第三章 流体静力学

ChapterThree流体静力学FluidStatics第三章流体静力学第三章 流体静力学

§3.1

流体静压强及其特性§3.2

流体平衡(微分)方程式§3.3

流体静力学基本方程式(重力场中流体的平衡帕斯卡原理)§3.4

绝对压强计示压强液柱式测压计§3.5

液体的相对平衡§3.6

静止液体作用在平面上的总压力§3.7 静止液体作用在平面上的总压力§3.8 静止液体作用在潜体和浮体上的浮力流体模型分类

流体模型

按粘性分类

无粘性流体

粘性流体

牛顿流体

非牛顿流体

按可压缩性分类

可压缩流体

不可压缩流体

其他分类

完全气体

正压流体

斜压流体

均质流体

等熵流体

恒温流体本章基本要求

流体静压强及其特性，流体的平衡微分方程式，绝对与相对静止流体中的压强分布规律及计算，平面与曲面上的流体总压力。“静”——绝对静止、相对静止质量力表面力作用在流体上的力

表面力的分类内法线方向:法向应力——压强

切线方向：切向应力——剪切力流体相对运动时因粘性而产生的内摩擦力ΔFΔAΔFnΔFτ第二章流体静力学§3.1流体静压强及其特性流体处于绝对静止或相对静止时的压强一、流体的静压强

ΔFΔAΔFnΔFτ第三章流体静力学§3.1流体静压强及其特性二、流体静压强的两个特性

1.方向性

流体静压力的方向总是沿着作用面的内法线方向；(2)因流体几乎不能承受拉力，故p指向受压面。原因:(1)静止流体不能承受剪力，即τ=0，故p垂直受压面；第三章流体静力学§3.1流体静压强及其特性二、流体静压强的两个特性

2.大小性

流体静压力与作用面在空间的方位无关，仅是该点坐标的函数。略去无穷小项o

zxdz

dx

dy

yBDCo

静压强特征1.静压强方向沿作用面的内法线方向2.任一点静压强的大小与作用面的方位无关

第三章流体静力学§3.2流体平衡微分方程式一、平衡微分方程式

在静止流体中取如图所示微小六面体。设其中心点a(x,y,z)的密度为ρ，压强为p，所受质量力为f。

y

z

o

y

x

z

y

dx

dz

dy

a

f,p,ρ

第二章流体静力学§3.2流体平衡微分方程式以x方向为例,列力平衡方程式表面力：

质量力:

p-p/x•dx/2

p+p/x•dx/2

y

z

o

y

x

z

y

dx

dz

dy

b

a

c

f,p,ρ

第三章流体静力学§3.2流体平衡微分方程式同理，考虑y，z方向，可得:上式即为流体平衡微分方程

(欧拉平衡微分方程)

一、平衡微分方程式（续）

1.平衡微分方程式（续）物理意义：

在静止流体中，单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡适用范围：所有静止流体或相对静止的流体。第三章流体静力学§3.2流体平衡微分方程式流体静压强的增量决定于质量力。一、平衡微分方程式（续）

2.压强差公式

物理意义：第三章流体静力学§3.2流体平衡微分方程式二、力的势函数和有势力

1.力的势函数

若存在函数π(x,y,z)满足f=-gradπ,则称f有势，π为f

的势函数。若质量力f存在势函数，则π为质量力

的势函数，质量力为有势力

（1）不可压流体第三章流体静力学§3.2流体平衡微分方程式二、力的势函数和有势力（续）

2.正压流体重力是否有势？重力有势！第三章流体静力学§3.2流体平衡微分方程式三、等压面

1.定义

流场中压强相等的各点组成的面。2.微分方程

3.性质

或等压面恒与质量力正交。

第三章流体静力学§3.3流体静力学基本方程式一、流体静力学基本方程式

作用在流体上的质量力只有重力

均匀的不可压缩流体积分得：z

x

p11

基准面

z2p22

p0g

o

z11.基本方程式第三章流体静力学§3.3流体静力学基本方程式一、流体静力学基本方程式（续）2.物理意义

位势能压强势能hp总势能

在重力作用下的连续均质不可压所静止流体中，各点的单位重力流体的总势能保持不变。第三章流体静力学§3.3流体静力学基本方程式一、流体静力学基本方程式（续）3.几何意义

