第二章 地图的数学基础 1

第二章

地图的数学基础（1）西南大学地理科学学院沈敬伟Email：jingweigis@163.comMobile图学

§1地球体

§2地球坐标系与大地定位

2浩瀚宇宙之中:

地球是一个表面光滑的球体。§1

地球体3机舱窗口俯视大地:地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面。

——

珠穆朗玛峰与太平洋的马里亚纳海沟之间高差近20km。45事实是： 地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。6地球的物理表面 和重力方向线相垂直，形成了无数个曲面，每一个曲面上重力位相等，我们把重力位相等的面称为重力等位面，即通常所说的水准面。地球表层不均匀导致水准面的形状很复杂。

在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就是大地水准面。它实际是一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面。它所包围的形体称为大地体。7大地水准面的意义1.地球形体的一级逼近： 对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。2.起伏波动在制图学中可忽略：

对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图业务中，均把地球当作正球体。8地球的数学表面在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。

它是一个规则的数学表面，所以人们视其为地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。9椭球体

三要素: 长轴a（赤道半径）、短轴b（极半径）和椭球的扁率fEquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorabWGS[worldgeodeticsystem]84ellipsoid:a=6378137m

b=6356752.3m

equatorialdiameter=12756.3km

polardiameter=12713.5km

equatorialcircumference=40075.1km

surfacearea=510064500km2

a-b6378137-6356752.3f=——=————————

a63781371—=298.257f对

a，b，f

的具体测定就是近代大地测量的一项重要工作。10 对地球形状a，b，f

测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体——参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。 通过数学方法将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的位置上，并求出两者各点间的偏差，从数学上给出对地球形状的三级逼近。11

由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故地球椭球体的元素值有很多种。12中国1952年前采用海福特（Hayford）椭球体；1953—1980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台）；自1980年开始采用GRS1975（国际大地测量与地球物理学联合会IUGG1975推荐）新参考椭球体系。13 §1地球体

§2地球坐标系与大地定位

14§2地球坐标系与大地定位2.1地理坐标

——用经纬度表示地面点位的球面坐标。

地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就是球面坐标系统的建立。①天文经纬度②大地经纬度③地心经纬度15①

天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。2.1地理坐标天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。天文纬度：在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。16②

大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度l

、大地纬度

和大地高h

表示。2.1地理坐标大地经度l

：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。大地纬度：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。17③

地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度l

，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y

。2.1地理坐标

在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。182.2我国的大地坐标系统1954年北京坐标系：1954年，我国将原苏联采用克拉索夫斯基椭球元素建立的坐标系，联测并经平差计算引申到我国，以北京为全国大地坐标原点，确定了过渡性大地坐标系，称1954北京坐标系。缺点是椭球体面与我国大地水准面不能很好地符合，误差较大。192.2我国的大地坐标系统1980年国家大地坐标系：1978年采用新的椭球体参数GRS(1975)，以陕西省西安市以北泾阳县永乐镇某点为国家大地坐标原点，进行定位和测量工作，通过全国天文大地网整体平差计算，建立了全国统一的大地坐标系，即1980年国家大地坐标系。陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为“1980坐标系”大地坐标的起算点——大地原点。202.2我国的大地坐标系统优点：椭球体参数精度高；定位采用的椭球体面与我国大地水准面符合好；天文大地坐标网传算误差和天文重力水准路线传算误差都不太大，而且天文大地坐标网坐标经过了全国性整体平差，坐标统一，精度优良，可以满足1：5000甚至更大比例尺测图的要求等。212.2我国的大地坐标系统与当今社会发展存在的矛盾：①坐标维的矛盾。随着卫星定位导航技术在我国的广泛使用，二维不能适应现代的三维定位技术；②精度的矛盾。卫星定位技术可达10-7～10-8的点位相对精度，而西安80系只能保证3×10-6；③坐标系统（框架）的矛盾。数字地球的发展要求用户需要提供与全球总体适配的地心坐标系统。22“参心坐标系”与“地心坐标系”地球体参心质心地心坐标系椭球参心坐标系椭球最佳拟合区23ChinaGeodeticCoordinateSystem2000，(CGCS2000):随着社会的进步，国民经济建设、国防建设和社会发展、科学研究等对国家大地坐标系提出了新的要求，迫切需要采用原点位于地球质量中心的坐标系统（简称地心坐标系）作为国家大地坐标系。采用地心坐标系，有利于采用现代空间技术对坐标系进行维护和快速更新，测定高精度大地控制点三维坐标，并提高测图工作效率。2.2我国的大地坐标系统24

