第三章 流体动力学基础

流体力学建筑与环境工程系王宏燕01052334020(o)wanghongyan@第三章流体动力学基础

熟悉流体流动的基本概念了解连续性微分方程、实际流体的运动微分方程；牢固掌握，并灵活应用恒定总流连续性方程与实际总流的能量方程。

学习要求第三章流体动力学基础1、连续性方程的应用2、伯努利方程的的应用3、理想流体的运动微分方程（欧拉方程）

本章难点第三章流体动力学基础§3-1描述流体运动的两种方法及质点加速度的意义§3-2流体流动的基本概念§3-3流体流动的连续性方程§3-4理想流体的运动微分方程§3-5稳定流动的能量衡算——伯努利方程及应用一、拉格朗日（Lagrange）法1、基本思想：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它们在运动过程中的各物理量及其变化。2、独立变量：（a,b,c,t）——区分流体质点的标志3、质点物理量：B(a,b,c,t)，如：4、质点位移:5、速度:6、加速度：§3-1描述流体运动的两种方法一、拉格朗日（Lagrange）法任意质点的位置：

拉格朗日变量一、拉格朗日（Lagrange）法

速度：

加速度：二、欧拉法1、定义——以流场中空间的位置（即坐标点）为出发点，描述这些位置上的流体参量对时间的分布规律。类似于电场，磁场的描述。

基本思想：考察空间每一点上的物理量及其变化。所谓空间一点上的物理量是指占据该空间点的流体质点的物理量2.欧拉自变量----空间位置的标志:

欧拉自变量----空间位置的标志，即空间坐标。直角坐标系中，为x，y，z

任意时刻，物理量的空间分布规律写作

当参数x，y，z不变而改变时间t，则表示空间某固定点的速度随时间的变化规律。当参数t不变，而改变x，y，z，则代表某一时刻，空间各点的速度分布二、欧拉法3、速度表达式，即速度场

u=u(x，y，z，t)

（3-1）v=v(x，y，z，t)w=w(x，y，z，t)式中，u，v，w分别表示速度矢量在三个坐标轴上的分量：其他物理量如压强和密度的表示——二、欧拉法4、加速度的表示加速度的定义——x=x(t)y=y(t)z=z(t)的意义流体质点沿运动轨迹的三个速度分量对速度表达式（3-1）式求全导数，得到加速度公式：

x，y，z有双重意义，一方面它代表流场的空间坐标，另一方面它代表流体质点在空间的位移。二、欧拉法4-1用欧拉法求得的流体质点的加速度由两部分组成——4-2当地加速度：由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的变化而产生的，即式中等式右端的第一项。4-3迁移加速度：某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变化称为迁移加速度，即式中等式右端的后三项。举例说明欧拉法加速度说明中间有收缩形的变截面管道内的流动不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2的速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移加速度，如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有变化（增加或减少），则管道中每一点上流体质点的速度将相应发生变化（增大或减少），从而产生了当地加速度。13

描述流体运动的两种方法比较一、定常流动和非定常流动二、迹线与流线三、流管与流束四、当量直径五、流量及平均流速六、一维、二维和三维流动七、缓变流与急变流§3-2流体流动的基本概念

一、定常流动和非定常流动根据流体的流动参数是否随时间而变化，可将流体的流动分为定常流动和非定常流动。速度与加速度表达式（a）定常流动（b）非定常流动

二、迹线与流线1、迹线——迹线是流场中某一质点运动的轨迹。迹线是流体运动的一种几何表示，迹线的研究是属于拉格朗日法的内容。迹线的数学表达式二、迹线与流线2、流线流线是某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲线上的各流体质点的速度方向都与该曲线相切，因此流线是同一时刻，不同流体质点所组成的曲线流线的引入是欧拉法的研究特点。二、迹线与流线3、流线的基本特性在定常流动时，流线和迹线相重合；而在非定常流动时，流线和迹线不相重合。通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线不能相交和分支。流线不能突然折转，是一条光滑的连续曲线。流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地方，表示该处的流速较小。三、流管与流束1、流管——在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上各点作流线，这些流线组成一个管状表面，称之为流管。2、流束——过流管横截面上各点作流线，则得到充满流管的一束流线簇，称为流束。3、有效截面——在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。流线相互平行时，有效截面是平面。流线不平行时，有效截面是曲面。4、微元流管——有效截面面积为无限小的流束和流管，称为微元流束和微元流管。在每一个微元流束的有效截面上，各点的速度可认为是相同的。5、总流——无数微元流束的总和称为总流。根据总流的边界情况，可以把总流流动分为三类：（1）有压流动总流的全部边界受固体边界的约束，即流体充满流道，如压力水管中的流动。（2）无压流动总流边界的一部分受固体边界约束，另一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。（3）射流总流的全部边界均无固体边界约束，如喷嘴出口的流动。三、流管与流束四、当量直径1、湿周——在总流的有效截面上，流体与固体边界接触的长度称为湿周，用符号χ表示。2、水力半径——总流的有效截面面积与湿周之比称为水力半径。3、当量直径——水力半径的4倍。五、流量及平均流速1、体积流量——单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量，以qv表示。其单位为m3/s、m3/h等。2、质量流量——单位时间内通过有效截面的流体质量称为质量流量,以qm表示，其单位为kg/s、t/h等。3、由于微元流束有效截面上各点的流速V是相等的，所以通过微元流束有效截面积的体积流量dqv和质量流量dqm分别为：