位置水头压强水头静水头在重力作用下的连续均质不可压静止流体中，静水头线为水平线。p02

p2z2z11

p1完全真空

z11

2

z2pe2/g

A

A

A'

A'

基准面

pe1/g

pa/g

p2/g

p1/g

p1p0p2pa第三章流体静力学§3.3流体静力学基本方程式一、流体静力学基本方程式（续）4.帕斯卡原理

在重力作用下不可压缩流体表面上的压强，将以同一数值沿各个方向传递到流体中的所有流体质点。a点压强：压强分布规律的最常用公式：——帕斯卡原理（压强的传递性）适用范围：1.重力场、不可压缩的流体2.同种、连续、静止第三章流体静力学§3.4绝对压强计示压强液柱式测压计

一、压强的计量1.绝对压强以完全真空为基准计量的压强。2.计示压强以当地大气压强为基准计量的压强。表压：真空：完全真空p=0

大气压强p=p

a

p

o

绝对

压强

绝对

压强

a

p>p

a

p<p

计示

压强

（真空）

计示

压强

2.压强的表示方法a.绝对压强p以绝对真空为零点压强pa——当地大气压强paAhb.相对压强（计算压强、表压）pgc.真空度pv以当地大气压强为零点压强注意：pv表示绝对压强小于当地大气压强而形成真空的程度，读正值！pv3.压强单位工程大气压（at）=0.9807×105Pa=735.5mmHg=10mH2O=1kg/cm2（每平方厘米千克力，简读公斤）标准大气压（atm）=1.013×105Pa=760mmHg=10.33mH2O换算：1kPa=103Pa

1bar=105PaPa(应力单位）1Pa=1N/m2

第三章流体静力学§3.4绝对压强计示压强液柱式测压计

二、液柱式测压计1.测压管

测压管是一根直径均匀的玻璃管，直接连在需要测量压强的容器上，以流体静力学基本方程式为理论依据。表压真空优点：结构简单缺点：只能测量较小的压强第三章流体静力学§3.4绝对压强计示压强液柱式测压计

二、液柱式测压计2.U形管测压计p

h11

2

A

h2ρ2ρ

pa优点：可以测量较大的压强第三章流体静力学§3.4绝对压强计示压强液柱式测压计

二、液柱式测压计3.U形管差压计测量同一容器两个不同位置的压差或不同容器的压强差。1A

△z

2

h2h

B

第三章流体静力学§3.4绝对压强计示压强液柱式测压计

二、液柱式测压计4.倾斜微压计

p2

l

p1

a

h1

r

0

h2r

A2A1优点：可以测量较小的压强第三章流体静力学§3.4绝对压强计示压强液柱式测压计

二、液柱式测压计5.补偿式微压计pap

r

par

pa三重密封容器上都装有真空表,它们的读数均相同,p1=p2=p3=20kPa(真空度),试求图示U型水银测压计的的高度h及最里边的窗口中的气体压强p.

h1=1.2m,h2=1m,h3=0.8m,h4=1m,h5=1.5m,Pa=101300Pa,ρ水=1000kg/m3,ρ酒精=760kg/m3

,试求各点的压强及表1,3,6的读数.

两杯中分别装入互不相溶密度相近的两种液体,ρ酒精=870kg/m3,ρ煤油=830kg/m3,当气体压强差这P1-P2=0时,两种液体的初始交界面在标尺O处,已知U形管直径d=5mm,两杯直径相同D=50mm.试确定使交界面上升至h=280mm时的压强差.第三章流体静力学§3.5液体的相对平衡