卫星轨道及远程弹道计算都更加精确；卫星遥感数据便于纳入地球坐标系统；卫星定位的精度提高；地球重力场测定精度提高；

科学观测（如地壳运动观测，板块移动监测）精度提高。优点：25

原来的地图经纬度坐标值将会改变，工作量大；已建成的地理空间数据库的坐标值将要改算；局部地区的地图变形将增大；带来的问题：26大地控制网大地控制网由平面控制网和高程控制网组成。包括具有精确测定平面位置和高程的典型的具有控制意义的点，它是测制地图的基础。平面控制网采用平面控制测量确定控制点的平面位置，即大地经度（L）和大地纬度（B）。其主要方法是三角测量和导线测量。27大地控制网三角测量：在平面上选择一系列控制点，建立三角网，经测量由已知推算未知。为达到层层控制的目的，由国家测绘主管部门统一布设一、二、三、四等三角网。一等三角网是全国平面控制的骨干，由近于等边的三角形构成，边长在20～25km左右，基本上沿经纬线方向布设；二等三角网是在一等三角网的基础上扩展的，三角形平均边长约为13km，这样可以保证在测绘1:10万、1:5万比例尺地形图时，每150km2内有一个大地控制点，即每幅图至少有3个控制点；以此类推，保证不同比例尺地图的精度。28角度测量水平角测量原理

概念：地面上某点到两目标的方向线铅垂投影在水平面上所成的角度，称为水平角，取值范围：0-360。29距离测量

1、钢尺。钢尺是钢制的带尺，用于较高精度的量距工作。

2、皮尺。皮尺是麻线与细金属丝织成的带状尺。

3、绳尺。又称测绳，是内含金属丝的绳子，外用棉线包裹。

4、标杆。又称花杆。用以标定点位或直线的方向，由坚实不易弯曲的木杆制成，也有用铝合金制成的金属标杆。

5、测杆。在测量距离过程中，用以标志所量尺段的起止点，计算整尺段数。30当两个地面点之间的距离较长或地势起伏较大时，为使量距工作方便起见，可分成几段进行丈量。这种把多根标杆标定在已知直线上的工作称为直线定线。

31光电测距通过直接或间接地测定测距信号在被测距离上的往返传播时间t2D，同时求定测距信号在大气中的传播速度v，即可按下式求得距离D：32正弦公式在ΔABC中，以a,b,c表示∠A，∠B，∠C之对边长度，则

a／sinA=b／sinB=c／sinC=2R，其中R为ΔABC外接圆的半径。

33余弦公式cosA=ABCa

a2=b2+c2

2bccosAcc2=a2+b2

2abcosCb

b2=a2+c2

2accosBcosB=cosC=亦可把余弦公式写成以下的形式:AaBbCc34三角测量示意图35大地控制网导线测量：把各个控制点连成连续折线，然后测定这些折线边长和转角，最后根据起算点坐标及方位角推算其它点坐标。包括：一种是闭合导线；另一是附合导线。建立大地控制网时，通常要隔一定距离选测若干大地点的天文经纬度、天文方位角和起始边长，作为定向控制及校核数据使用，故大地控制网又有天文大地控制网之称。363738平面控制网国家测绘局39高程系高程控制网的建立，必须规定一个统一的高程基准面。我国利用青岛验潮站1950～1956年的观测记录，确定黄海平均海水面为全国统一的高程基准面，并在青岛观象山埋设了永久性的水准原点。以黄海平均海水面建立起来的高程控制系统，统称“1956年黄海高程系”。青岛观象山水准原点40高程系1987年，因多年观测资料显示，黄海平均海平面发生了微小的变化，水准原点由原来的72.289m变为72.260m，国家决定启用新的高程基准面，即“1985年国家高程基准”。高程控制点的高程也发生微小的变化，但对已成图上的等高线的影响则可忽略不计。41水准测量借助水准仪提供的水平视线来测定两点之间的高差，是建立高程控制网的主要方法。两点之间的高差H=a-b，设HA为已知点的高程，则待求点的高程HB=HA+H42

