第三讲 连续时间随机过程的微分和积分

1.2连续时间随机过程的微分和积分实际中，经常涉及到随机过程的微分和积分问题。对于通常函数而言：这些运算即是极限运算。对于随机过程而言：这涉及到随机变量序列的极限和收敛问题，这些极限都是在均方意义下定义的。为了讨论随机过程的微分和积分，首先讨论随机过程的连续性。12一随机过程的连续性

1

确定函数连续性定义：对于确定性函数，若则在处连续。32随机过程连续性定义

如果随机过程

满足

则称

在均方收敛意义下在t点连续。简称随机过程

在t点均方连续。43

随机过程的相关函数连续，则连续。

因此，如果对

时刻，函数

在点上连续，则随机过程

必在

t点上连续。如果沿着处处连续，则随机过程对于每个t都是连续。

54随机过程均方连续，则其数学期望连续。

证由均方连续的定义可知，当，则不等式左端趋于0，那么不等式的右端也必趋于0。（均值的平方不可能小于0）

设6即：

注意为确定性函数，由前面知识可知连续。

可将此结果写成表明：求极限和数学期望的次序可以交换。7二随机过程的导数

预备知识：对于一般确定性函数，高等数学给出的可导定义如下：

一阶可导：

如果存在，则在t处可导，记为。

8二阶可导：

存在，则二阶可导，记为。

如果91随机过程可导的定义

随机过程的导数定义为一个极限：

如果这个极限对于过程的所有样本函数都存在，那么具有导数通常的意义。如果这个极限在均方意义下存在，称具有均方意义下的导数。10如果随机过程

满足

则称

在t时刻具有均方倒数。112判别方法

判断一个随机过程是否均方可微的方法是采用柯西准则，即

而12若时，存在二阶混合偏导则随机过程在均方意义下可微(可导)的充分条件：相关函数在它的自变量相等时，存在二阶混合偏导数且连续，即存在

随机过程存在导数，首先该过程必须是连续的，但随机过程的连续性不能保证过程有导数。133数字特征

(数学期望和相关函数)

随机过程导数的数学期望等于其数学期望的导数，即

证明：

随机过程连续性随机过程的导数运算与数学期望的运算次序可以交换。14

随机过程导数的相关函数，等于可微（可导）随机过程的相关函数的混合偏导数

证明：

15例数学期望、相关函数随机信号。求随机信号的均值和相关函数。解16三随机过程的积分

1预备知识

对于确定性函数，其中17

给定实随机过程，若在确定区间上每个样本函数下列积分存在则称Y为随机过程的积分。由于对每个试验结果，积分都可以得到一个数；但对不同的，积分值是不同的，于是对于所有的实验结果，Y是一个随机变量。而对于每个样本函数，此积分是通常意义下的积分。在更一般的情况下，的积分并不对每一个都存在，此时需要换一种方式来定义。182随机过程积分的定义

随机过程在确定区间上的积分Y是一个随机变量，即

若有则称为随机过程在上的均方积分。193数字特征(数学期望、均方值、方差、相关函数)

随机过程积分的数学期望等于随机过程数学期望的积分。

证明：20

随机过程积分的均方值等于随机过程自相关函数的二重积分。证明：21

随机过程积分的方差等于随机过程协方差的二重积分。

证明：22

给定实随机过程为随机过程在区间的变上限积分。23

随机过程积分的相关函数等于对随机过程的相关函数作两次变上限积分（先对t1,后对t2积分）

24例随机信号