dqv=VdAdqm=ρVdA工程中引入六、一维、二维和三维流动按照流动参数与空间坐标变量个数间的关系，将流动分为一维、二维和三维。七、缓变流与急变流根据流场中同一条流线各空间点上的流速是否相同，可将总流分为均匀流和非均匀流。若相同则称为均匀流，否则称为非均匀流。非均匀流按流速的大小和方向沿流线变化的缓、急程度又可分为缓（渐）变流和急变流两种流速的大小和方向沿流线逐渐改变的非均匀流，称为缓（渐）变流。方向沿流线急剧变化的非均匀流，称为急变流。急变流缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流急变流急变流急变流急变流图缓变流和急变流27均匀流过流断面上的流速分布服从水静力学规律：均匀流过流断面上的压强分布28均匀流过流断面上的压强分布（1）均匀流同一过流断面上测压管高度相同。（2）不同过流断面上测压管高度不同。（粘性阻力作负功，使下游断面水头降低。29均匀流与恒定流的区别

恒定流——当地加速度等于零；均匀流——迁移加速度等于零。§3-3流体流动的连续性方程

一、微分形式的连续性方程二、一维总流的连续性方程图流场中的微元平行六面体一、微分形式的连续性方程控制体是流场中划定的空间，形状、位置固定不变，流体可不受影响地通过。一、微分形式的连续性方程1、微元六面体各表面上的参数u,v,w,ρ均为空间坐标和时间的连续函数根据泰勒级数展开，略去高阶无穷小一、微分形式的连续性方程2、dt时间内，流入和流出微元六面体的流体质量dt时间内从右边微元面积dydz流出的流体质量dt时间内沿x轴方向流体质量的变化

同理可得，在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的变化分别为：

因此，在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为

§3-3一、微分形式的连续性方程3、微元六面体内流体质量的变化设开始瞬时流体的密度为ρ，经过dt时间后的密度为在dt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为流体是连续介质，质点间无空隙，根据质量守恒原理，dt时间控制体的总净流出/入质量，必等于控制体内由于密度变化而减少/增加的质量。一、微分形式的连续性方程

4、连续性方程的几种形式可压缩流体非定常三维流动可压缩流体定常三维流动不可压缩流体三维流动——物理意义是：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。不可压缩流体二维流动二、一维总流的连续性方程图3-13流场中的微元流束§3-31、微元流束的连续性方程

假定——流体的运动是连续的、定常的，则微元流束的形状不随时间而改变。又根据流管的特性，流体质点不能穿过流管表面，因此在单位时间内通过微元流管的任一有效截面的流体质量都应相等，即

ρ1V1dA1=ρ2V2dA2=ρVdA=常数

dA1

、dA2——分别为1、2两个有效截面的面积，m2

V1

、V2——分别为dA1和dA2上的流速，也称为真实流速，m/s；

ρ1、ρ2—分别为1和2处的流体密度，kg/m3§3-32、总流的连续性方程对于由无限多微元流束所组成的总流（例如流体在管道中的流动），可对上式进行积分得一维流动积分形式总流的连续性方程可压缩流体一维定常流动的总流连续性方程不可压缩流体一维定常流动的总流连续性方程。——一维总流在定常流动条件下，沿流动方向的体积流量为一个常数，平均流速与有效截面面积成反比，即有效截面面积大的地方平均流速小，有效截面面积小的地方平均流速就大。§3-33、有分流和合流时的连续性方程

对于n个入口和m个出口的管道，不可压缩流体的连续性方程为：

流向分点的流量之和等于自分合点流入的流量之和。

工程上常遇到的分流和合流情况是流体通过三通和四通时的流动。对不可压流体:

分流:

合流:

§3-3

【例3-1】假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为U=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。试分析该流动是否连续。

【解】根据不可压缩流体三维流动的连续性方程

所以故此流动不连续。不满足连续性方程的流动是不存在的§3-3

【例3-2】有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为u=x2siny，v=2xcosy，试分析该流动是否连续。