普通水准测量方法

已知水准点BM.A的高程HA＝19.153m，欲测定距水准点BM.A较远的B点高程，按普通水准测量的方法，由BM.A点出发共需设五个测站，连续安置水准仪测出各站两点之间的高差，观测步骤如下：4344高程控制网是在全国范围内按照统一规范，由精确测定了高程的地面点所组成的控制网，是测定其它地面点高程的基础。表明地面点高程位置的方法有两种：绝对高程，即地面点到大地水准面的高度。相对高程，即地面点到任意水准面的高度。建立高程控制网的目的是为了精确求算绝对高程，即高程。45高程控制网国家测绘局46

2.3全球定位系统-GPS

授时与测距导航系统/全球定位系统(NavigationSatelliteTimingandRanging/GlobalPositioningSystem--GPS)：是美国国防部开发的星际全球无线电导航系统。47全球定位系统优势它可为全球范围的飞机、舰船、地面部队、车辆、低轨道航天器，提供全天候、连续、实时、高精度的三维位置、三维速度以及时间数据。GPS应用于测量工程与经典大地测量相比的优势：①观测站之间无需通视；②定位精度高；③提供三维坐标；④操作简便；⑤全天候作业。48GPS系统定位原理通过测量卫星信号到达接收机的时间延迟，即可算出用户到卫星的距离。再根据三维坐标中的距离公式，利用3颗卫星的数据，组成3个方程式，就可以解出观测点的位置（X,Y,Z）。考虑到卫星的时钟与接收机时钟之间的误差，实际上有4个未知数，X、Y、Z和钟差，因而需要引入第4颗卫星，形成4个方程式以求解，从而得到观测点经纬度和高程。

49GPS系统的组成1.空间部分：21颗工作卫星，3颗备用卫星（白色）。它们在高度20200km的近圆形轨道上运行，分布在六个轨道面上，轨道倾角55°，两个轨道面之间在经度上相隔60°，每个轨道面上布放四颗卫星。卫星在空间的这种配置，保障了在地球上任意地点，任意时刻，至少同时可见到四颗卫星。50

2.地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。它向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数；监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间系统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。51地面监控部分主控站一个，设在美国的科罗拉多的斯普林斯。主控站负责协调和管理所有地面监控系统的工作，包括：根据所有地面监测站的观测资料推算编制各卫星的星历、卫星钟差和大气层修正参数等，并把这些数据及导航电文传送到注入站；提供全球定位系统的时间基准；调整卫星状态和启用备用卫星等。52地面监控部分注入站又称地面天线站，主要任务是通过一台直径为3.6m的天线，将来自主控站的卫星星历、钟差、导航电文和其它控制指令注入到相应卫星的存储系统，并监测注入信息的正确性。注入站现有3个，分别设在印度洋的迭哥加西亚、南太平洋的卡瓦加兰和南大西洋的阿松森群岛。53地面监控部分监测站主要任务是连续观测和接收所有GPS卫星发出的信号并监测卫星的工作状况，将采集到的数据连同当地气象观测资料和时间信息经初步处理后传送到主控站。地面监控系统除主控站外均由计算机自动控制，勿需人工操作。各地面站间由现代化通讯系统联系，实现了高度自动化和标准化。54

3.用户设备部分：GPS接收机——接收卫星信号，经数据处理得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用户的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路点的距离和航向或提供图示。55GPS的应用主要体现在GPS卫星定位和导航：静态定位和动态定位。在飞机、轮船、车辆上广泛应用的导航就是一种广义上的动态定位。56欧洲伽利略卫星导航定位系统2002年3月24日，欧盟首脑会议批准了建设伽利略卫星导航定位系统的实施计划。由于在科索沃战争以及阿富汗战争期间，欧洲军队使用GPS技术事实上都受到了限制。因此，欧盟首脑们意识到：“如果放弃伽利略计划，我们将在今后20-30年间失去防务上的主动权。”此外，伽利略计划带来的经济利润也是不容忽略的。欧盟的一项研究预测表明，发展伽利略卫星导航定位技术，仅在欧洲就可以创造出14万多个就业岗位，每年创造的经济收益将会