一、等加速水平运动容器中液体的相对平衡

流体相对于地球有相对运动，而流体微团及流体与容器壁之间没有相对运动。质量力

g

f

a

h

z

s

z

p

0

o

z

a

x

m

容器以等加速度a向右作水平直线运动第三章流体静力学§3.5液体的相对平衡

一、等加速水平运动容器中液体的相对平衡（续）质量力

g

f

a

h

z

s

z

p

0

o

z

a

x

m

1.等压面方程积分等压面是一簇平行的斜面。自由液面：第三章流体静力学§3.5液体的相对平衡

一、等加速水平运动容器中液体的相对平衡（续）g

f

a

h

z

s

z

p

0

o

z

a

x

m

2.静压强分布规律积分得：利用边界条件：第三章流体静力学§3.5液体的相对平衡

一、等加速水平运动容器中液体的相对平衡（续）g

f

a

h

z

s

z

p

0

o

z

a

x

m

3.与绝对静止情况比较（2）压强分布（1）等压面绝对静止：相对静止：绝对静止：相对静止：水平面斜面h－任一点距离自由液面的淹深例一洒水车以等加速a=0.98m/s2在平地行驶，静止时，B点处水深1m，距o点水平距1.5m，求运动时B点的水静压强(计示压强)(mmH2O)解：a=0.98m/s2，x=－1.5m，z=－1m，代入注意坐标的正负号aoBzx计示压强质量力

1.等压面方程等压面是一簇平行的水平面。自由液面：§3.5液体的相对平衡

二、等加速铅垂向下运动容器中液体的相对平衡2.静压强分布规律利用边界条件：§3.5液体的相对平衡

二、等加速铅垂向下运动容器中液体的相对平衡失重系数Weightlessnesscoefficient超重系数Overweightcoefficient第三章流体静力学§3.5液体的相对平衡

二、等角速旋转容器中液体的相对平衡质量力

容器以等角速度ω旋转z

z

s

h

z

m

p

0

o

o

y

2y2r2xx

x

y

r

y

第二章流体静力学§3.5液体的相对平衡

质量力

1.等压面方程积分等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面。自由液面：二、等角速旋转容器中液体的相对平衡（续）z

z

s

h

z

m

p

0

o

o

y

2y2r2xx

x

y

r

y

第三章流体静力学§3.5液体的相对平衡

2.静压强分布规律积分得：利用边界条件：z

z

s

h

z

m

p

0

o

o

y

2y2r2xx

x

y

r

y

二、等角速旋转容器中液体的相对平衡（续）第三章流体静力学§3.5液体的相对平衡

3.与绝对静止情况比较（2）压强分布（1）等压面绝对静止：相对静止：绝对静止：相对静止：水平面旋转抛物面h－任一点距离自由液面的淹深z

z

s

h

z

m

p

0

o

o

y

2y2r2xx

x

y

r

y

二、等角速旋转容器中液体的相对平衡（续）等压面EquipressureSurface在表面上顶盖上的作用力中心开口表压强绝对压强Absolutepressure压力边缘开口第三章流体静力学§3.5液体的相对平衡

4.实例二、等角速旋转容器中液体的相对平衡（续）应用（1）：离心铸造机中心开孔ω例浇铸生铁车轮的砂型，已知h=180mm，D=600mm，铁水密度ρ=7000kg/m3，求M点的压强；为使铸件密实，使砂型以n=600r/min的速度旋转，则M点的压强是多少？解：当砂型旋转压强增大约100倍应用（2）：离心泵（边缘开口）zo边界条件：当r=R，p=pa=0在r=0处，压力最低真空抽吸作用ω应用（3）：清除杂质（容器敞开）杂质m1，流体m杂质受力：ωmg（浮力）m1g（自重）m1ω2r（惯性离心力）mω2r（向心力）m1=m不可清除m1<m斜上m1>m斜下例1

一半径为R的圆柱形容器中盛满水，然后用螺栓连接的盖板封闭，盖板中心开有一小孔，当容器以ω转动时，求作用于盖板上螺栓的拉力解：盖板任一点承受的压强为任一微小圆环受力整个盖板受力（即螺栓承受的拉力）注意：就是压力体的体积V例2

在D=30cm，高H=50cm的圆柱形容器中盛水，h=30cm，当容器绕中心轴等角速度转动时，求使水恰好上升到H时的转数解：O点的位置由上题可知Hhωoz’z结论：未转动时的水位在转动时最高水位与最低水位的正中间Hhωoz’z解得：例3

一圆筒D=0.6m，h=0.8m，盛满水，现以n=60rpm转动，求筒内溢出的水量解：利用例2结论溢出的水量体积rad/smz第三章流体静力学§3.6静止液体作用在平面上的总压力