【解】根据不可压缩流体二维流动的连续性方程所以

故此流动是连续的。§3-3

【例3-3】有一输水管道，如图3-14所示。水自截面1-1流向截面2-2。测得截面1-1的水流平均流速m/s，已知d1=0.5m，d2=1m，试求截面2-2处的平均流速为多少？

【解】由不可压缩流体一维定常流动的总流连续性方程得

(m/s)§3-3§3-4理想流体的运动微分方程

在流动的理想流体中，取出一个微元平行六面体的微团，它的各边长度分别为dx、dy和dz，如图所示。由于是理想流体，没有黏性，运动时不产生内摩擦力，所以作用在流体微团上的外力只有质量力和压强。该压强与静压强一样，垂直向内，作用在流体微团的表面上。假设六面体形心的坐标为x、y、z，压强为p。先分析x方向的运动，在垂直于x轴的左右两个平面中心点上的压强各等于

图3-15推导欧拉运动微分方程用图

设在六面体形心上的单位质量的质量力分量为fx、fy和fz

，则作用在微元平行六面体的流体微团上的质量力在x轴方向的分量为fxρdxdydz

又流体微团的加速度在x轴上的投影为，则根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程

各项除以流体微团的流体质量ρdxdydz，化简后得：

同理欧拉运动微分方程加速度写成展开式，可将欧拉运动微分方程写成如下形式

在一般情况下，作用在流体上的质量力fx、fy和fz

是已知的，对理想不可压缩流体其密度ρ为一常数。在这种情况下，方程中有四个未知数u、v、w和p，而式方程组中有三个方程，再加上不可压缩流体的连续性方程，就从理论上提供了求解这四个未知数的可能性。483-5理想流体微元流束的伯努利方程

一、理想流体微元流束的伯努利方程1、方程的条件理想流体不可压缩流体沿同一条流线（或微元流束）流体受到的质量力仅为重力2、推导过程50

最后得到：一、理想流体微元流束的伯努利方程51二、理想流体微元流束伯努利方程的物理意义和几何意义1、物理意义Z——为单位重量流体相对于基准面所具有的位势能；P/γ——为单位重量流体所具有的压强势能；u2/2g为单位重量流体所具有的动能；H

为单位重量流体所具有的机械能。1、物理意义理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强势能和动能之和保持不变，即机械能为一常数。位势能、压强势能和动能三者能量之间可以相互转换伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的表现形式。二、理想流体微元流束伯努利方程的物理意义和几何意义532、几何意义

位置水头速度水头压强水头总水头测压管水头二、理想流体微元流束伯努利方程的物理意义和几何意义542、几何意义

理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的位置水头、压强水头和速度水头之和保持不变，即总水头线是平行于基准面的水平线。二、理想流体微元流束伯努利方程的物理意义和几何意义

流体流动过程实质上是各种形式能量之间的转化过程，它们之间遵循能量守恒定律。

稳定流动伯努利方程反映了流体在管道中流动时流速、压力和位差之间的变化关系，在工程上有广泛的应用价值。

如用高位槽向设备输送流体

§3-6稳定流动的能量衡算

——总流伯努利方程及应用一、理想流体恒定流动时的机械能衡算

流速v1

（平均）

压强p1

标高z1

截面面积

A1

流体密度1

进口出口理想流体稳定流动,从截面1—1流入，截面2—2流出。衡算范围：管路的内壁面、截面1—1与截面2—2之间。基准水平面：0—0水平面（可任意选定）。

流速v2（平均）

压强p2

标高z2

截面面积A2

流体密度2

1、流体所具有的机械能

流体的机械能是指由流体的位置、运动和压力所决定的位能、动能和压力能，单位为J或kJ。

位能mgz流体因处于地球重力场内而具有的能量。

流体因以一定的流速运动时而具有的能量。

（1）位能

其值大小与基准面位置有关（2）动能

动能比位能gz比动能单位为J/kg或kJ/kg

又称为静压能，是流体因存在一定的静压力而具有的能量。

（3）压力能

与流体流动与否无关压力能比压力能机械能

1kg流体带入1—1截面的总机械能为

1kg流体在2—2截面处带出的总机械能为2.理想流体稳定流动的机械能衡算伯努利方程能量守恒定律，对稳定流动系统应有:机械能衡算

对不可压缩的理想流体:

1=2=

总流伯努利（Bernoulli）方程，也称能量方程

理想流体作稳定流动且与外界无能量交换时。适用于:

在任一截面上，单位质量流体的总机械能（即该截面上比位能、比动能和比压力能之和）恒为常量。说明:

理想流体的伯努利方程揭示了理想流体在稳定流动中各种形式的机械能互相转换的数量关系。

3、流体机械能之间的相互转换

理想流体在某一水平变径管道中作稳定流动:例如:

