每一点可导

函数f(x)在闭区间[a

b]上可导是指函数f(x)在开区间(a

b)内可导且在a点有右导数、在b点有左导数

关于导数的几点说明(4)都对应着的一个确定的导数值,个函数叫做原来函数的导函数,记作这或注意:(i)(ii)的逼近函数.完导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率利用定义求导数1.(1)(2)(3)按定义求导的基本步骤:求函数的增量求两增量的比值求极限利用定义求导数例1求函数在处的导数解当由1变到时,函数相应的增量为所以完左右导数函数在点处导数增量与自变量的增量比值的极限,因而根据左右极限的概念概念:左导数实质上是函数在这点的下列方式引入左右导数的我们可按定理1函数在点处可导左导数和右导数都存在且相等.完注:该定理常被用于判定分段函数在分段点处是否可导.右导数补例解求函数处的导数.在当时,故当时,故由得完例2求函数的导数.解即完例3设函数求及解即完

补例

求函数f(x)=cos

x的导数

解

例4解求函数的导数.即更一般地例如,完例5解求函数的导数.即完补例解求函数的导数.即完课后习题2-1二、导数的几何意义

导数f

(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0

f(x0))处的切线的斜率即f

(x0)=tana

其中a是切线的倾角

切线方程为

y-y0=f

(x0)(x-x0)

法线方程为切线与法线的斜率互为负倒数。例6解求曲线在点处的切线方程.因为故所求切线方程为即完补例解求等边双曲线在点处的切线的斜率,并写出在该点处的由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为即法线方程为即切线方程和法线方程.完六、函数的可导性与连续性的关系定理

如果函数y=f(x)在点x0处可导则它在点x0处连续

这是因为应注意的问题:

这个结论的逆命题不成立即函数y=f(x)在点x0处连续但在点x0处不一定可导

例7解注:一般地,若曲线的图形在点处出现尖点,则它在该点不可导.因此,如果函数在一个区间内可导,则其图形不出现尖点,或者说是一条连续的光滑曲线.完例11讨论在处的连续性与可导性.解是有界函数,在处连续.但在处有当时,在和1之间振荡而极限不存在.例11讨论在处的连续性与可导性.解在处连续.但在处有当时,在