各点压强大小：一、水平平面上的液体总压力处处相等各点压强方向：方向一致b

c

d

a

p

a

A

a

b

A

p

a

d

c

c

A

b

a

p

a

d

b

a

p

a

A

c

d

h

第二章流体静力学§2.6静止液体作用在平面上的总压力

各点压强大小：二、倾斜平面上的液体总压力处处不相等各点压强方向：方向一致作用在微分面积dA上的压力：xo

yA

C

D

dA

a

b

p

F

dF

p

hDhCy

yCyDh

作用在平面ab上的总压力：2.总压力的大小1.总压力的方向总压力的方向垂直于受压的平面第二章流体静力学§3.6静止液体作用在平面上的总压力

二、倾斜平面上的液体总压力(续）x

o

yA

C

D

dA

a

b

p

F

dF

p

hDhCy

yCyDh

作用在平面ab上的总压力：由工程力学知：故即静止液体作用在平面上的总压力等于受压面面积与其形心处的相对压强的乘积。受压面面积A对OY轴的静矩第三章流体静力学§3.6静止液体作用在平面上的总压力

二、倾斜平面上的液体总压力（续）x

o

yA

C

D

dA

a

b

p

F

dF

p

hDhCy

yCyDh

3.总压力的作用点合力矩定理：合力对某轴的矩等于各分力对同一轴的矩的代数和。受压面A对ox轴的惯性矩。受压面A对过形心点C且平行于oy轴的轴线的惯性矩。压力中心D必位于受压面形心c之下。常见图形的xC和IC图形名称矩形三角形梯形圆半圆第三章流体静力学§3.7静止液体作用在曲面上的总压力

各点压强大小：大小不等各点压强方向：方向不同因作用在曲面上的总压力为空间力系问题，为便于分析，拟采用理论力学中的分解概念将其分解为水平分力和垂直分力求解。一、总压力的大小和方向作用在微分面积dA上的压力：x

A

z

d

c

P

a

o

h

c

h

A

x

z

b

a

dA

A

dF

p

dF

p

dF

pz

dF

px

dA

dA

x

dA

z

第三章流体静力学§3.7静止液体作用在曲面上的总压力

一、总压力的大小和方向（续）x

A

z

d

c

P

a

o

h

c

h

A

x

z

b

a

dA

A

dF

p

dF

p

dF

pz

dF

px

dA

dA

x

dA

z

1.水平分力

作用在曲面上的水平分力等于受压面形心处的相对压强与其在垂直坐标面oyz的投影面积Ax的乘积。第三章流体静力学§3.7静止液体作用在曲面上的总压力

一、总压力的大小和方向（续）2.垂直分力

作用在曲面上的垂直分力等于压力体的液体重力x

A

z

d

c

P

a

o

h

c

h

A

x

z

b

a

dA

A

dF

p

dF

p

dF

pz

dF

px

dA

dA

x

dA

z

式中：为曲面ab上的液柱体积abcd的体积，称为压力体。

第三章流体静力学§3.7静止液体作用在曲面上的总压力

一、总压力的大小和方向（续）

3.总压力大小：总压力与垂线间的夹角方向：A

x

z

b

a

P

a

A

z

x

dF

p

D

D'

（1）水平分力Fpx的作用线通过Ax的压力中心；（4）将Fp的作用线延长至受压面，其交点D即为总压力在曲面上的作用点。（3）总压力Fp的作用线由Fpx、Fpz的交点和确定；（2）铅垂分力Fpz的作用线通过Vp的重心；确定方法：二、总压力的作用点

第三章流体静力学§3.7静止液体作用在曲面上的总压力

三、压力体的两点说明

压力体仅表示的积分结果(体积)，与该体积内是否有液体存在无关。

1.压力体的虚实性实压力体：压力体abc包含液体体积，垂直分力方向垂直向下。虚压力体：压力体abc不包含液体体积，垂直分力方向垂直向上。b

c

a

b

a

c

第三章流体静力学§3.7静止液体作用在曲面上的总压力

2.压力体的组成受压曲面（压力体的底面）由受压曲面边界向自由液面或自由液面的延长面所作的铅垂柱面（压力体的侧面）压力体一般是由三种面所围成的体积。自由液面或自由液面的延长面（压力体的顶面）x

d

c

o

b

a

三、压力体的两点说明（续）第三章流体静力学§3.8静止液体作用在潜体和浮体上的浮力

浮体：W<gV，物体上升，浮出液体表面。潜体：W=gV，物体在液体中到处处于平衡状态。沉体：W>gV，物体下沉，直至液体底部。物体沉没在