理想流体在某一内径相同的倾斜直管中作稳定流动:

v1=v2z1=z2z1＞z2A1＞A2<＜二、实际流体稳定流动时的机械能衡算除了考虑各截面的机械能（位能、动能、压力能）外，还要考虑以下两项能量：

1、损失能量

1kg的流体流动时的能量损失用符号hw表示，单位为J/kg。

实际流体流动时,因克服流动阻力而损耗的机械能以热量形式散失,称为能量损失。

将1kg流体从流体输送机械（如泵）获得的能量称为外加能量，用符号he表示，单位为J/kg。

2、外加能量其作用是将机械能传递给流体，使流体的机械能增加

实际流体在稳定流动状态下的总能量衡算式为:

称为实际流体伯努利方程，又称为稳定流动能量方程物理意义——机械能的平均值沿程减小，部分机械能转化为热能损失。三、伯努利方程的讨论

（1）上式各项均为单位质量(1kg

)流体所具有的能量，单位均为J/kg。

有效功率Pe:单位时间输送设备所作的有效功，单位为W

。某截面上流体自身所具有的机械能

流体在两截面之间与外界交换的能量

he为外加能量,是输送机械对1kg流体作的有效功。gz、v2/2、p/he、hw

上式各项表示单位重量流体所具有能量，单位均为J/N

，简化为m

。其物理意义为：单位重量流体所具有的机械能可以把它自身从水平基准面升举的高度。

伯努利方程讨论（2）上式各项同除以g，又令

总水头

位置水头(位压头)z

速度水头(动压头)v2/2g

压强水头(静压头)p/g流体接受外功所增加的压头He流体流经划定体积的压头损失Hw总水头线测压管水头线伯努利方程讨论粘性总流伯努利方程的几何意义——总流的实际总水头线沿流程下降，下降的高度即为能量损失。

上式各项表示单位体积气体所具有能量，单位均为J/m3或Pa

。伯努利方程讨论（3）上式各项同乘以

，又令

风压pe——风压是指单位体积气体通过输送机械后所获得的能量

压力降(压力损失)pw伯努利方程讨论

（4）上式伯努利方程适用于不可压缩流体作恒定连续流动的情况。对于可压缩流体的流动，当所取系统中两截面间的绝对压强变化小于原来绝对压强的20％时，上述公式仍可使用，但公式中流体密度应以两截面间流体的平均密度m代替。

伯努利方程讨论

（5）如果系统中的流体处于静止状态，则v=0，因流体没有运动，故无能量损失，即hw=0，当然也不需要外加功，即he=0，于是柏努利方程变为：

上式即为流体静力学基本方程。由此可见，伯努利方程不仅描述了流体流动的规律，也反映了流体静止状态的规律，流体的静止状态是流体流动状态的一种特殊形式。(6)实际流体（总流）能量方程适用于不可压缩流体位置水头，位能；压强水头，压能；速度（流速）水头，动能水头损失，1-2断面的平均能量损失动能修正系数伯努利方程讨论四、伯努利方程的应用

（1）伯努利方程应用条件。稳定流动的不可压缩流体，流动是连续的。

（2）作图与确定衡算范围。根据工程要求画出流动系统的示意图，指明流体的流动方向和上下游的截面，以明确流动系统的衡算范围。1、伯努利方程应用注意事项

（3）截面的选取。按流体的流向确定上、下游截面，选定的两截面应与流动方向垂直，两截面应取在平行流动处，不要取在阀门、弯头等部位，两截面间的流体必须是连续的。缓变流

（5）基准面的选取。可任意选择，但须与地面平行，两个截面必须是同一基准面。通常取其中位置较低的截面作为基准面。当截面与地面平行时，则基准面与该截面重合；若截面与地面垂直，则基准面通过该截面的中心。

（6）单位必须一致。统一单位后再进行计算。两截面上压力要同时用绝对压力或相对压力（表压力）表示。伯努利方程应用

（4）敞口容器自由液面上的压力为大气压；管道出口截面上的压力为大气压;流体在水箱、水槽等截面较大的容器中的流速可认为是零。

（8）当一个问题中有2个未知量时，需和连续性方程联立求解。

伯努利方程应用

（7）对分流或合流的情况，单位质量流体的能量守恒关系依然存在，如分流时,只是分别表现为截面1→2和截面l→3的两个能量关系式而已。当没有外加能量时，则2.伯努利方程应用示例求解问题的一般步骤是：

划分截面

伯努利方程和连续性方程联立，可以全面解决流动系统中流速和压力的计算问题。

分析流动

选择基准

列解方程75

（1）皮托管76

举例：皮托管hBhA（2）文丘里流量计原理——文丘里流量计主要用于管道中流体的流量测量，主要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成。利用收缩段，造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用Ｕ形管差压计测量出压强差，从而求出管道中流体的体积流量。（2）